Wieviele Möglichkeiten gibt es für 2 Teilchen sich in einem 1 m³ aufzuhalten?

[TomS]

Zitat von Ich

Das ist nicht richtig. Du betrachtest zwar nur einen endlichen Ausschnitt, zählst aber auch alle Zustände mit, die nicht in diesem Ausschnitt lokalisiert sind. Dieselben Zustände zählst du nochmal, wenn du einen benachbarten Ausschnitt "betrachtest", und unendlich oft, wenn du unendlich viele Auschnitte betrachtest. Das geht so nicht.

Da hast du recht.

[Slash]

Hallo,
vielen Dank für die Antworten.
Ich entnehme ihnen aber, dass man diesen Sachverhalt nicht mit einfacher / anschaulicher oder klassischer Vorstellung (reellwertige Zahlen / Positionen, kontinuierlicher Raum, keine Quanten, etc.) nicht klären kann.
So ganz habe ich auch den Sachverhalt der Bekenstein Obergrenze nicht verstanden.
Sind dann in dem Raumbereich auch dynamische Prozesse (zeitliche Entwicklungen) gespeichert?
Anders gefragt: Angenommen es gäbe genau den gleichen Raumbereich wie dieser Teil des sichtbaren Universums (bzw. der 1 m³ mit 2 Teilchen), würden diese sich zeitlich gleich entwicklen?

Vielleicht gehe ich das Thema auch komplett falsch an.

VG
Slash

[Ich]

Ich entnehme ihnen aber, dass man diesen Sachverhalt nicht mit einfacher / anschaulicher oder klassischer Vorstellung (reellwertige Zahlen / Positionen, kontinuierlicher Raum, keine Quanten, etc.) nicht klären kann.

Nein, nicht wirklich. Aber die Idee ist schon lange da, seit der statistischen Thermodynamik spätestens. Siehe Nietzsches "Ewige Wiederkunft".

Zitat von Slash

Anders gefragt: Angenommen es gäbe genau den gleichen Raumbereich wie dieser Teil des sichtbaren Universums (bzw. der 1 m³ mit 2 Teilchen), würden diese sich zeitlich gleich entwicklen?

Ja, solange nicht unterschiedliche Einflüsse von außerhalb einwirken. Und die übliche Quantenunbestimmtheit natürlich.

[TomS]

Zitat von Slash

Anders gefragt: Angenommen es gäbe genau den gleichen Raumbereich wie dieser Teil des sichtbaren Universums, würden diese sich zeitlich gleich entwicklen?

Zitat von Ich

Ja, solange nicht unterschiedliche Einflüsse von außerhalb einwirken. Und die übliche Quantenunbestimmtheit natürlich.

Es gibt diesbzgl. keine Unbestimmtheit. Die identisch präparierten und jeweils isolierten Raumbereiche bzw. die sie repräsentierenden Quantenzustände entwickeln sich zeitlich nach den Gesetzen der Quantenmechanik identisch sowie deterministisch. Erst im Zuge von externen Messungen an diesen Raumbereichen wird man i.A. unterschiedliche Ergebnisse entsprechend der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten erhalten.

[Ich]

Zitat von TomS

Erst im Zuge von externen Messungen an diesen Raumbereichen wird man i.A. unterschiedliche Ergebnisse entsprechend der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten erhalten.

Ich glaube nicht, dass der Bezug auf "externe" Messungen hier was bringt. Wenn man der VWI anhängt, dann entwickelt sich alles unitär weiter und eine externe Messung ändert nichts daran (das wäre nur ein solche "externer Einfluss"). Wenn man einen Kollaps will, dann verschiebt der Bezug auf den externen Raumbereich das Problem nur, statt es zu lösen. Man kann den externen Bereich ja mit als Quantensystem betrachten, und dann bräuchte es eine Messung aus einem noch externeren Bereich... das übliche Problem mit der Wellenfunktion des Universums eben.

[TomS]

Zitat von Ich

Ich glaube nicht, dass der Bezug auf "externe" Messungen hier was bringt. Wenn man der VWI anhängt, dann entwickelt sich alles unitär weiter und eine externe Messung ändert nichts daran (das wäre nur ein solche "externer Einfluss"). Wenn man einen Kollaps will, dann verschiebt der Bezug auf den externen Raumbereich das Problem nur, statt es zu lösen. Man kann den externen Bereich ja mit als Quantensystem betrachten, und dann bräuchte es eine Messung aus einem noch externeren Bereich... das übliche Problem mit der Wellenfunktion des Universums eben.

