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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #61  
Alt 26.12.17, 22:25
Ich Ich ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 18.12.2011
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Sind die Vektoren, die das Killingvektorfeld beschreiben, Zeit- und Ortsvektoren, oder beliebige Vektoren?
Meinst du raumartig oder zeitartig? Sie können beides sein, das häng von der Symmetrie ab. Sie bezeichnen aber keine Punkte in Raum und Zeit, falls du das meinst, sondern Verschiebungen.
Zitat:
Ein paar Beispiele für "physikalisches Geschehen" wären super. Etwa Vektoren wie Vierergeschwindigkeit oder Viererimpuls? Oder Dinge wie freier Fall, Orbit, Beschleunigung ... ?
A und B stationär in der Schwarzschildmetrik. B hat Zeitdilatationsfaktor 1/2, A ist weiter drinnen mit Faktor 1/4.
A sendet zur Koordinatenzeit t=0 einSignal Richtung B, das der bei t=1 reflektiert, so dass es zu t=2 wieder bei A ist. Wir können das Ganze um Koordinatenzeit t=5 in die Zukunft verschieben, dann lauten die Zahlen eben 5,6 und 7, aber es ist immer noch genau dasselbe. Die jeweiligen Eigenzeiten lauten A 0, B 0.5, A 0.5.
Wenn ich hingegen um Eigenzeit tau=5 verschiebe, dann sind die Eigenzeiten bei A 5, B 5.5, A 5.5 und die entsprechenden Koordinatenzeiten sind A 20, B 11, A 22. Das ist nicht dasselbe, sondern totaler Käse. Also ist eine Verschiebung um konstante Koordinatenzeit eine Symmetrieoperation, eine Verschiebung um konstante Eigenzeit aber irgendein Mist. Deswegen ist ein Vektor konstanter Koordinatenzeitverschiebung (dt,0,0,0) ein Killingvektor. Diese Vektoren sind in echt überall unterschiedlich lang, und ihre Gesamtheit bildet ein Vektorfeld, eben besagtes Killingfeld.
Zitat:
Wenn ich mich richtig erinnere, ist das zeitartige Killingvektorfeld einer statischen Raumzeit Null. Falls richtig, ist das so, weil alle Vektoren null sind? Gibt es andere typische Aussagen, die sich auf das Killingvektorfeld beziehen?
Nö, das zeitartige Killingfeld einer solchen Raumzeit ist (1,0,0,0), wenn die erste Koordinate die Zeit bedeutet, unter der die Metrik zeitunabhängig ist.

Ge?ndert von Ich (27.12.17 um 21:36 Uhr) Grund: Rechtschreibfehler und Auslassung korrigiert.
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  #62  
Alt 27.12.17, 18:07
Timm Timm ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 26.03.2009
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
A und B stationär in der Schwarzschildmetrik. B hat Zeitdilatationsfaktor 1/2, A ist weiter drinnen mit Faktor 1/4.
A sendet zur Koordinatenzeit t=0 einSignal Richtung B, das der bei t=1 reflektiert, so dass es zu t=2 wieder bei A ist. Wir können das Ganze um Koordinatenzeit t=5 in die Zukunft verschieben, dann lauten die Zalen eben 5,6 und 7, aber es ist immer noch genau dasselbe. Die jeweiligen Eigenzeiten lauten A 0, B 0.5, A 0.5.
Wenn ich hingegen um Eigenzeit tau=5 verschiebe, dann sind die Eigenzeiten bei A 5, B 5.5, A 5.5 und die entsprechenden Koordinatenzeiten sind A 20, B 11, A 22. Das ist nicht dasselbe, sondern totaler Käse. Also ist eine Verschiebung um konstante Koordinatenzeit eine Symmetrieoperation, eine Verschiebung um konstante Eigenzeit aber irgendein Mist. Deswegen ist ein Vektor konstanter Koordinatenzeitverschiebung (dt,0,0,0). Diese Vektoren sind in echt überall unterschiedlich lang, und ihre Gesamtheit bildet ein Vektorfeld, eben besagtes Killingfeld.
Danke, das ist ein super Beispiel. Dann ist es wohl so, daß die durch den Metriktensor festgelegten Längen unverändert bleiben müssen als Voraussetzung für einen zeitartigen Killingvektor, denn sonst wären die Differenzen der Koordinatenzeiten nicht konstant. Was ja eigentlich eine statische Raumzeit, wie die Schwarzschild Raumzeit erfordert.

Welche Translationen neben der Zeit sind denn noch von Bedeutung?

