Rotation und Divergenz einer Mannigfaltigkeit

[Mea]

Kann man die Rotation und die Divergenz einer Mannigfaltigkeit berechnen?

Konkret: Die Rotation und Divergenz der vierdimensionalen Raumzeit.

Die Divergenz ist Skalarprodukt aus Nabla und Vektorfeld, Rotation ist Kreuzprodukt aus Nabla und Vektorfeld.

Was ist der Unterschied zwischen Vektorfeld und Mannigfaltigkeit?

[TomS]

Zitat von Mea

Was ist der Unterschied zwischen Vektorfeld und Mannigfaltigkeit?

Einfaches Beispiel:

Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die mathematische Beschreibung einer im Allgemeinen gekrümmten Fläche.

Ein Vektorfeld auf dieser zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die mathematische Beschreibung zum Beispiel einer Flüssigkeitsströmung auf dieser Fläche, d.h. des Betrags und Richtung der Geschwindigkeit der Strömung in jedem Punkt der Fläche.

[Bernhard]

Zitat von TomS

Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist die mathematische Beschreibung einer im Allgemeinen gekrümmten Fläche.

Die Mannigfaltigkeit ist genaugenommen nur die Menge an Punkten, welche die Fläche bildet.

Zusätzlich kann man dann jedem Punkt zusätzliche Eigenschaften, wie z.B. eine Krümmung zuweisen, einen Tangentialraum betrachten usw.

Mehr dazu hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit

EDIT: Passende Verallgemeinerungen für Divergenz und Rotation auf vierdimensionalen pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten findet man in jedem dickeren Lehrbuch über die allgemeine Relativitätstheorie.

[Mea]

Hm, OK, verstehe, danke!

Nur: Im Gegensatz zum euklidischen Raum kann die Mannigfaltigkeit eine beliebige Krümmung aufweisen. Es wäre daher doch auch sinnvoll, Größen wie die Divergenz für die Mannigfaltigkeit selbst berechnen zu können...
Kann man das nicht einfach machen, indem man Nabla mit dem metrischen Tensor skalar multipliziert?

[TomS]

Zitat von Mea

Es wäre daher doch auch sinnvoll, Größen wie die Divergenz für die Mannigfaltigkeit selbst berechnen zu können...
Kann man das nicht einfach machen, indem man Nabla mit dem metrischen Tensor skalar multipliziert?

Die „kovariante Divergenz“ bzw. die kovariante Ableitung mittels des Levi-Cevita-Zusammenhangs angewandt auf den metrischen Tensors ist immer exakt Null.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metr...ian_connection

[Bernhard]

Zitat von Mea

Kann man das nicht einfach machen, indem man Nabla mit dem metrischen Tensor skalar multipliziert?

Das Verständnis um die Krümmung einer Fläche wurde zuerst von CF Gauss (und auch anderen Mathematikern) untersucht und später von Riemann und anderen nochmal deutlich genauer untersucht, bzw. verallgemeinert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Nichte...sche_Geometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgeometrie
https://de.wikipedia.org/wiki/Rieman...BCmmungstensor

[Cossy]

Schau dir mal die Videos an
Einführung in die Vektor- und Tensorrechnung I und II
Univ.-Prof. Dr. Dr. h.c. Paul Wagner
Bei der zweiten Vorlesungsreihe wird erklärt, dass Du in einem allgemeinen Raum (nicht euklidisch) Zusatzterm beim Ableiten hast.
=> So einfach wie Du dir das gedacht hast ist die Berechnung der Divergenz nicht möglich. Ist nur in der Kanonischen Basis so einfach mit der Divergenz

[Mea]

Sehr cool, vielen Dank für Eure hilfreichen Antworten!

[Bernhard]

Zitat von Cossy

Ist nur in der Kanonischen Basis so einfach mit der Divergenz

Das ist AFAIK nicht eindeutig. Es gibt z.B. den euklidischen Raum mit Standardkoordinaten, aber auch den nichteuklidischen Raum mit (Standard-)Koordinatenbasis.