Math Verhulst 1989

[richy]

Hi
Ich will mal die Zeit nach 1989 zurueckdrehen um zu dokumentieren welche kleine Experimente mich damals bewogen die inverse logistische Abbildung zu verwenden. Kann man die Zeit zurueck drehen ? Dass dies gedanklich moeglich ist zeigt der Thread. Es haengt alleine vom Gedaechtnis ab. Wie sieht es nun aber mit dem Gedaechtnis nichtlinearer Differenzengleichungen aus ? Kann man bei diesen auch einfach die Iterationsrichtung umdrehen und landet dann beim Anfangswert ?
Genau diese Frage habe ich mir 1989 gestellt. Die Chaostheorie war damals gerade sehr populaer und damit auch die logistische Gleichung. Ich war gerade vom Ti99 und C64 auf Atari St 1040 umgestiegen und darauf konnte man schon komplexere Probleme simulieren und graphisch ausgeben.

ANMERKUNG MAPLE
Im Thread widerhole ich die damaligen Simulationen mit Maple. Maple ist ein analytisches Mathematikprogramm, dass stets versucht ganzzahlig und symbolisch ueber Bruchdarstellung zu rechnen. Maple stellt in diesem Modus bezueglich Genauigkeit einen La Placeschen Daemon dar und weist dann auch hoehere Rechenzeiten auf. Um ein Fliesskommaprogramm oder auch den Atari zu simulieren kann man den Befehl evalf() verwenden, der einen Maple Bruch in Fliesskomma umwandelt. Die Genauigkeit kann dann mit Digits=x eingestelt werden.In der Student Version laesst sich z.B. bis 100 Digits rechnen.
Ein Programm mit unbegrenzter Genauigkeit wie MAPLE stand mir 1989 noch nicht zur Verfuegung und ich erwarte damit einige neue Erkenntnisse.
/ANMERKUNG

Insbesonders koennte man die Frage klaeren, ob man die Atome eines Schmetterlings bis zum Urknall zurueckverfolgen kann.

VERSUCH 1
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Was ist bei einer linearen DZGL zu erwarten, wenn man die Iteration an einer Stelle rueckwaerts laufen laesst ?
Beispielsweise x(k+1)=r*x(k)
Die Vorgehensweise ist simpel. Nach N Zeitschritten fuehre ich einfach die inverse Iteration x(k+1)=x(k)/r aus und betrachte das Ergebnis graphisch :

> s:=1.1; r:=2.0;N:=10;

> for i from 0 to N do
> f[i]:=s;
> s:=evalf(s*r);
> od:

> for i from N to 2*N do
> s:=evalf(s/r);
> f[i]:=s;
> od:

> druck:=seq([i,f[i]],i=0..2*N):
> plot([druck]);



Solch ein Bild erhielt ich wohl damals auch auf meinem Atari.
Nichts besonderes. Aber waehlt man mehr Zeitschritte, z.B. N=70 so erkennt man schon eine Problematik. Denn nun betraegt der Wert nach 70 Schritten schon 10^21. Die Kurvenform bleibt scheinbar erhalten, aber man kann in der Darstellung nicht mehr erkennen, ob man den richtigen Anfangswert ueberhaupt noch erreicht :



Das laesst sich einfach ueberpruefen, indem man den Endwert betrachtet :
(9 Digits)

s= 1.100000000 fuer N=10
s= 1.100000011 fuer N=100
s= 1.100000100 fuer N=1000
s= 1.100000647 fuer N=5000 ( der Maximalwert betraegt hier 10^1505 )

Rechnet man ohne evalf Funktion mit dem Startwert 11/10 gibt Maple nach beliebiger Anzahl Iterationen den exakten Wert 11/10 aus. Diese lineare Iteration ist somit reversibel. Die Genauigkeit des Gedaechtnisses haengt lediglich von der Rechengenauigkeit ab.

Eine wichtiges Ergebnis waere noch, dass auch bei einer Rechenungenauigkeit sich das Verhalten der Funktion nicht aendert. Bei der speziellen Funktion waechst zwar der Fehler, aber ebenso der Iterationswert.