Hydrostatischer Druck eines Himmelskörpers

[Sino]

Hab mal eine "Darf man das so rechnen?" Frage.

Ich nehme mal einen runden Planeten vom Radius R aus einen nahezu inkompressiblen Material der Dichte ρ an, um das Ganze zu vereinfachen. Nun interessiert mich der hydrostatische Druck im Zentrum.

Ok, die Formel für den hydrostatischen Druck lautet
p(h)=ρ·g·h mit den Grössen Dichte ρ, Schwerebeschleunigung g und Höhe h

Da g beim Planeten abhängig von der Entfernung zum Mittelpunkt ist, brauche ich das Gravitationsgesetz statt g und schreibe

g(r)=G·m_innen/r² wobei m_innen der innere Teil der Planetenmasse ist, also auch eine Kugel vom Radius der Dichte π mit Radius r, und G die Gravitationskonstante. Ersetzen der Masse durch Dichte mal Kugelvolumen ergibt:

g(r)=G·4/3·π·r³·ρ/r² = 4/3·π·G·ρ·r

So, das hab ich nun in differentieller Form in die Formel für den hydrostatischen Druck eingesetzt

dp(r)=ρ·g(r)·dr <=>
dp(r)=4/3·π·G·ρ²·r·dr

Integrieren über r von 0 bis R sollte nun den Druck im Zentrum ergeben:

p(Zentrum)=integral(4/3·π·G·ρ²·r dr, 0...R) = 2/3·π·G·ρ²·R²



P.S.: Ich frage, weil ich erstmal wieder ein Gefühl für die Rechnerei kriegen muss und weil ich mir irgendwie nicht ganz sicher bin, ob der Ansatz so funktioniert.

edit: Hab mal die Daten der Erde eingesetzt. Gemittelter Radius Pol/Äquator 6317km, mittlere Dichte 5515 kg/m³ ergäbe damit einen Druck von 1.7*10^11 Pascal bzw. 1.7 Millionen Bar im Zentrum der Erde. Keine Vorstellung ob das grössenordnungsmässig angehen kann. Muss mal schauen, ob ich da irgendwo Zahlen finde.... Hmm, in Wirklichkeit sind es laut Internetinfos über 3 Mio Bar. Entweder der nichtlineare Dichteverlauf macht einen riesigen Unterschied oder meine Rechnung ist falsch.