Richtig, „wenn man einen Kollaps will, dann verschiebt der Bezug auf den externen Raumbereich das Problem nur, statt es zu lösen“. Und genau deswegen ist eine realistische Kollapsinterpretation logisch völlig untauglich, zumindest im Bereich der Kosmologie.

Betrachte zwei Raumbereiche B1 und B2 vor der Inflation. Beide werden durch einen Quantenzustand repräsentiert. Beide Quantenzustände |ψ1> und |ψ2> seien identisch. Beide Bereiche enthalten jeweils kleinere Bereiche b1 und b2, so dass die externen Einflüsse bis heute ausschließlich aus B1 und B2 stammen. D.h. es existieren Unterräume (der jeweiligen Gesamthilbertraumes zu B1 und B2), der b1 und b2 repräsentiert. b1 und b2 sind offen bzgl. B1 und B2, d.h. sie müssen als partiell ausgespurte Dichteoperatoren ρ1 und ρ2 beschrieben werden.

Nun passiert folgendes: Die Zeitentwicklung von ρ ist unitär. Die Dekohärenz sorgt für eine "zweigartige Struktur", in der sich klassische Strukturen ausdifferenzieren. ρ enthält demnach alle Zweige aller klassisch möglichen Teiluniversen (sowie weitere vernachlässigbare Zweige).

Bisher erfolgt kein Kollaps.

Wie soll der nun zustande kommen? Sicher nicht dadurch, dass in einem Bereich B1 und in einem Zweig ein Labor mit 'Ich' enthalten ist, der den Deckel einer Box öffnet und eine tote Katze findet. Denn von außen betrachtet ist die Dynamik von ρ und damit von 'Ich' eben unitär. Ein derartiger Auslöser für einen Kollaps wäre ein expliziter logischer Widerspruch (das ist deine Aussage von oben).

Es kann ja auch nicht so sein, dass der Kollaps nur deswegen auftritt, weil ein schlauer 'Ich' enthalten ist. Würden die Kaninchen meiner Tochter ausreichen? Wie verhält es sich mit den Zweigen, die keinen 'Ich' enthalten, weil da nur ein Milliarden Lichtjahre großer Void entstanden ist? Wie sehe ich als Physiker dem Bereich B an, dass da jetzt ein Kollaps resultiert bzw. anzuwenden ist? Oder eben nicht? Muss ich immer erst nachschauen?

Der Kollaps entsteht a) entweder dadurch, dass jemand von außen in b1 hineinfliegt und 'Ich' besucht. Diese Erklärung ist jedoch keine; es ist nur eine Ausflucht im Sinne von Wigner's Freund (und letztlich deine Aussage oben: „das übliche Problem mit der Wellenfunktion des Universums eben“). Oder er findet b) z.B. im Sinne des Quanten-Bayesianismus nur im Kopf eines Physikers statt, der Wahrscheinlichkeiten berechnet; in diesem Fall (b) müssen wir jedoch darauf verzichten, überhaupt eine Aussage zu treffen, was wirklich passiert, d.h. eine realistische Kollapsinterpretation ist ausgeschlossen. Oder c) man hängt der VWI an, alle Zweige in ρ bleiben erhalten, d.h. es existiert überhaupt kein Kollaps.

Ich denke, wir sind uns einig, außer ...

... egal wie man’s dreht und wendet, in all diesen Fällen spielt die „die übliche Quantenunbestimmtheit“ keine Rolle.

[Ich]

Zitat von TomS

Es kann ja auch nicht so sein, dass der Kollaps nur deswegen auftritt, weil ein schlauer 'Ich' enthalten ist.

Wieso nicht? Das wäre eine widerspruchsfreie Definition. Meine Anwesenheit ist erforderlich.

... egal wie man’s dreht und wendet, in all diesen Fällen spielt die „die übliche Quantenunbestimmtheit“ keine Rolle.

