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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #41  
Alt 30.05.13, 18:20
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eigenvector eigenvector ist offline
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Standard AW: thermische schwarze Löcher

Zitat:
Zitat von ghostwhisperer Beitrag anzeigen
Fehlschluss! Es gibt Anwendungen die ausschließlich gravitative Vorgänge betrifft, etwa die Fusion Schwarzer Löcher. Andere Felder bestimmen nicht den Betrag der Strahlung sondern nur die Zusammensetzung. Ausserdem könnte man sagen dasss eine QFT der Gravitation allein ebenfalls zu Vakuumfluktuationen führen kann, nämlich Fluktuationen der Raumzeit-Struktur an sich. Die Loop-QGT kann sowas vorhersagen, etwa dass Gravitation unter extremen Bedingungen abstoßend wird. Laut Wiki kann sie Entropie und Strahlung Schwarzer Löcher tatsächlich vorhersagen, dabei enthält sie neben der Gravitation "nur" Quantenmechanik, aber nicht die anderen Quantenfelder.
Mag sein, dass die Loop-Quanten-Gravitation da irgendetwas anderes vorhersagt.
Ich hab mich aber auf die Herleitung von Hawking bezogen und die funktioniert nicht ohne irgendwelche Quantenfelder. Da ist kein Fehlschluss.
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  #42  
Alt 31.05.13, 11:01
ghostwhisperer ghostwhisperer ist offline
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Standard Mikrozustände

Hallo!
Mir ist beim Joggen eine Erklärung eingefallen, was die Mikrozustände sein könnten. Ist bereits in der ART in gewisser Weise identifizierbar, aber erst in der quantisierten ART wirklich erklärbar. Bis heut Abend !

Naja hat etwas länger gedauert...
Also... verfälscht mich falls ich korrekt liege (oder umgekehrt):

Die Interpretation der Mikrozustände
Aus der Eigenart Schwarzer Löcher, dass der Ereignishorizont immer zunimmt wurde eine Analogie zum thermodynamischen Konzept der Entropie aufgestellt. Später wurde daraus abgeleitet, dass Schwarze Löcher eine endliche Temperatur haben und Strahlung mit thermischem Spektrum emittieren.
Was fehlt ist eine Interpretation welcher Art die Mikrozustände sind, welche zum selben Makrozustand führen!
In der Thermodynamik ist es so, dass Temperaturunterschiede in einem geschlossenen System sich mit der Zeit ausgleichen, womit die Entropie maximal wird. Hier sind die Mikrozustände damit identifiziert, dass zuguterletzt alle Teilchen mit der Zeit dieselbe Energie annehmen und somit ununterscheidbar werden.
Um diesen Vorgang umzukehren muss zusätzlich Energie in das System eingebracht werden, was wiederum die Gesamtentropie erhöht.

Allgemein ausgedrückt verteilt sich die Gesamtenergie im ganzen System gleichförmig. Zunahme der Entropie kann allgemein als Resultat einer "Gleichverteilung der Energie" auf die Teile des Systems verstanden werden. Quantenphysikalisch ausgedrückt nehmen alle Teilchen denselben Grundzustand an.

Im Rahmen der ART kann diese "Gleichverteilung der Energie" mit der Richtungsunabhängigkeit der Gravitation verglichen werden, insbesondere mit der Richtungsunabhängigkeit der von einem statischen Schwarzen Loch verursachten Krümmung der Raum-Zeit. Es wirkt in alle Richtungen gleich stark.
Es ist theoretisch vorstellbar, dass diese Krümmung sich zuerst ungleichmäßig einstellt. Dabei käme es jedoch zur Herausbildung lokaler Extrema. Diese sind jedoch, allgemein ausgedrückt, Quellen von Gravitationswellen und bauen sich so mit der Zeit ab bis sich überall der gleiche Zustand einstellt.

Krümmungen der Raum-Zeit sind im Prinzip Energiedichten proportional. Es handelt sich somit wieder um eine Gleichverteilung von Energie, diesmal konstant über Niveau-Flächen.

Die Entropie Schwarzer Löcher lässt sich wegen grundsätzlichen Eigenarten der ART dennoch nicht verstehen:

1)Schwarze Löcher sind Vakuum-Lösungen, die Divergenz des Felds verschwindet im gesamten Raumbereich, außer in der Singularität. Krümmungen sind nur dort Energien proportional wo die Divergenz nicht verschwindet.
2)Die Singularität hat keine Freiheitsgrade mit denen sich Entropie verstehen ließe
3)Die ART ist kontinuierlich. Die Fläche des EH ist wohldefiniert, auch das Flächenintegral über die Feldverteilung, jedoch ist die Anzahl der Flächenelemente dA abzählbar unendlich. Was dazu führt, dass unendlich viele Energieportionen sich auf unendlich viele Flächenelemente verteilen müssten.

