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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #51  
Alt 30.11.18, 15:57
Ich Ich ist offline
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Registriert seit: 18.12.2011
Beitr?ge: 2.423
Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von OldB Beitrag anzeigen
Die Dauer der Abbremsphase ist aber nun nicht an die Zeit gekoppelt, die der Stab bräuchte, um sich vollständig auszudehnen. So ergibt sich meiner bescheidenen Meinung nach immer noch die ursprüngliche Diskrepanz.
Rechnen wir das mal, in der Näherung für niedrige Geschwindigkeit.

Wir machen alle Messungen im Ruhesystem des Stabs vor der Bremsung. Wir nehmen einen Punkt des Stabs an x=0 und beschleunigen den so, dass er hinterher Geschwindigkeit -v hat (also im anderes System ruht). Bremsbeschleunigung und -Zeit, a0 und t0, kann man beliebig wählen, solange a0*t0=-v gilt.

Erster Effekt: Gleichzeitigkeit
Der Witz ist: Wir bremsen alle Punkte gleichzeitig im Endsystem, also mit einem Zeitversatz von t(x)=-vx/c² im Stabsystem. Ein benachbarter Punkt in Entfernung x bremst mit demselben Beschleunigungsprofil, aber schon zur Zeit -vx/c². In dieser Zeit fährt Punkt 0 eine Strecke von t(x)*v, die beiden Punkte nähern sich also um s1=-x*v²/c² an.

Zweiter Effekt: Längenkontraktion
Hätten wir den Stab spannungsfrei nach Born gebremst, dann wäre die Strecke x hinterher lorentzkontrahiert, also um s2=-x*v²/(2c²) kürzer.

Der Punktabstand ist also real um Δx = s1-s2 = -x*v²/(2c²) geringer. Entsprechend baut sich im Stab eine Druckspannung von -E*Δx/x = E*v²/(2c²) auf, entsprechend einer Kraft von F=A*E*v²/(2c²), wenn A die Querschnittsfläche ist.
In jedem Längenelement Δx wurde also die Arbeit -F*Δx/2 geleistet, also A*E*Δx*v²/(4c²), über den ganzen Stab A*E*L*v²/(4c²). Daher kommt die Energie, die am Schluss drinsteckt.


Was ist jetzt mit instantan? Wir können die Beschleunigung a0 beliebig groß und t0 beliebig klein machen. Die einzige Bedingung, die für die Rechnung erfüllt sein muss, ist, dass die Kraft verzögerungsfrei an beiden Enden des Längenelements wirkt. Das bedeutet, dass die Lichtlaufzeit durch Δx sehr viel kleiner sein muss als t0, also c*Δx << t0. Wenn man den Festkörper als klassisches Kontinuum sieht, kann man Δx frei wählen und die Bedingung immer erfüllen, die Rechnung stimmt also.
Wenn man sich aber Massenpunkte in einem diskreten Abstand Δx denkt, dann darf t0 nicht beliebig klein werden. Sonst stimmt zwar das Ergebnis, aber wir haben die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kraft unterschlagen, hätten also gar nicht so rechnen dürfen.

Ge?ndert von Ich (30.11.18 um 16:46 Uhr)
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  #52  
Alt 30.11.18, 23:31
OldB OldB ist offline
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Beitr?ge: 68
Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Puh, ich versuche zu folgen
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Bremsbeschleunigung und -Zeit, a0 und t0, kann man beliebig wählen, solange a0*t0=-v gilt.
Ja, so und nicht anders wars auch von mir immer gedacht
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Erster Effekt: Gleichzeitigkeit
Der Witz ist: Wir bremsen alle Punkte gleichzeitig im Endsystem, also mit einem Zeitversatz von t(x)=-vx/c² im Stabsystem. Ein benachbarter Punkt in Entfernung x bremst mit demselben Beschleunigungsprofil, aber schon zur Zeit -vx/c². In dieser Zeit fährt Punkt 0 eine Strecke von t(x)*v, die beiden Punkte nähern sich also um s1=-x*v²/c² an.
Ja, nachvollziehbar. Aus Sicht des Endsystems gleichzeitig heißt, die einzelnen Bremsereignisse aus Sicht des Startsystems sind es nicht. Das vordere Ende wird immer verspätet beschleunigt bzw. das hintere verfrüht respektive das vordere eher gebremst bzw. das hintere verspätet
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Zweiter Effekt: Längenkontraktion
Hätten wir den Stab spannungsfrei nach Born gebremst, dann wäre die Strecke x hinterher lorentzkontrahiert, also um s2=-x*v²/(2c²) kürzer.
Bin mir nicht sicher, aber meinst du "nur" lorentzkontrahiert? Denn aus Sicht des Stabsystems vor Beginn des Bremsens ergibt sich ja aufgrund der zusätzlichen "Kompression" eine noch kürzere Länge , wenn im Endsystem angekommen. Das passt ja auch mit deiner Rechnung, da s2 weniger negativ ist als s1.
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Der Punktabstand ist also real um Δx = s1-s2 = -x*v²/(2c²) geringer.
Das ist nun die zusätzliche Verkürzung durch das gleichzeitige Abbremsen im Verglich zur bornstarren Variante? Richtig?