Doch, natürlich. Es geht ja nicht notwendigerweise darum, ob die VWI zutrifft oder "tatsächlich" etwas kollabiert. Im Endeffekt können Beobachter in den beiden Bereichen sich auch in der VWI in unterschiedlichen Zuständen "wiederfinden", auch wenn der Quantenzustand derselbe ist. Das ist eine Interpretationsfrage für die VWI, nicht notwendigerweise eine Frage des physikalischen Realismus. Es gibt in jedem Bereich unterschiedliche Zweige, und jeder darf als "unterschiedliche Entwicklung" im Sinne von Slashs Frage angesehen werden. Das ist zumindest meine Interpretation. Die Wellenfunktion mag sich gleich entwickeln (oder auch nicht, das ist wie gesagt nicht mein Punkt), aber die Entwicklungen "ich würfle eine Sechs" oder "ich würfle eine Eins" kommen in beiden Bereichen vor, was auf dieser Ebene eine Unbestimmtheit erzeugt: Die Frage, was von beiden eintritt, lässt sich nicht eindeutig beantworten.

[soon]

Zitat von Slash

Angenommen es gäbe genau den gleichen Raumbereich

Eine Formulierung wie 'zwei benachbarte identische Objekte' ist vom Ansatz her, bei genauer Betrachtung, ein Widerspruch in sich.
Wenn bei den beiden Objekten auch die gesamte historische Entwicklung seiner Zustände identisch ist, - also tatsächlich alles identisch ist, dann ist z.B. auch ihre Position, Funktion, was auch immer innerhalb des übergeordneten Systems identisch.
Damit sind die beiden Objekte nicht nur identisch, sondern sind ein und das selbe Objekt.

Wenn man annimmt, dass 1. die Entwicklung eines Systems determiniert ist und dass 2. jeder weitere neue Zustand streng aus den vorherigen Zuständen folgt, dann ist es ausgeschlossen, dass sich die Entwicklung zweier Systeme vollkommen gleicht und sich dann im nächsten Entwicklungsschritt ein Unterschied ergibt.
Damit sind, imho, auch die vielen Welten in der VWI tatsächlich ein und die selbe Welt. Oder anders gesagt, es gibt keine Everett-Viele-Welten, da es für jeden nächsten Entwicklungsschritt nur eine Möglichkeit gibt. Viele Möglichkeiten ergeben sich nur aus der Unzulänglichkeit menschlicher Vorhersagefähigkeit.

[TomS]

Zitat von Ich

Wieso nicht? Das wäre eine widerspruchsfreie Definition. Meine Anwesenheit ist erforderlich.

OK, verstanden, du kollabierst Universen. Daraus liese sich ein Film machen: Odyssee 20000001

Zitat von Ich

Doch, natürlich. Es geht ja nicht notwendigerweise darum, ob die VWI zutrifft oder "tatsächlich" etwas kollabiert. Im Endeffekt können Beobachter in den beiden Bereichen sich auch in der VWI in unterschiedlichen Zuständen "wiederfinden", auch wenn der Quantenzustand derselbe ist. Das ist eine Interpretationsfrage für die VWI, nicht notwendigerweise eine Frage des physikalischen Realismus. Es gibt in jedem Bereich unterschiedliche Zweige, und jeder darf als "unterschiedliche Entwicklung" im Sinne von Slashs Frage angesehen werden. Das ist zumindest meine Interpretation. Die Wellenfunktion mag sich gleich entwickeln (oder auch nicht, das ist wie gesagt nicht mein Punkt), aber die Entwicklungen "ich würfle eine Sechs" oder "ich würfle eine Eins" kommen in beiden Bereichen vor, was auf dieser Ebene eine Unbestimmtheit erzeugt: Die Frage, was von beiden eintritt, lässt sich nicht eindeutig beantworten.

Völlig einverstanden, aber dabei geht es um Indeterminismus. Ich hatte Unbestimmtheit im Sinne von Unschärfe verstanden; das war ein Missverständnis

[TomS]

Zitat von soon

Eine Formulierung wie 'zwei benachbarte identische Objekte' ist vom Ansatz her, bei genauer Betrachtung, ein Widerspruch in sich.
Wenn bei den beiden Objekten auch die gesamte historische Entwicklung seiner Zustände identisch ist, - also tatsächlich alles identisch ist, dann ist z.B. auch ihre Position, Funktion, was auch immer innerhalb des übergeordneten Systems identisch.
Damit sind die beiden Objekte nicht nur identisch, sondern sind ein und das selbe Objekt.

Nee, ich weiß schon, was gemeint ist.