Hat eine nicht-statische Raumzeit gar keine Killingvektoren oder nur keine zeitartigen?
__________________
Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus
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  #63  
Alt 27.12.17, 21:33
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Welche Translationen neben der Zeit sind denn noch von Bedeutung?
Am zweitwichtigsten sind wohl die räumlichen Verschiebungen und die Drehungen. Aus denen folgen die Erhaltungssätze für Impuls und Drehimpuls.
Zitat:
Hat eine nicht-statische Raumzeit gar keine Killingvektoren oder nur keine zeitartigen?
Wenn sie rotiert, könnte sie auch zeitartige Killingvektoren haben. Eine solche Metrik heiß stationär. Wenn auch das nicht gegeben ist, dann können durchaus noch verschiedene Killingvektoren vorhanden sein. Ein Beispiel sind Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten. Verschiebungen um eine bestimmte echte Länge wären keine.
Deshalb ist in kosmologischen Koordinaten auch nicht der Impuls p erhalten, sondern dessen Produkt mit dem Skalenfaktor a*p. Ein Beispiel dafür ist die kosmologosche Rotverschiebung.
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  #64  
Alt 27.12.17, 22:07
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Wenn sie rotiert, könnte sie auch zeitartige Killingvektoren haben. Eine solche Metrik heiß stationär.
Aha, man muß also zwischen stationärer und statischer Metrik unterscheiden. Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Wenn auch das nicht gegeben ist, dann können durchaus noch verschiedene Killingvektoren vorhanden sein. Ein Beispiel sind Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten. Verschiebungen um eine bestimmte echte Länge wären keine.
Ok, das scheint zu bedeuten, daß Killingvektoren nicht oder nicht immer invariant sind, oder?
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  #65  
Alt 27.12.17, 23:18
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?
Um mal die Begriffe zu klären: Statisch (zeitunabhängig) ist ein Spezialfall von stationär. Jede statische Metrik ist also stationär, aber scheinbar nicht umgekehrt.
__________________
Freundliche Grüße, B.
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  #66  
Alt 28.12.17, 09:26
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
Um mal die Begriffe zu klären: Statisch (zeitunabhängig) ist ein Spezialfall von stationär. Jede statische Metrik ist also stationär, aber scheinbar nicht umgekehrt.
Ok, dann scheinst Du meiner Vermutung "Ist dann stationär übergeordnet, also eine stationäre Metrik immer auch statisch aber nicht umgekehrt?" zuzustimmen.
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  #67  
Alt 28.12.17, 11:28
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Ok, das scheint zu bedeuten, daß Killingvektoren nicht oder nicht immer invariant sind, oder?
Die Frage verstehe ich nicht. Die Metrik ist invariant, wenn man global jedes Ereignis um ein Vielfaches des Killingvektors verschiebt. Das ist auch hier der Fall.
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  #68  
Alt 28.12.17, 15:24
Timm Timm ist offline
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Registriert seit: 26.03.2009
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Die Frage verstehe ich nicht. Die Metrik ist invariant, wenn man global jedes Ereignis um ein Vielfaches des Killingvektors verschiebt. Das ist auch hier der Fall.
Eines der Beispiele für Killingvektoren waren "Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten." Das erschien mir bezogen auf FRW-Koordinaten, also koordinatenabhängig. Aber die Überlegung macht wohl keinen Sinn, entscheidend ist die Invarianz der Metrik.
Was verwechsle ich da?
__________________
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  #69  
Alt 28.12.17, 16:26
Ich Ich ist offline
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Standard AW: Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Eines der Beispiele für Killingvektoren waren "Verschiebungen um eine bestimmte mitbewegte Länge in kosmologischen Koordinaten." Das erschien mir bezogen auf FRW-Koordinaten, also koordinatenabhängig. Aber die Überlegung macht wohl keinen Sinn, entscheidend ist die Invarianz der Metrik.
Was verwechsle ich da?
Die Koordinaten sind ja so gewählt, dass sie diese Symmetrie widerspiegeln. Sie wäre auch da, wenn man andere Koordinaten gewählt hätte.
Das ist auch eine Symmetrie auf einem Teilgebiet der leeren Raumzeit (Milne). Ganz allgemein hat man aber nichts davon, wenn nicht auch irgendwelche Dinge entsprechend symmetrisch angeordnet sind.
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  #70  
Alt 28.12.17, 17:33
Timm Timm ist offline
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Zitat:
Zitat von Ich Beitrag anzeigen
Die Koordinaten sind ja so gewählt, dass sie diese Symmetrie widerspiegeln. Sie wäre auch da, wenn man andere Koordinaten gewählt hätte.
Das ist auch eine Symmetrie auf einem Teilgebiet der leeren Raumzeit (Milne). Ganz allgemein hat man aber nichts davon, wenn nicht auch irgendwelche Dinge entsprechend symmetrisch angeordnet sind.
Ok, Milne ist ein gutes Beispiel. Symmetrien sind koordinatenunabhängig und damit sind das auch Killing Felder, die Symmetrien ausdrücken.

Danke, Du hast mir eine Vorstellung vermittelt um was es da überhaupt geht.
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