Diese Probleme verschwinden mit der Quantisierung der ART:
Der Zusammenhang zwischen Krümmung und Energiedichte ergibt jetzt Sinn, da die Masse des quantisierten Schwarzen Lochs über seinen gesamten Innenraum verteilt ist.
Der Ereignishorizont ist quantisiert und definiert so eine endliche Zahl von „Raumzellen“ der Tiefe 1*s0, so dass nur die Anzahl der Flächenelemente in die Rechnung eingeht.

Die sich einstellenden Energiedichten lassen sich so verstehen, dass ab einem Grenzwert der Dichte weitere Energie auf die „nächsthöhere Schale“ des Schwarzen Lochs verdrängt wird und sich im Allgemeinen dort gleichmäßig verteilt, sich dabei aber radial immer über eine Plancklänge verteilt. Daher nimmt die Dichte mit 4pi*n^2 ab.

Vergleicht man das mit einem Atom-Modell ergibt sich folgendes Bild:
1)Jede Schale kann nur eine endliche Menge Energie vom Betrag ½ E0 aufnehmen.
2)Jede Schale hat n^2 mögliche Zustände, wie die Energie sich verteilen kann

Die Gesamtfläche des EH ist gemäß meiner Herleitung 4pi*(2*s0)^2*n^2
Die Anzahl der Flächenelemente des EH ist offensichtlich das Quadrat der Abschnittsmenge des quantisierten Schwarzschild-Radius.
Vergleicht man Ereignishorizonte miteinander unterscheiden sich diese nur um den Faktor n^2.

Die Entropie ist somit entweder der absoluten Elemente-Zahl 4*n^2 proportional oder muss wie der Ereignishorizont relativ betrachtet werden, dann ist die Entropie n^2 proportional. Der Normierungsfaktor ist also entweder 4pi*s0^2 oder 16pi*so^2.

Die Anzahl der Mikrozustände definiert sich dann darüber, wie sich die Schalen-Energie E auf die Flächenzellen (Volumenzellen der Tiefe 1*s0) verteilt.
Sie könnte in nur einer Zelle konzentriert sein, oder in 2, 3 usw. bis N=n^2 Zellen.
Diese Zustände korrelieren mit der theoretischen Möglichkeiten lokaler Extrema der Krümmung auf dem Ereignishorizont, wie im Rahmen der klassischen ART beschrieben (inklusive des Ausgleichs über Gravitations-Wellen).
Die Gleichverteilung der Energie ist der wahrscheinlichste Zustand und maximiert die Entropie.

Neben der thermodynamischen Definition ist eine statistische Definition der Entropie durch die Gleichung S = kB Ln(W) gegeben.
Dabei bezeichnet W die Wahrscheinlichkeit, dass das System in seinem Zustand realisiert ist. Nun stellt sich natürlich die Frage, wie diese Wahrscheinlichkeit definiert ist. Welche Alternativen müssen berücksichtigt werden, so dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten den Wert eins ergibt? Dies ist die Frage nach der absoluten Definition der Entropie. Es wird jedoch später ersichtlich, dass diese Frage nach der absoluten Definition der Entropie sich nicht stellt. Was von Bedeutung ist, ist die Frage nach der Änderung der Entropie, wenn das System vom Zustand 1, mit der Entropie S1, in den Zustand 2, mit der Entropie S2 übergeht.

Gemäß dieser Aussage müsste der Faktor 16pi*s0^2 als Normierungsfaktor eingehen!

Die allgemeine Definition einer Entropie-Änderung lautet:
dS = kb*Ln(w2/w1)
Dabei bezeichnet wi die Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand i realisiert ist. Bringt man zwei Teilsysteme a und b zusammen, die jeweils in einem Zustand mit der Wahrscheinlichkeit wa und wb realisiert sind, so ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit als das Produkt w =wa*wb.

Damit ergibt sich die Entropie des zusammengeführten Systems zu
S= kb*ln(wa*wb) = kb*(Ln(wa)+Ln(wb)) = Sa+Sb

Wir stellen uns nun vor, dass das Volumen eines Gases auf die Hälfte reduziert wird. Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass sich N Atome in einer Hälfte des Volumens befinden beträgt gerade w = (1/2)^N. Damit ergibt sich also für die statistische Definition der Entropie eine Änderung der Entropie bei Halbierung des Volumens von
dS = kB*Ln(1/2)^N=-kb*N*LN(2), also proportional dem negativen Logarithmus von 2.
Die Änderung der Entropie dS ist negativ, d.h. die Entropie des Endzustandes ist kleiner als die des Anfangszustandes, da der Endzustand besser geordnet ist.