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Entsprechend baut sich im Stab eine Druckspannung von -E*Δx/x = E*v²/(2c²) auf, entsprechend einer Kraft von F=A*E*v²/(2c²), wenn A die Querschnittsfläche ist.
In jedem Längenelement Δx wurde also die Arbeit -F*Δx/2 geleistet, also A*E*Δx*v²/(4c²), über den ganzen Stab A*E*L*v²/(4c²). Daher kommt die Energie, die am Schluss drinsteckt.
Ok, zusätzliche Längendifferenz mal nötige Kraft für diese Kompression. Ich weiß es nicht, aber ich nehm mal an, E ist zumindest in Näherung auch gleich, sonst müsste man das ja relativistisch auch korrigieren, oder?

Hätte man nicht auch einfach die Differenz zwischen Ruhelänge und lorentzkontrahierter Länge=komprimierter Länge rechnen können? Dann hätte es doch auch keine Näherung für kleine Geschwindigkeiten gebraucht? Aber ich mag mich irren.

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Was ist jetzt mit instantan? Wir können die Beschleunigung a0 beliebig groß und t0 beliebig klein machen.
Alles gut. Den Begriff "Instantan" werde ich nie wieder verwenden, sonst möge mir das "I" aus der Tastatur fallen.
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Die einzige Bedingung, die für die Rechnung erfüllt sein muss, ist, dass die Kraft verzögerungsfrei an beiden Enden des Längenelements wirkt. Das bedeutet, dass die Lichtlaufzeit durch Δx sehr viel kleiner sein muss als t0, also c*Δx << t0. Wenn man den Festkörper als klassisches Kontinuum sieht, kann man Δx frei wählen und die Bedingung immer erfüllen, die Rechnung stimmt also.
Wenn man sich aber Massenpunkte in einem diskreten Abstand Δx denkt, dann darf t0 nicht beliebig klein werden. Sonst stimmt zwar das Ergebnis, aber wir haben die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Kraft unterschlagen, hätten also gar nicht so rechnen dürfen.
Den Absatz versteh ich nicht so recht. Was heißt "verzögerungsfrei"? Unendlich schnell doch wohl nicht? Du meinst auch sicher Delta x/c <<t0?

Danke für die Mühe, wenn ich es halbwegs richtig verstanden habe, sagst (/berechnest) du, die Energie, die später im Stab steckt, musste ich beim Abbremsen reinstecken? Ich werde noch 2-3 mal drüber nachdenken, wäre natürlich hilfreich, wenn du etwas, was ich hier falsch interpretiert habe, korrigieren könntest.

Gruß,
OldB
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  #53  
Alt 01.12.18, 21:52
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von OldB Beitrag anzeigen
Bin mir nicht sicher, aber meinst du "nur" lorentzkontrahiert? Denn aus Sicht des Stabsystems vor Beginn des Bremsens ergibt sich ja aufgrund der zusätzlichen "Kompression" eine noch kürzere Länge , wenn im Endsystem angekommen. Das passt ja auch mit deiner Rechnung, da s2 weniger negativ ist als s1.
Ja, genau. Verkürzung um s2 ist das, was man kräftefrei erwartet. Verkürzung um s1 ist das, was man erzeugt hat.
Zitat:
Das ist nun die zusätzliche Verkürzung durch das gleichzeitige Abbremsen im Verglich zur bornstarren Variante? Richtig?
Ja.
Zitat:
Ok, zusätzliche Längendifferenz mal nötige Kraft für diese Kompression. Ich weiß es nicht, aber ich nehm mal an, E ist zumindest in Näherung auch gleich, sonst müsste man das ja relativistisch auch korrigieren, oder?
Zumindest bei den niedrigen Geachwindigkeiten bin ich mir ziemlich sicher, dass das passt.
Zitat:
Hätte man nicht auch einfach die Differenz zwischen Ruhelänge und lorentzkontrahierter Länge=komprimierter Länge rechnen können? Dann hätte es doch auch keine Näherung für kleine Geschwindigkeiten gebraucht? Aber ich mag mich irren.
Logisch. Am Ende ist der Stab kürzer und die Spannenergie steckt drin. Aber der ganze Zirkus hier ging doch um die Frage, woher diese Energie kommt, wenn man doch bloß alle Punkte gleichzeitig anhalten muss und das auch nicht mehr Energie kostet (bzw. bringt), als wenn man sie im entspannten Zustand anhält. Die Rechnung zeigt, wie das in der Kontinuumsmechanik aussieht, und dass diese Energie sehr wohl reigesteckt werden muss, auch wenn man die Beschleunigungsphase beliebig kurz wählt.
Zitat:
Den Absatz versteh ich nicht so recht. Was heißt "verzögerungsfrei"? Unendlich schnell doch wohl nicht? Du meinst auch sicher Delta x/c <<t0?
Das heißt: So schnell, dass es keine Rolle spielt und die Grundlage der Berechnung nicht zerschießt. Und egal wie schnell man beschleunigt, man kann dx immer noch kleiner wählen, so dass man einen sauberen Grenzübergang hin zum instantanen Abbremsen hinbekommt. (Ich darf das ja noch schreiben.) Das funktioniert bloß nicht, wenn man sich endliche Massenelemente mit Federn dazwischen vorstellt.

