Tür und Tor stehen offen!_und die Schlüssel?

[zeitgenosse]

Zitat von Lambert

Du solltest wirklich das Buch von Amir Aczel lesen.

Das Buch ist bestimmt sehr nützlich. Geht es doch um das Geheimnis des Aleph. Cantor selbst war ein einsames Genie. In seinen späteren Jahren wechselte sein Dasein zwischen Draussen und der Klinik. Er zerbrach an der Kontinuum-Hypothese.

Heute wissen wir, dass die Kontinuum-Hypothese im Rahmen und mit den Methoden bzw. Axiomen der Mengenlehre nicht entscheidbar ist. Oder besser ausgedrückt: Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuum-Hypothese nicht widerlegen! Aber eben auch nicht beweisen. Das hat Prof. Cohen (1963) herausgefunden.

Gr. zg

[Lambert]

Zitat von zeitgenosse

Das Buch ist bestimmt sehr nützlich. Geht es doch um das Geheimnis des Aleph. Cantor selbst war ein einsames Genie. In seinen späteren Jahren wechselte sein Dasein zwischen Draussen und der Klinik. Er zerbrach an der Kontinuum-Hypothese.

Heute wissen wir, dass die Kontinuum-Hypothese im Rahmen und mit den Methoden bzw. Axiomen der Mengenlehre nicht entscheidbar ist. Oder besser ausgedrückt: Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuum-Hypothese nicht widerlegen! Aber eben auch nicht beweisen. Das hat Prof. Cohen (1963) herausgefunden.

Gr. zg

ja, die Hypothese gab mir eine Struktur, die auf die Physik anwendbar sein kann. Das Problem des Kontinuums ist m.E. über die Physik lösbar.

Übrigens: Amir Aczel ist ein jüdischer Professor aus der Nähe von Boston. Ich selber bin christlich. Als ich sein Buch zufällig las (am 12.8.2004), suchte ich gerade nach einer Struktur wie das Kontinuum vorgibt.

Gruß,
Lambert

[zeitgenosse]

Nun, Cantor hat bekanntlich zwei Diagonalargumente entwickelt. Das erste ist ein Beweisverfahren mit dem man zeigen kann, ob zwei Mengen gleichmächtig sind. Dazu gab er eine umkehrbar eindeutige Abbildung (Bijektion) zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen an.

Das zweite ist nicht unumstritten, geht es doch darum, ob die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Oder anders gesagt, dass die Potenzmenge einer Menge mächtiger als diese Menge ist.

Hume's Induktionsproblem spielt nur am Rande eine Rolle. Dem Beweis durch Widerspruch kommt allerdings eine grosse Bedeutung zu.

Letztlich gipfelt das Ganze in die Kontinuum-Hypothese. Die reellen Zahlen sind das Kontinuum. Cantor führt dazu die Transfiniten Zahlen - die Aleph's - ein.

Im Hebräischen (Cantor war jüdischer Abstammung) gibt es eine bekannte Passage:

A d o n_ O l a m - b e l i_ r e s h i t, b e l i_ t a c h l i t (der Herr der Welt - ohne Anfang, ohne Ende).

Cantor stösst ins Unendliche vor. Die Kabbalisten sprechen vom En-soph. Es kann einem den Verstand kosten, sei gewarnt!

Gr. zg

[Lambert]

Zitat von zeitgenosse

Letztlich gipfelt das Ganze in die Kontinuum-Hypothese. Die reellen Zahlen sind das Kontinuum. Cantor führt dazu die Transfiniten Zahlen - die Aleph's - ein.

Im Hebräischen (Cantor war jüdischer Abstammung) gibt es eine bekannte Passage:

A d o n_ O l a m - b e l i_ r e s h i t, b e l i_ t a c h l i t (der Herr der Welt - ohne Anfang, ohne Ende).

Cantor stösst ins Unendliche vor. Die Kabbalisten sprechen vom En-soph. Es kann einem den Verstand kosten, sei gewarnt!

Gr. zg

1) Die Menge der reellen Zahlen bilden das Kontinuum zusammen mit den davon abzuleitenden Potenzmengen. Die Kardinalzahlen (Mächtigkeiten) dieser Mengen sind von Bedeutung.

2) Ja, das unbegrenzte mathematisch Unendliche kann problematisch sein. Teil der gesundheitlichen Probleme von Cantor wurde übrigens eher verursacht durch die unwirsche Haltung von Kronecker, der die aktuale Unendlichkeit schroff ablehnte.