Man betrachte einen Zustand |ψ>. Zu diese soll eine Kopie existieren, die sich ausschließlich Ort unterscheidet; die bezeichne ich mit T[a] |ψ>, d.h. ich habe den Zustand |ψ> um a verschoben.

Den Zustand |ψ> "erzeuge" ich mathematisch mittels eines Operators Ω aus dem Vakuum |0>. Dann gilt

|ψ> = Ω |0>
T[a] |ψ> = T[a] Ω |0> = T[a] Ω T*[a] T[a] |0> = Ω[a] |0>

wobei Ω[a] den um a verschobenen Zustand aus dem (translationsinvarianten) Vakuum |0> erzeugt.

Nun sollen beide Zustände existieren, und es sollen explizit verschiedene Objekte vorliegen. Für zwei Objekte, eines bei x=a, eines bei x=b wäre das formal |a,b> ± |b,a> wobei ± die Symmetrisierung (Antisymmetrisierung) für zwei Bosonen (Fermionen) anzeigt. Ich schreibe dafür symbolisch P |a,b>; P wendet einfach die jeweils passende Operation auf alle enthalte Objekte an.

Der Zustand |a,b> ist ein Produktzustand, d.h. |a,b> = |a> ⊗ |b>. Damit ist

P |a,b> = P (|a> ⊗ |b>)

Das bedeutet, ich habe zwei Objekte, eines bei x=a und eines bei x=b, wobei ich nicht unterscheiden kann, welches bei a und welches bei b lokalisiert ist (das ist Standard-Vielteilchen-QM; insbs. unterscheidet sich das von |a> + |b>, wobei das selbe Objekt (also nur eines) in einer Superposition bei a und b existiert.

Damit haben wir alles beisammen:

|Ψ> = P (|ψ> ⊗ T[a] |ψ>) = P (Ω[0] |0> ⊗ Ω[a] |0>) = P Ω[0] ⊗ Ω[a] |0>

wobei das letzte |0> für das Vakuum beider Bereiche steht.

Wenn beide Bereiche B1 und B2 nicht untereinander wechselwirken, dann kann man den Hamiltonoperator als Summe schreiben

H = H₁ ⊗ 1 + 1 ⊗ H₂

Außerdem vertauschen H₁ und H₂

exp[iHt] = exp[iH₁t] ⊗ exp[iH₂t]

Damit ist schlussendlich

|Ψ,t> = exp[iHt] P (|ψ> ⊗ T[a] |ψ>) = P (Ω[0] ⊗ Ω[a] |0>) = P exp[iH₁] Ω[0] ⊗ exp[iH₂t]Ω[a] |0> = P (Ω[0, t] ⊗ Ω[a, t] |0>)

Dabei habe ich die Zeittranslationsinvarianz des Vakuums ausgenutzt sowie symbolisch die in der Zeit verschobenen Operatoren Ω verwendet

In der Praxis ist der Formalismus so konstruiert, dass die Operation P implizit enthalten ist und nicht explizit hingeschrieben werden muss. Endergebnis

|Ψ,t> = Ω[0, t] ⊗ Ω[a, t] |0>

Dieser Zustand beschreibt die beiden zum Zeitpunkt t immer noch voneinander isolierten, jedoch um a gegeneinander verschobenen Bereiche im ansonsten identischen Zustand, erzeugt mittels Ω.

Zitat von soon

Wenn man annimmt, dass 1. die Entwicklung eines Systems determiniert ist und dass 2. jeder weitere neue Zustand streng aus den vorherigen Zuständen folgt, dann ist es ausgeschlossen, dass sich die Entwicklung zweier Systeme vollkommen gleicht und sich dann im nächsten Entwicklungsschritt ein Unterschied ergibt.

Richtig. Das ist Standard-QM.

Zitat von soon

Damit sind, imho, auch die vielen Welten in der VWI tatsächlich ein und die selbe Welt.

Auch richtig. Es handelt sich lediglich um eine makroskopische Auffächerung, die jedoch bereit mikroskopisch angelegt war.

Zitat von soon

Oder anders gesagt, es gibt keine Everett-Viele-Welten, da es für jeden nächsten Entwicklungsschritt nur eine Möglichkeit gibt. Viele Möglichkeiten ergeben sich nur aus der Unzulänglichkeit menschlicher Vorhersagefähigkeit.

Ich denke, ich weiß, was du meinst.

Ja, Everett ist ziemlich trivial, solange man nicht darüber nachdenkt, was es bedeutet.