Zitat:
Danke für die Mühe, wenn ich es halbwegs richtig verstanden habe, sagst (/berechnest) du, die Energie, die später im Stab steckt, musste ich beim Abbremsen reinstecken? Ich werde noch 2-3 mal drüber nachdenken, wäre natürlich hilfreich, wenn du etwas, was ich hier falsch interpretiert habe, korrigieren könntest.
Ja, genau das sage ich. Was passiert, ist nichts anderes, als dass du den Stab mechanisch zusammendrückst und dabei Energie aufwendest. Das ist eigentlich eh klar, aber die Rechnung zeigt, dass das auch im relativistischen Fall so ist, auch mit beliebig schnellem Bremsen und trotz endlicher Geschwingikeit der Kraftwirkung. Das konnte man ja nicht aus der Vorstellung von Massenpunkten, die mit Federn verbunden sind, herleiten. Da gab es ja ein falsches Ergebnis.

Gruß,
OldB
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  #54  
Alt 02.12.18, 13:11
OldB OldB ist offline
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Standard

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Die Rechnung zeigt, wie das in der Kontinuumsmechanik aussieht, und dass diese Energie sehr wohl reigesteckt werden muss, auch wenn man die Beschleunigungsphase beliebig kurz wählt.
Die Rechnung zeigt, dass aus Sicht des Stabsystems vor der Beschleunigung Energie reingesteckt wird. Da bin ich völlig bei dir. Wie schnell man das macht, kann keine Rolle spielen. Das ist mir mittlerweile auch klar geworden, das würde ja auch keinen Sinn machen.
Das meinst du wohl dann auch hiermit:
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Das heißt: So schnell, dass es keine Rolle spielt und die Grundlage der Berechnung nicht zerschießt. Und egal wie schnell man beschleunigt, man kann dx immer noch kleiner wählen, so dass man einen sauberen Grenzübergang hin zum instantanen Abbremsen hinbekommt. (Ich darf das ja noch schreiben.) Das funktioniert bloß nicht, wenn man sich endliche Massenelemente mit Federn dazwischen vorstellt.
Die Masseninkremente in der Entfernung Delta x müssen während t0 wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit (besser: endliche Signalgeschwindigkeit) wechselwirken können. Aber das ist meines Erachtens auch nicht wirklich ein Problem. Retardierte Felder sind ja nichts neues in der Physik. Am Ende kommt trotzdem das richtige, auch für den Grenzfall t0 ->0 raus Mit gedachten Feldern statt Federn müsste das gedachte Modell immer passen.
Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Ja, genau das sage ich. Was passiert, ist nichts anderes, als dass du den Stab mechanisch zusammendrückst und dabei Energie aufwendest. Das ist eigentlich eh klar, aber die Rechnung zeigt, dass das auch im relativistischen Fall so ist, ...
Ja, wie oben schon erwähnt. Das entspricht ja auch der trivialen Erwartung. Die Rechnung zeigt, dass (nur) aus Sicht des Stabsystems vor dem Bremsen. Aber der "Switch", den ich hier vermisse, ist, dass du hier diese Rechnung eben nicht aus Sicht des Zielsystems machen kannst. Kein Weg, keine Arbeit! Genau das will mir nicht in den Kopf gehen!

Und wenn ich mich nicht völlig täusche, müsste das Ergebnis aus beiden Perspektiven übereinstimmen.

