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  #21  
Alt 15.10.09, 16:13
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Zahlenspielerei

Hi Timm
Zitat:
die Mersenne Primzahlen sind lückenhaft,
Ist M(p) eine Primzahl, so ist p prim. Aber die Umkehrung folgt daraus nicht zwingend.
Zitat:
welchen Beweis meinst Du? Vermutet wird, daß es unendlich viele Mersenne Primzahlen gibt. Dieser Beweis steht aber aus.
Alle Beweise, Zusammenhaenge die man ueber Mersenne und Fibonacci finden kann.
Alleine schon das Argument ueber zusammengesetzte Zahlen, dritte binomische Formel s.o. Das zieht bei den Fib Zahlen nicht direkt, da der goldene Schnitt keine ganze Zahl ist.
Formel von Binet :Fib(n)=(PHI^n-phi^n)/sqrt(5)
(Sehe gerade, Fib muesste langsamer wachsen als Mersenne !)
Ansonsten sieht man auch hier die Verwandtschaft :
mit phi=1-PHI, phi ist also negativ.
1) PHI^n-phi^n
2) 2^n-1^n
Wende ich dir dritte binomische Formel auf 1) an, so kann ich kein Beweis fuehren wie bei Mersenne. Es ergibt sich eine Summe von Potenzen des goldenen Schnittes mal einer Fib Zahl. Da ich auf anderem Weg zeigen kann, dass die Zahl zusammengesetzt sein muss, muss die Summe ganzzahlig sein.
sum((P**k)^(M-n)*(p**k)^n,n=0..M-1)
So habe ich einen neuen Zusammenhang fuer PHI gefunden, angeregt durch Mersenne.
Zum Beispiel kann ich nun die Fib zahlen selbst als eine Summe von PHI Potenzen darstellen :
Fib(M)=sum(P^(M-n)*p^n,n=0..M-1)

Das Gegenstueck zu Mersenne fuer Fib laeuft ueber eine Argumentation mit dem mod Operator.
BTW: Ein Gesetz fuer Fib(a*b) habe ich bisher ueber Googel nicht gefunden. Lediglich fuer Fib(a+b)
GL ADD:


Ich hab ich Forum auch mal vergeblich versucht eine Fib Reihentransformation herzuleiten. Dazu haette ich auch eine neue Idee. Man muesste Fib mod n betrachten !



Die Gleichunge gelten fuer Fib mod n und Perioden von n
Und ich meine diese Spektrum Betrachtung gibt es schon. Meine Idee damals war kein Quatsch.

Ich betrachte gerne solche Verwandtschaften.
ZWEI und PHI sind ueber die Primzahlen verwandt. Ebenfalls 1-PHI=-1/PHI und die Zahl EINS.
Gruesse

Ge?ndert von richy (15.10.09 um 19:16 Uhr)
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  #22  
Alt 15.10.09, 16:43
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richy richy ist offline
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Standard AW: Zahlenspielerei

Mit Gleichung ADD kann ich auch mal fib(fib(k)) versuchen zu erfassen :

y[k]=y[k-1]+y[k-2]

Auf beiden Seiten den Fib Operator :
FIB(y[k])=FIB(y[k-1]+y[k-2])
FIB(y[k])=FIB(y[k-1]+1)*FIB(y[k-2]) + FIB(y[k-1])*FIB(y[k-2]-1)
... das fuehrt gerade aber zu weit.
Ich will erstmal den mod Beweis nachvollziehen.
Allerdings nach den Gigs am Wochenende

Ge?ndert von richy (15.10.09 um 17:52 Uhr)
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  #23  
Alt 15.10.09, 19:17
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Bauhof Bauhof ist offline
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Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl. Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen. Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.
Hallo Richy,

wie ich aus deinen zahlreichen Folgebeiträge sehen kannn, ist dein Wissen über die Mersenne-Primzahlen viel größer als mein Wissen. Damit ich nicht etwas für dich an Quellen hersuche, was du schon längst kennst, schildere mir doch ein (und nur ein! ) Problem übert die Mersenne-Pimzahlen, das du noch nicht gelöst hast. Vielleicht kann ich dir anhand meiner Quellen weiterhelfen.

Wie definierts du genau die Menge der Mersenne-Primzahlen?

Folgende Defintion erscheint mir verständlich: Nur dann, wenn in Gleichung (1) die natürliche Zahl n eine Primzahl ist, dann ist die natürliche Zahl n eine Mersenne-Primzahl:

(1) n = 2^p - 1

n = Mögliche Mersenne-Primzahl
p = Primzahl 2, 3, 5, 7, 11,...

