Math Schwingungs DZGL

[richy]

Hi merman

Man erhält mit der Methode zumindest genaue Anfangswerte.

Das scheine ich anders zu betrachten. Ueber die Anfangswerte sin(0)=0 und cos(0)=1. Genauer geht es nicht.

x(n+1)/y(n+1)

Das Verhaeltnis von Werten scheint bei DZGL's eine besondere Rolle zu spielen. In dem Fall erhaelt man den Tangens. Hmm.Den scheint der Cordic Algo zu verwenden. Sicherlich eine gute Idee. Das mit dem Halbieren habe ich allerdings nicht so ganz verstanden.

die Abhängigkeit der Genauigkeit habe ich bereits vor einem Jahr bei Wiki erwähnt.

Ich war mir nicht sicher ob du ebenfalls alle drei Varinaten kompakt ueber C1,C2 betrachtes. Dass eine Iteration wie in unseremn Fakll exakt ist, ist eher die Ausnahme, wenn man nicht von der DZGL ausgeht.

Vielen Dank fuer die Grafiken. Aha, jetzt verstehe ich auch deine Bezeichnungsweise r. Und du verwendest fuer den Kreis den Pythagoras x^2+y^1=R^2. Und es ergeben sich wohlt tatsaechlich die Additionstheoreme ohne Naeherung. Du muesstest nun zunaechst einfach argumentieren, dass der zweite Schritt fuer jeden beliebien ersten Schritt gilt.
Einen Anfangswert zu konstruieren muss daher gar nicht sein, weil wir einen genauern Anfangswert kennen und man die Grafik beliebig drehen kann.
Zu der Mammutgleichung :
Ob man da nicht einiges vereinfachen kann.
Aber im Grunde haben wir schon ales Notwendige berechnet.


Viele Gruesse
richy

[mermanview]

FrosNeus richy,

Danke der Antwort,

Winkelhalbieren geschieht folgendermaßen ...



Über Gleichsetzung von Gerade und Kreis erhält man gemeinsame Schnittpunkte, so führt m1 zu x1/y1, diese wiederum führen zu m2 usw. (Wurzel(1-x^2) = mx, gem. Schnittpunkt von Kreis und Winkelhalbierende)

..und führt auf relativ einfachem Weg zu genauen Anfangswerten ohne Verwendung der implementierten sin()/ cos() Funktion, insofern bloß idealistischer Weise.

Vergleichswert:

für 90°/256 = 0,3515625° ermittelt o.O.-"Excel" (von Sun) über 8 Iterationen:

merman_sin(0,3515625°)=0,00613588464915860000
o.O.____sin(0,3515625°)=0,00613588464915448000
Differenz_____________=0,00000000000000411997

Ja es besteht eine Differenz (14 Stellen nach d. Komma), da achtmal Wurzel gezogen wird,
mathematisch ist die Sache aber sauber.

Es fehlt mir jetzt noch der letzte (wahrscheinlich unlösbare) Schritt:
eine f(x) = sin(alpha), so dass y = f(x),(am Besten ohne Iteration :- )

Ich verwende übrigens das Mathe-Tool "Genius" (f.Linux, soll MAPLE ähnlich sein),
die Syntax hab ich noch nicht ganz drauf (deswegen nochmal Excel).
Es braucht allerdings für Iterationen mit für eine Genauigkeit von 1/10⁸ -> 2 Minuten,
... in sofern sehe ich zunächst von 20-stelliger Genauigkeit ab.

zu f(x)=sin(alpha):

Für diesen letzten Schritt dauert's wahrscheinl. ne Weile, da mir deine Antworten wichtig sind,
scheint es mir angebracht, dir mal von MermanGeometie "frei" zu geben,
damit du auch schön wieder einsteigst, wenn in diesem Thread noch was Wichtiges passiert ;;;;- ).

Sofar, jetzt wieder in's Bett,

best Thanks, Gruß Merman

[mermanview]

Wurzelfreie Herleitung des Kreises durch das Quadrat

Tag Leute,

ich war sehr lange weg.

Im Sinne von richy's gelegentlichem Credo: "shut up and calculate" hab ich mir Zeit gelassen,
um -neben dem eigentlichen Leben- schrittweise zu rechnen:

Ergebnis:

Der trigonometrische x- Faktor

Exakte Herleitung von Kreispunkten ohne Wurzelfunktion:

Namensgebung:

..........x = x-Faktor, a und b = Koordinaten (a|b) des Einheitskreises


Berechnung:

x-Faktor:

..........x = frei wählbar (>1)

Exakte Startwerte für die Reihenberechnung der Kreispunkte

..........a(1) = (x²-1) / (x²+1)
..........b(1) = (2x) / (x²+1)

Iteration exakter Kreispunkte:

..........a(n+1) = a(n) * a(1) – b(n) * b(1)
..........b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Ergebnisse,

bei x = 5:




bei x = 20:





Durch Ausprobieren stellte sich heraus,
dass bei x = 114,5886501293 für MS-Excel der ideale Wert entsteht,
um pro Iterationsschritt auch die Sinus- und Kosinuswerte für 1°-360°
auf mehrere Kommastellen genau zu berechnen !


bei x = 114,5886501293:






Gesamt gesehen sieht das Ergebnis mager aus, für ca. 8 Monate Rechenzeit,
(wenn mal Zeit war, zu calculaten), die Zwischenergebnisse waren reichlich.

Was hier steht war auch vor 9 Monaten schon bekannt,
wurde allerdings von mir nicht in dieser Reihenfolge angewandt und vorgeschlagen.



Der x-Faktor ergab sich aus a²+b²=c² mit c=1:

....(1-a) * x = b = (1+a)/x
=> x = Wurzel((1+a)/(1-a))

=> ....a = (x²-1)/(x²+1)
und ...b=(2x)/x²+1)

Geometrisch steht x für die Steigung der Sehne, die ein rechtwinkliges Dreieck in einem Einheitskreis
als einen Kreisbabschnitt bildet (x = b / 1-a).

Bild:
(c bzw. r = 1)



bdmnxt

Merman

[mermanview]

... im Unterschied zur herkömmlichen Berechnung/ Herleitung von Kreispunkt-Koordinaten mit Hilfe der gängigen Pythagoras-Formel:

..........b = Wurzel(1-a²)

werden hier Kreispunkte in regelmäßigen Abständen berechnet.

Dadurch sind die Ergebnisse nutzbar für Winkelfunktionen,
da der Kreis in regelmäßige Abschnitte unterteilt wird.

Die Iteration zur Berechnung lässt sich z.Zt. leider (noch) nicht vermeiden.

Wurzelberechnungen sind hier immerhin komplett ausgeschlossen, umgewandelt in quadratische Berechnungen, und die Koordinaten sind exakt.

Es fehlt noch Information über die Häufigkeit "n",
der per Anfangssteigung "x" gewählten Kreisabschnitte, ... ich bleibe dran.

Wofür könnten vereinfachte Winkelfunktionen nützlich sein ?

Hm, keine Ahnung, vielleicht werden damit Berechnungen von Aufenthaltsorten vereinfacht.

Da hier die mathematischen Darstellungen stets geometrisch anschaulich ist, macht es vor Allem Spass.

Gruß Merman