Gruß,
OldB

Ge?ndert von OldB (02.12.18 um 13:26 Uhr)
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  #55  
Alt 02.12.18, 22:12
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von OldB Beitrag anzeigen
Aber der "Switch", den ich hier vermisse, ist, dass du hier diese Rechnung eben nicht aus Sicht des Zielsystems machen kannst. Kein Weg, keine Arbeit! Genau das will mir nicht in den Kopf gehen!
Wieso, das ist doch trivial. Statt mit 0 anzufangen und bei -v zu enden, fängst du bei v an und endest bei 0. Die zurückgelegten Wege sind die gleichen.
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  #56  
Alt 04.12.18, 12:37
OldB OldB ist offline
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Cool

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Wieso, das ist doch trivial. Statt mit 0 anzufangen und bei -v zu enden, fängst du bei v an und endest bei 0. Die zurückgelegten Wege sind die gleichen.
Vielleicht meinst du andere Wege als ich.
Schau mal:

Der zurückgebliebene Beobachter im Stabsystem sieht, wie sich die Enden des Stabes annähern.

Ein Beobachter auf dem Stab beobachtet das auch.

Der Beobachter im Zielsystem sieht aber nur, dass die Entfernung zwischen Stabanfang- und Ende gleich bleiben. Der mag eine Kraft anlegen müssen -zweifelsfrei- damit sich der Stab nicht ausdehnt. Die dafür nötige Arbeit kannst du aber doch nicht über Kraft x Weg berechnen, da der Weg hier gleich Null ist.

Auf das richtige Ergebnis kommen der zurückgebliebene Beobachter und der im Zielsystem nur indirekt, indem sie die Differenz aus tatsächlicher Länge und der Länge berechnen, die der Stab hätte haben müssen ohne die Kompression.

Aber gut, du hast wohl recht und ich seh da was, was es nicht gibt, sehr wahrscheinlich sogar. Vielleicht fällt mir irgendwann mal ein besseres Beispiel ein (wahrscheinlich nicht).

Trotzdem herzlichen Dank, ich hab auf jeden Fall hier und da noch was gelernt.

Beste Grüße,
OldB
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  #57  
Alt 04.12.18, 13:53
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von OldB Beitrag anzeigen
Der Beobachter im Zielsystem sieht aber nur, dass die Entfernung zwischen Stabanfang- und Ende gleich bleiben. Der mag eine Kraft anlegen müssen -zweifelsfrei- damit sich der Stab nicht ausdehnt. Die dafür nötige Arbeit kannst du aber doch nicht über Kraft x Weg berechnen, da der Weg hier gleich Null ist.

Auf das richtige Ergebnis kommen der zurückgebliebene Beobachter und der im Zielsystem nur indirekt, indem sie die Differenz aus tatsächlicher Länge und der Länge berechnen, die der Stab hätte haben müssen ohne die Kompression.
Du hast schon Recht. Der Schritt mit der Lorentzkontraktion/-expansion ist da immer mit drin, so wie ein "hier geschieht ein Wunder".
Ich wollte das auch schon im beschleunigten Bezugssystem rechnen, den von Bernhard angesprochenen Rindler-Koordinaten. Das schien mir dann aber zu kompliziert, das ist ja nochmal eine andere Liga.
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  #58  
Alt 04.12.18, 15:33
OldB OldB ist offline
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Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Du hast schon Recht. Der Schritt mit der Lorentzkontraktion/-expansion ist da immer mit drin, so wie ein "hier geschieht ein Wunder".
Ich wollte das auch schon im beschleunigten Bezugssystem rechnen, den von Bernhard angesprochenen Rindler-Koordinaten. Das schien mir dann aber zu kompliziert, das ist ja nochmal eine andere Liga.
Okay? Was genau ist das Wunder? Dass der im Zielsystem nur auf die Seiten des Stabes drücken muss, aber keine Arbeit verrichtet dabei? Und dass er die Kompressionsenergie dann für lau bekommt?
Ich war gerade dabei aufzugeben, daher bin ich "geringfügig" überrascht...

Ge?ndert von OldB (04.12.18 um 21:51 Uhr)
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  #59  
Alt 04.12.18, 16:59
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von OldB Beitrag anzeigen
Okay? Was genau ist das Wunder? Dass der im Zielsystem nur auf die Seiten des Stabes drücken muss, aber keine Arbeit verrichtet dabei? Und dass er die Kompressionsenergie dann für lau bekommt?
Ich war gerade dabei aufzugeben, daher bin ich "geringfügig" überrascht...
Nein, damit meine ich nur, dass ich diese "spannungsfreie Längenänderung" aka Lorentzkontraktion nur hingeschrieben habe und nicht hergeleitet.
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  #60  
Alt 04.12.18, 17:34
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Verständnisproblem beim Längenparadoxon

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Nein, damit meine ich nur, dass ich diese "spannungsfreie Längenänderung" aka Lorentzkontraktion nur hingeschrieben habe und nicht hergeleitet.
Wir hatten uns an anderer Stelle doch schon darauf geeinigt, dass es eine spannungsfreie Lorentzkontraktion beim Festkörper aufgrund des Transformationsverhaltens des Energie-Impuls-Tensors nicht gibt?
__________________
Freundliche Grüße, B.
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