Stimmen wir da in der Definition überein? Oder definierst du sie anders?

M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen –
ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

Hermann Minkowski
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  #24  
Alt 15.10.09, 23:22
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Standard AW: Zahlenspielerei

H Bauhof
So viel weiss ich ueber die Mersenne Primzahlen nicht.
Ich konnte mit dieser Summe die auch bei Wiki als Begruendung angegeben wird bisher nichts anfangen. Da habe ich gestern nochmals intensiver nachgeschaut. Das folgt aus der allgemeinen dritten binomischen Formel. (Ueber zwei verschobene Summen)
Der Beweis bei den Fib Zahlen verlauft wie erwaehnst anders :
http://www.thorstenreinecke.de/infor...00000000000000
Ein induktiver Beweis ueber den mod Operator. Raffiniert.
BTW: Er erwaehnt dass er Fib(a*b) so leider nicht herleiten kann. Scheint ein groesseres Problem zu sein.

Hier ist jemand die formelle Aehnlichkeit zwischen Fib und Mersenne auch schon aufgefallen :
http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Helmut_Rasinger

Zitat:
Folgende Defintion erscheint mir verständlich: Nur dann, wenn in Gleichung (1) die natürliche Zahl n eine Primzahl ist, dann ist die natürliche Zahl n eine Mersenne-Primzahl:

(1) n = 2^p - 1

n = Mögliche Mersenne-Primzahl
p = Primzahl 2, 3, 5, 7, 11,...

Stimmen wir da in der Definition überein? Oder definierst du sie anders?
Ja, die Definition ist zutreffend. Denn waere p in dem Fall zusammengesetzt koennte M(p) keine Primzahl sein .

Wegen der Zweierpotenz gilt auch :
Eine Mersenne Primzahl weist in binarer Darstellung nur Einsen auf, denn 2^n weist nur eine Eins auf.

Wie ist deine Einschaetzung zu folgender Frage :
M(n)= 2^n-1
Wenn n =(a*b) zusammengesetzt ist kann man schreiben
M(n)= 2^(a*b)-1
Und fuer (2^a)^b oder (2^b)^a die dritte allgemeine binomische Formel anwenden.
Daraus muesste doch folgen dass 2^(a*b)-1 sowohl durch (2^a -1) als auch durch (2^b -1) teilbar ist.
Es ist doch willkuerlich wie ich die Exponenten a,b anordne.
Stimmt das ?

EDIT : FOLGENDES IST NUR EINE VERMUTUNG
Dann muesste auch gelten Fib(a*b)=Fib(a)*Fib(b)*k, k=ganze Zahl
Wobei ich fuer k eine Summendarstellung kenne.
Beispiel in dem es passt :
fibonacci(5*7)/fibonacci(5)=1845493
fibonacci(5*7)/fibonacci(7)=709805

fibonacci(5*7)/fibonacci(5)/fibonacci(7)=141961
fibonacci(10*6)/fibonacci(10)/fibonacci(6)=3518201718
fibonacci(10*11)/fibonacci(10)/fibonacci(11)=8900260727038783399

DAS FATALE FUER DEN SPAETEREN VERLAUF:
DIE VERMUTUNG TRIFFT FUER DEN GOLDENEN SCHNITT ALS BASIS RECHT OFT ZU !



Hier gibt es eine Gleichug fuer Fib(a*b) die dies aber nicht direkt bestatigt :
http://www.thorstenreinecke.de/infor...00000000000000

Ge?ndert von richy (27.10.09 um 17:03 Uhr)
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  #25  
Alt 16.10.09, 12:53
regeli regeli ist offline
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Standard AW: Zahlenspielerei

Hi ! Sollte man sich wieder einschalten ?

Letztlich sind Bausteine auf dem Wege , die nicht zum Erfolg
führen vielleicht kontraproduktiv.
Richy sollte veröffentlichen , die einzig sichere Methode ,
Beachtung zu finden.

Jedenfalls hat sich Richy sehr intensiv mit Fibonacci beschäftigt.

