Vierergeschwindigkeit

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat. (Längster Satz der Forengeschichte).

Hallo Marc,

ja, das kann ich mir auch nicht vorstellen, dass der Vierer-Vektor die gleiche Richtung hat wie der Dreiervektor. Wenn der Dreier-Vektor verschwindet, dann kann ich mir vorstellen, das der Vierer-Vektor in eine vierte Richtung zeigt [1]. Mal sehen was die Profis dazu sagen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Das heißt, senkrecht auf den dreidimensionalen Vektorraum.

P.S.
Mein mangelndes Verständnis für Vektoren rührt daher, dass im Ingenieur-Studium für Elektrotechnik nur marginal mit Vektoren operiert wurde, dafür um so mehr mit der komplexen Rechnung (Wechselströme).

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Hallo Eugen,

die Vierergeschwindigkeit ist U=gamma(c,ux,uy,uz)

Bildet man jetzt das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit mit sich selbst, also:

gamma²(c,ux,uy,uz)(c,-ux,-uy,-uz) dann ergibt das immer c²

Und da die Länge bzw. Norm eines Vektors durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben ist, beträgt die Vierergeschwindigkeit immer c.

Aber wie gesagt. Das ist keine messbare Größe. Der Zeit-Ortsvektor wird ja nicht nach der Zeit t sondern der Eigenzeit tau differenziert. Das muss aber leider so sein, da die Zeit t systemabhängig ist und damit nicht lorentzinvariant.

Wenn man mit einem solchen Vektor Skalarprodukte bilden würde, dann wären diese nicht forminvariant.

Das Skalarprodukt des Vierergeschwindigkeitsvektors mit sich selbst ist in allen beliebigen Inertialsystemen stes c².

Für ux=uy=uz=0 und damit gamma=1 erhälst du aus

(c²-ux²-uy²-uz²)/(1-(ux²+uy²+uz²)/c²) sofort c².

Grüsse, MP

Hallo Marc,

Warum ist √ k² (c² - v²) = c ?
Vielleicht kann man es einfacher herleiten. Nachdem k = 1/sqrt(1 – v²/c²) ergibt sich:

(1) sqrt[(k²(c² - v²)] = sqrt[(c² - v²) / (1 – v²/c²)]

Betrachten wir hieraus den Term

(2) (c² – v²) / (1 – v²/c²)

Wenn v gegen c strebt, strebt der Term 1 / (1 – v²/c²) gegen unendlich und der Term (c² – v²) strebt gegen Null. Vielleicht strebt dann der Term (2) nach einer Grenzwertbetrachtung gegen c². Ich werde die Grenzwertbetrachtung demnächst versuchen.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Timm]

Zitat von Marco Polo

Wenn man bei der Vierergeschwindigkeit den infinitesimalen Abstand zweier Ereignisse im Laborsystem (dem Zeit-Ortsvektor) nach dtau, also dem infinitesimalen Zeitzuwachs in einem ganz anderen System, nämlich dem, in dem die beiden Ereignisse am gleichen Ort stattfinden differenziert (also Differentiation nach der Eigenzeit und nicht nach der systemabhängigen Zeit t), dann kann ich mir zumindest bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht vorstellen, dass es für diesen Vierervektor eine Projektion auf den dreidimensionalen Ortsraum gibt, die die gleiche Richtung wie der Dreiervektor hat. (Längster Satz der Forengeschichte).

Ich mir auch nicht, Marc. Aber eine Projektion ist ja auch ein komplexes Ding, Wiki schreibt dazu: " Sie definiert das Übertragen und Verlagern eines eigenen innerpsychischen Konfliktes durch die Abbildung eigener Gefühle (Empfindungen/Affekte), Wünsche und Impulse, die im Widerspruch zu eigenen und/oder gesellschaftlichen Normen stehen können, auf andere Menschen(gruppen), Lebewesen oder sonstige Objekte der Außenwelt."
(Erster Versuch einer Verknüpfung von Psychoanalyse mit Physik in der Forengeschichte).
Zweifellos rangieren Vektoren unter "sonstige Objekte"!

Grüße, Timm

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

ja, das kann ich mir auch nicht vorstellen, dass der Vierer-Vektor die gleiche Richtung hat wie der Dreiervektor. Wenn der Dreier-Vektor verschwindet, dann kann ich mir vorstellen, das der Vierer-Vektor in eine vierte Richtung zeigt [1]. Mal sehen was die Profis dazu sagen.

[1] Das heißt, senkrecht auf den dreidimensionalen Vektorraum.

So kann man das sehen, Eugen.

P.S.
Mein mangelndes Verständnis für Vektoren rührt daher, dass im Ingenieur-Studium für Elektrotechnik nur marginal mit Vektoren operiert wurde, dafür um so mehr mit der komplexen Rechnung (Wechselströme).

Bei mir war es im Maschbaustudium so, dass beides relevant war. Ich sags ja immer: Es gibt nur einen wahren Ingenieur und das ist der Maschinenbauingenieur.