Derselbe Ansatz mit folgenden Forderungen:
Die sich verteilende Energie je Schale ist konstant E.
Das Volumen wächst mit n^2
Der wahrscheinlichste Zustand ist E/N=E/n^2

Die Energie wird faktisch in N=n^2 Portionen aufgeteilt. Nun kann wieder die Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Verteilung betrachtet werden.
zB alle Energieportionen nur im halben Volumen -> w=(1/2)^N
oder drittel -> w=(1/3)^N
Die dazugehörigen Entropien : S=kb*LN(1/m)^N = -kb*N*Ln(m) = -kb*n^2*Ln(m)
Die so definierte Entropie ist also proportional dem Ereignishorizont.
Wie man allerdings auf den Absolut-Wert
S = ¼ *kb * n^2 => kb * Ln(w)^(0,25*n^2)
kommt kann ich nicht sagen.

Es fehlt noch irgendeine Randbedingung.

Aber ausgehend von der Entropie lässt sich jetzt die Temperatur definieren:

dS= ¼ *kb*2*n*dn (dn=1)
dS= ½ *kb*n

Da die beteiligte Energie bekannt ist, kann eine Änderung dQ festgelegt werden:
dS = dQ/T
T=dQ/dS
T= ½ E0 / (1/2 *kb*n)
T= E0 / (kb*n)

Jetzt kann wieder die Strahlungsleistung abgeleitet werden. Allerdings ist die konstante sigma für die Planckära nicht bekannt. Wenn ausgehend von der Quantisierung der SL angenommen wird, dass der Grundwert der Planck-Leistung entspricht, kann sigma hergeleitet werden:

P = sig * A* T^4
P = sig *(16*pi*s0^2*n^2) *(E0/(kb*n))^4
P = sig * pi/n^2 * 1/kb^4 *E0^4*s0^2
P=P0 = c^5/y=>
sig = c^5/y * kb^4*n^4/(16pi*s0^2*n^2*E0^4)
sig = n^2 * c^5*c^3*y^2 / (y*hq*y*hq^2*c^10 *16pi) * kb^4

sig = n^2 * kb^4/(c^2*hq^3*16pi) = n^2*pi^2*kb^4 /(2*h^3*c^2)

Damit ergibt sich die quantisierte Form für die Leistung:
P=c^5/y *1/n^2 = P0 / n^2


Mfg ghosti

Ge?ndert von ghostwhisperer (04.06.13 um 21:29 Uhr)
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  #43  
Alt 06.06.13, 17:21
ghostwhisperer ghostwhisperer ist offline
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Standard Hallo!

Ein schönes Hallo an alle Mitdiskutierer!!
Soweit ich sehen kann, haben mindestens 8 Leutz mein pdf runtergeladen..

Hatte gehofft verschiedene Ansichten zu hören..
Was macht Marcus U eigentlich?

MFG ghosti
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  #44  
Alt 07.06.13, 11:34
Timm Timm ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Mikrozustände

Zitat:
Zitat von ghostwhisperer Beitrag anzeigen
Die Entropie Schwarzer Löcher lässt sich wegen grundsätzlichen Eigenarten der ART dennoch nicht verstehen:

1)Schwarze Löcher sind Vakuum-Lösungen, die Divergenz des Felds verschwindet im gesamten Raumbereich, außer in der Singularität. Krümmungen sind nur dort Energien proportional wo die Divergenz nicht verschwindet.
2)Die Singularität hat keine Freiheitsgrade mit denen sich Entropie verstehen ließe
3)Die ART ist kontinuierlich. Die Fläche des EH ist wohldefiniert, auch das Flächenintegral über die Feldverteilung, jedoch ist die Anzahl der Flächenelemente dA abzählbar unendlich. Was dazu führt, dass unendlich viele Energieportionen sich auf unendlich viele Flächenelemente verteilen müssten.
Du betrachtest die äußere Lösung, deshalb kommst Du mit dem Vakuum nicht voran.
Das Innere wird durch die Friedmann Lösung mit k = 1 beschrieben. Also gilt das Modell der idealen Flüssigkeit. Damit ist die Entropie als extensive Größe proportional zur Masse.
Betrachtet man die Entropie Schwarzer Löcher quantenphysikalisch, scheint Susskind mittlerweile ziemliche Akzeptanz zu haben, aber das dürfte bekannt sein.

Gruß, Timm
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  #45  
Alt 07.06.13, 14:00
ghostwhisperer ghostwhisperer ist offline
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Standard innere Lösung

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Du betrachtest die äußere Lösung, deshalb kommst Du mit dem Vakuum nicht voran.
Das Innere wird durch die Friedmann Lösung mit k = 1 beschrieben. Also gilt das Modell der idealen Flüssigkeit.
Ich dachte immer die innere Schwarzschild-Lösung wird nur auf ausgedehnte Körper angewandt, z.B. als einfachstes Modell eines Planeten.
Ein (klassisches) SL ist aber kein ausgedehnter Körper, sondern eine Singularität mit Vakuum drum herum. Oder ??