3) Ausschlagebend ist m.E.: in der Natur wird das Unendliche immer relativiert. Denn Unendlichkeit spielt sich physikalisch/mathematisch immer zum kleinsten Element hin ab, salopp ausgedruckt. Dadurch bekommt die Mathematik der Unendlichkeiten physikalische (also für den Beobachter greifbare) Bedeutung.

4) Diese mathematisch/physikalische Abgrenzung verhindert übermäßige Weitsicht (wir nennen das: mystische Bezugslosigkeit) und damit in Zusammenhang stehende gesundheitliche Probleme, die durch mangelnde Konkretisierung in der Tat bestehen könnten.

Gruß,
Lambert

[Sino]

Zitat von richy

Wenn ich den Grenzwert der Funktion (x+1)/x fuer x-> Unendlich bestimmen will, so laeuft dies letztendlich darauf hinaus, dass ich annehme, dass die Funktion auch im Unendlichen ihren asympthodischen Verlauf beibehaelt.
Den Grenzwert selbst kann ich nicht erfassen. Ich kann mich ihm nur sukzessive, letztendlich induktiv naehern.

Nun ist z.B. auch die induktive Beweisfuehrung ein maechtiges Hilfsmittel der Mathematiker.
Die Frage die Hume aufwirft ist ob die Induktion tatsaechlich eine mathematische Methode ist.Sie impliziert eine Annahme, z.B. dass die obige Beispielfunktion sich im Unendlichen so verhaelt wie im Endlichen, die im Grunde nicht beweisbar ist.

Hmm, das anzuzweifeln würde ich schon als ein bischen verrückt bezeichnen.
Man kann z.b. in diesem Beispiel zeigen, dass gilt: Zu jedem reellen Epsilon>0 gibt es eine Zahl a, sodass 1≤ f(x)<1+epsilon für alle x>a. => Das Ding konvergiert gegen 1.

So einem Beweis kann sich ein Mathematiker doch nicht verweigern. Bei der Abzählbarkeit von beliebigen unendlichen Mengen ist es natürlich was anderes. edit: Ok, mag historisch begründet sein. Hat ja auch mal eine Abneigung gegen die Null gegeben oder gegen die irrationalen Zahlen.

P.S.: Ich weiss, normalerweise würde man wohl für so eine (reelle) stetige differenzierbare Funktion die Regel von L'Hospital nehmen. Das würde aber dann erst recht angezweifelt und so Beweismethoden wie da oben gehen auch mit Folgen.

[richy]

Zu jedem reellen Epsilon>0 gibt es eine Zahl a, sodass 1≤ f(x)<1+epsilon für alle x>a. => Das Ding konvergiert gegen 1.

Und wie zeigst du dies fuer alle a beweisen wenn nicht induktiv ?
Die Regel von L Hopital ist keine Beweisverfahren, sondern nur eine Anwendung die sich wiederum auf Beweise stuetzt, die letztendlich induktiv hergeleitet sind. Wie willst du dich dem Unendlichen auch anders naehern ?

Hmm, das anzuzweifeln würde ich schon als ein bischen verrückt bezeichnen.

Hume's Induktionsproblem ist eher philosophisch und naturwissenschaftlich motiviert.
Aber es betrifft auch die Induktion der Mathematik.
Mittels vollstaendiger Induktion lassen sich Saetze beweisen. Aber die Gueltigkeit des Induktionsschlusses selbst laesst sich nicht ohne weiteres beweisen.
Insbesonders nicht ohne andere induktive Beweise zu verwenden.
Vielleicht geht es aus dem Axiom hervor, dass jede natuerliche Zahl einen Nachfolger hat.
Aber das ist selbst wieder eine induktive Annahme. Und "Unendlich" ist keine Zahl.
Du kannst dich dem Grenzwert nur induktiv beliebig Naehern. Aber was soll garantieren, dass
die vorherigen induktiven Schritte beim Ueberschreiten der Grenze noch gueltig sind ?
Dirket beweisen laesst sich hier wenig.

Die Seiten im www dazu sind leider nicht so leicht zu finden.

[Sino]

Zitat von richy

Und wie zeigst du dies fuer alle a beweisen wenn nicht induktiv ?

Sei f(x)=(x+1)/x und x>0

1) Behauptung: 1<f(x) für alle x>0
Also 1<x+1/x |*x
<=> x<x+1 o.k. das stimmt, das ergibt sich aus der Ordnungsrelation der Zahlen von allein

2) Behauptung: Für jedes Epsilon>0 aus R existiert ein a>0, so dass f(x)<1+Epsilon für alle x>a.
ObdA sei x=a+d (=>d>0 wg. x>a) und sei Epsilon>0 beliebig gewählt:
f(x)=f(a+d)<1+epsilon
(a+d+1)/(a+d)<1+epsilon
<=>1 + 1/(a+d) < 1+epsilon
<=>1/(a+d) < epsilon
<=>a+d > 1/epsilon
<=>a>1/epsilon - d

Behauptung: a = 1/epsilon erfüllt die Ungleichung.
1/epsilon > 1/epsilon-d <=> 0 > -d <=> d>0 was ja auch Voraussetzung war.