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Warum ist √ (k² (c² - v²) = c ?
Vielleicht kann man es einfacher herleiten. Nachdem k = 1/sqrt(1 – v²/c²) ergibt sich:

(1) sqrt[(k²(c² - v²)] = sqrt[(c² - v²) / (1 – v²/c²)]

Betrachten wir hieraus den Term

(2) (c² – v²) / (1 – v²/c²)

Wenn v gegen c strebt, strebt der Term 1 / (1 – v²/c²) gegen unendlich und der Term (c² – v²) strebt gegen Null. Vielleicht strebt dann der Term (2) nach einer Grenzwertbetrachtung gegen c². Ich werde die Grenzwertbetrachtung demnächst versuchen.

k kenne ich eigentlich nur vom Bondischen k-Kalkül. Das ist der Faktor um den sich Eigenzeitintervalle ändern, wenn sie zwischen Weltlinien übertragen werden.

Da ist k=sqrt((1+ß)/(1-ß))

Bei dir scheint k der Gammafaktor zu sein.

Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Aber es es kommt dabei imho nie c raus.

Grüsse, MP

[Marco Polo]

Hallo Timm,

Zitat von Timm

Ich mir auch nicht, Marc. Aber eine Projektion ist ja auch ein komplexes Ding, Wiki schreibt dazu: " Sie definiert das Übertragen und Verlagern eines eigenen innerpsychischen Konfliktes durch die Abbildung eigener Gefühle (Empfindungen/Affekte), Wünsche und Impulse, die im Widerspruch zu eigenen und/oder gesellschaftlichen Normen stehen können, auf andere Menschen(gruppen), Lebewesen oder sonstige Objekte der Außenwelt."
(Erster Versuch einer Verknüpfung von Psychoanalyse mit Physik in der Forengeschichte).
Zweifellos rangieren Vektoren unter "sonstige Objekte"!

Grüße, Timm

könnte hinkommen. Aber es hilft uns nicht so recht weiter, befürchte ich.

Auch dann nicht, wenn es der erste Versuch einer Verknüpfung von Psychoanalyse mit Physik in der Forengeschichte ist.

Zum Verständnis der Projektion eines Vierervektors auf den dreidimensionalen Ortsraum hilft uns vielleicht ein etwas einfacheres Beispiel weiter.

Die Projektion eines Vektors auf eine Ebene.

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogo...auf_eine_Ebene

Grüsse, MP

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Bei dir scheint k der Gammafaktor zu sein.
Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Hallo Marc,

ja, k ist hier der Gammafaktor.
Die Formel √ k² (c² - v²) = c habe ich aus dem Wiki-Artikel Vierergeschwindigkeit entnommen. Dort steht anstelle von k der Gammafaktor.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Bauhof]

Zitat von Marco Polo

Keine Ahnung woher du die Formel √ (k² (c² - v²) = c hast.

Aber es es kommt dabei imho nie c raus.

Grüsse, MP

Hallo Marc,

doch, es kommt c heraus.
Ich sehe gerade, dass man keine Grenzwertbetrachtung benötigt, um die Formel √ k² (c² - v²) = c zu beweisen:

(1) √ k² (c² - v²) = c

(2) k² = 1 / (1 – v²/c²); (2) in (1) eingesetzt ergibt:

(3) √ (c² – v²) / (1 – v²/c²) = c

(4) √ (c² – v²) / [(c² – v²) / c²)] = c

(5) √ c²(c² – v²) / (c² – v²) = c

(6) √ c² = c.

[Marco Polo]

Zitat von Bauhof

Hallo Marc,

ja, k ist hier der Gammafaktor.
Die Formel √ k² (c² - v²) = c habe ich aus dem Wiki-Artikel Vierergeschwindigkeit entnommen. Dort steht anstelle von k der Gammafaktor.

M.f.G. Eugen Bauhof

Dann setzen wir jetzt mal für v=0,5 c ein.

U=sqrt(k²(c²-v²)) mit k=1/sqrt(1-v²/c²) und v=0,5c

U=sqrt((c²-0,5²c²)/sqrt(1-0,5²c²/c²))

U=sqrt(c²-0,25c²)/sqrt(1-0,25))

U=sqrt(0,75c²)/sqrt(0,75)) mit x/sqrt(x)=sqrt(x)

U=sqrt(sqrt(0,75)c²)

U=0.931c²

hmm...

Irgendwo hab ich mich verrechnet?

Komm nicht auf den Fehler und hab grad keinen Bock mehr.

[Marco Polo]

Ach ich Stümper. Haha bin ich doof.

U=sqrt(k²(c²-v²)) mit k²=1/(1-v²/c²) und v=0,5c

U=sqrt((c²-0,5²c²)/(1-0,5²c²/c²))

U=sqrt(c²-0,25c²)/(1-0,25))

U=sqrt((0,75c²)/0,75)

U=sqrt(c²)

U=c