MFG ghosti
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  #46  
Alt 07.06.13, 15:08
Timm Timm ist offline
Singularität
 
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Standard AW: Frage zu Tensoren

Ja, das ist zweifellos überraschend. Schwarzschild hat auch eine innere Lösung der Feldgleichungen gefunden, bei der die Singularität, nicht aber der Energie-Impuls-Tensor verschwindet. Kannst Du leicht googeln oder in Lexika wie Andreas Müller nachlesen.

Gruß, Timm
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  #47  
Alt 07.06.13, 21:15
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Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Frage zu Tensoren

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Ja, das ist zweifellos überraschend. Schwarzschild hat auch eine innere Lösung der Feldgleichungen gefunden, bei der die Singularität, nicht aber der Energie-Impuls-Tensor verschwindet. Kannst Du leicht googeln oder in Lexika wie Andreas Müller nachlesen.
Hi Timm,

das ist nicht korrekt. Es gibt keine innere Schwarzschildlösung für ein SL.

Nur eine äussere. Die innere Schwarzschildlösung gilt lediglich für eine homogene Flüssigkeitkugel. Also in Näherung auch für Planeten, die idealerweise nicht rotieren. Sie ist ja statisch.

p.s. ich sehe gerade, dass du das ja auch garnicht behauptet hattest. Nur indirekt, indem du Ghostwhisperers Bedenken durch deine Antwort zerstreut hattest.

Grüsse, Marco Polo

Ge?ndert von Marco Polo (07.06.13 um 21:32 Uhr)
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  #48  
Alt 07.06.13, 21:59
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Frage zu Tensoren

Hi Marc,
Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
p.s. ich sehe gerade, dass du das ja auch garnicht behauptet hattest. Nur indirekt, indem du Ghostwhisperers Bedenken durch deine Antwort zerstreut hattest.
Mit Schwarzschildlösung ist üblicherweise die Vakuumlösung gemeint, die für den Außenraum also. Was allerdings nichts daran ändert, daß Schwarzschild auch die für das Innere gefunden hat.

Ob damit Ghostwhisperer's Bedenken zerstreut sind, wird er womöglich noch kundtun.

Gruß, Timm
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  #49  
Alt 07.06.13, 22:02
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Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Frage zu Tensoren

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Was allerdings nichts daran ändert, daß Schwarzschild auch die für das Innere gefunden hat.
Die allerdings nicht für das Innere eines SL´s gilt. Darauf wollte ich hinaus.

Das siehst du hoffentlich auch so?

Grüsse, Marco Polo
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  #50  
Alt 07.06.13, 22:26
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Standard äussere Lösung

Zitat:
Zitat von Marco Polo Beitrag anzeigen
Die allerdings nicht für das Innere eines SL´s gilt. Darauf wollte ich hinaus.

Das siehst du hoffentlich auch so?

Grüsse, Marco Polo
Sag ich doch. Die äussere Lösung gilt überall dort, wo Materie NICHT ist.
Tatsächlich muss ich als Rand/Startbedingung Materie im Raum erstmal platzieren Eine andere Randbedingung ist, dass die Metrik im Unendlichen die Minkowski-Metrik ist. Alles dazwischen ist ein fließender Übergang, eine zweifach differenzierbare Form.

Hat die Materie innere Stabilität durch Druck zB thermisch oder wird als inkompressibel angenommen, gilt im einfachsten Fall überall wo sie ist die innere Schwarzschild-Lösung.
Die heisst aber nicht so weil sie für Schwarze Löcher gilt, sondern weil Herr Schwarzschild zufällig einen dermaßen ähnlich klingenden Namen hat

Dieser einfachste Fall besticht durch hohe Symmetrie.
Allgemeinere Fälle müssen aufwendig durch Super-Computer berechnet werden, quasi durch Integration der zehn gekoppelten, partiellen und zuguterschlecht auch noch nichtlinearen Differentialgleichungen.

Wer sich mit den Maxwellschen Gleichungen auskennt und vielleicht schonmal anhand Randbedingungen Multipole berechnet hat, kann es zumindest annähernd nachvollziehen was ich meine.

Nimmt der innere Druck ab bzw nimmt die Gravitation überhand, wird die innere Lösung quasi instabil und schrumpft bis zum singulären Zustand. Was nichts anderes heisst, dass die Raumzeit überall die äussere Lösung annimmt, ausser eben in der Singularität. Und die hat klassisch den Radius Null..

gruezi ghosti
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