Also erfüllt a=1/epsilon Behauptung 2)

Damit ist der Grenzwert f(x)->1 für x->unendlich bewiesen, da wir wie gesagt zu jedem beliebigen epsilon>0 mit 1<f(x)<1+epsilon ein a finden, so dass die Funktionswerte für alle x>a in dem gesuchten Intervall liegen.

P.S.: Hab das nur nochmal gemacht um zu zeigen, dass man dafür keine Induktion verwenden muss ... und weil ich wissen wollte, ob ich diese Sorte von Beweisen noch zusammenbringe. Meine letzte Mathevorlesung ist auch schon ein paar Jährchen her.

edit: Letztendlich ist das Zahlensystem quasi schon induktiv definiert angefangen bei den natürlichen Zahlen, von daher kann man Induktionsbeweise eigentlich doch gar nicht ablehnen, sonst hat man ja nichts mehr übrig, um zu rechnen.

[zeitgenosse]

Zitat von richy

Mittels vollstaendiger Induktion lassen sich Saetze beweisen.

Dazu muss man auf einer umfassenderen Ebene bedenken, dass es nach Gödel (1931) auch Theoreme gibt, welche nicht entscheidbar sind (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme).

Lapidar ausgedrückt:

Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.

Diese allen formalen Systemen anhaftende Schwäche erblicke ich übrigens - und nebenbei bemerkt - auch im Beispiele der Heimschen Syntrizenlogik. Möglicherweise müssen wir uns damit abfinden, dass die Welt nicht durch eine Vereinheitlichte Theorie beschreibbar bzw. dass der Menschengeist zu einer phänomenologischen Beschreibung der "letzten Dinge" nicht in der Lage ist! Was bleibt, ist ein nur qualitativer Erkenntnispfad im Sinne der jüdischen Kabbalisten. Aus diesem Grunde ferner leben in meiner Brust zwei Protagonisten, der Physiker und der Theologe (sie bekämpfen sich jedoch nicht, sondern ergänzen sich)!

Und deswegen, nach Gödel, muss man beim "Beweis durch Widerspruch" (reductio ad absurdum) vorsichtig genug sein, denn:

Ex falso sequitur quodlibet!

Eines der Probleme dieser Art ist ja die Kontinuum-Hypothese, die mit den Axiomen der Mengenlehre weder beweis- noch widerlegbar ist. Humes induktiver Ansatz versagt hier gänzlich. An diesem Factum ist - meiner Meinung nach - Cantor innerlich zerbrochen. An einem guten Tag meinte er, den Beweis gefunden zu haben, am nächsten Tag verwarf er ihn wieder (und das über Jahre hinweg). Erst mehrere Dezenien später gelang es Cohen, die Unlösbarkeit der Kontinuum-Hypothese zu beweisen. Dass es immer wieder Juden sind, welche das En-soph beanspruchen, ist doch erstaunlich. Der germanische Menschenschlag - von einigen Ausnahmen abgesehen - kann das nicht.

Auch die "Riemannsche Vermutung" ist bis heute nicht bewiesen. Dem dazu befähigten Genius winkt ein hohes Preisgeld!

Das wäre doch eine echte Herausforderung für dich, Richy!

Gr. zg

[Lambert]

Zitat von zeitgenosse

Eines der Probleme dieser Art ist ja die Kontinuum-Hypothese, die mit den Axiomen der Mengenlehre weder beweis- noch widerlegbar ist.
Gr. zg

Dafür ist sie über die Physik lösbar.

Denn Mathematik ist offenbar auch eine Beschreibung.

Gruß,
Lambert

[uwebus]

Zitat von Lambert

Dafür ist sie (die Kontinuum-Hypothese) über die Physik lösbar.
Denn Mathematik ist offenbar auch eine Beschreibung.

Sie ist weder über die Mathematik noch über die Physik lösbar, sondern sie stellt nur ein philosophisches Denkmodell dar wie alle anderen Hypothesen auch. Schminkt euch doch die Illusion ab, die Wahrheit ergründen zu können, wir können nur Modelle bauen, die halbwegs die Gegenwart erklären. Alle Extrapolationen in Vergangenheit und Zukunft sind mehr oder weniger das, was auch Seherinnen aus ihren Glaskugeln rausholen, je größer die Distanzen, desto dichter der Nebel.

Gruß