Ich erinnere mal an einen alten Beitrag über Begleitzahlen. So hat
2 exp n , n natürliche Zahl die nat. Zahl 3 als > Begleitzahl<

So werden für alle ungeraden Exponenten die Folgezahl (2 hoch n )+ 1
und für alle geraden n , der Vorläufer durch 3 geteilt. (2 hoch n ) -1



MfG regeli
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  #26  
Alt 16.10.09, 17:15
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Bauhof Bauhof ist offline
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Standard AW: Zahlenspielerei

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Wie ist deine Einschaetzung zu folgender Frage :
M(n)= 2^n-1
Wenn n =(a*b) zusammengesetzt ist kann man schreiben
M(n)= 2^(a*b)-1
Und fuer (2^a)^b oder (2^b)^a die dritte allgemeine binomische Formel anwenden.
Daraus muesste doch folgen dass 2^(a*b)-1 sowohl durch (2^a -1) als auch durch (2^b -1) teilbar ist.
Es ist doch willkuerlich wie ich die Exponenten a,b anordne.
Stimmt das ?
Hallo Richy,

scheint zu stimmen, denn ich habe kein Gegenbeispiel gefunden.
Bei deinen Fibonacci-Überlegungen kann ich leider nicht mitdiskutieren, denn mit den Fibonacci-Zahlen habe ich mich kaum beschäftigt. Ich kenne bei diesem Thema nur den geschlossenen Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl, mehr nicht. Aber diesen Ausdruck kennst du sicherlich auch schon.

Nur mit Primzahlen habe ich mich (vor längere Zeit) etwas beschäftigt. Da berechnete ich mal für einen Amateur-Mathematiker mit Hilfe eines Fortran-Programms etwas, das er dann auf seiner Homepage dargestellt hat. Falls es dich interessiert, dann siehe hier:

http://www.c-eagle.com/index.php?con...zahlzwillinge2

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
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Hermann Minkowski
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  #27  
Alt 18.10.09, 18:27
regeli regeli ist offline
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Daumen hoch AW: Zahlenspielerei

Hi ! Obwohl der Beitrag nicht direkt an mich gerichtet ist,
ging es wohl um prime und nichtprime Exponenten. Hier wohl
zur Basis 2.

Begleitzahlen könnten verschiedene Zahlen sein , die einen
Vorgang begleiten. Hier sind es Teiler der Nachbarn von aufsteigenden
Potenzen . Mit n ---> aufsteigend gegen unendlich.( zur Basis a)


Nehmen wir mal 2^6 (2 hoch 6)

So sollten die Nachbarn teilbar sein durch die Nachbarn von 2^2 und 2^3
Diese werden normal im Zahlenstrahl festgestellt.

Diese sind 3 und 5 , da 2 hoch 2 =4 ist und analog dazu 7 und 9 da die
dritte Potenz 8 ist.

Also muß diese Teilerschar bei 2 hoch 6 = 64 auftauchen.

9x7 = 63 und der Teiler von 65 ist die 5. Die hier neu aufgenommene 13 wird
nicht wieder abgegeben , sondern erscheint wieder bei 2^12.


So müssen die Zahlen 31 und 33 die 2^5 = 32 flankieren ,wieder als
Teiler bei 2 ^ 10 (als Teiler einer Nachbarzahl )erscheinen.

Wichtig ist, dass der Exponent im Exponentenprodukt eines höheren n
erscheint. regeli



Ich hab das mal früher hier veröffentlicht , vor der Umgestaltung des
Forums.

Es ist eine allgemeingültige Eigenschaft , auch für andere a Basis mit
a natürliche Zahl.


Gruss regeli

Ge?ndert von regeli (18.10.09 um 18:32 Uhr)
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  #28  
Alt 19.10.09, 10:10
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richy richy ist offline
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Standard AW: Zahlenspielerei

Hi regeli
Berechnungen die ich fuer besonders interessant halte stelle ich auf meine Homepage. Abgesehen von der Loesung der logistischen Gleichung halte ich dort sicherlich auch Dinge fest, die nichts Neues sind. Das reicht mir als Veroeffentlichung. Jeder der interesse am Thema hat kann es lesen.
Man muss sich stets vor Augen halten wie lange die Menschen sich schon mit den Prim und Fibonaccizahlen beschaeftigen. Nicht nur Amateure. Lediglich die Zipf Verteilung der Primfaktoren der Fib Zahlen koennte vielleicht wenigstens ein neuer Aspekt sein.

@Bauhof
Hab mir das noch einmal ueberlegt.
Meine Annahme, dass beide Faktoren, die die dritte binomische voraussagt, Faktoren des Ausdrucks 2^n-1 sind muss zutreffen.
Denn die Faktorisierung besagt nicht dass dies Faktoren sein koennen sonder sein muessen. Also muessen beide Varianten Teiler der Zahl sein.
Zitat:
Ich kenne bei diesem Thema nur den geschlossenen Ausdruck für die n-te Fibonacci-Zahl, mehr nicht. Aber diesen Ausdruck kennst du sicherlich auch schon.
Das ist die Form von Moivre Binet. An der siehst du die Verwandtschaft zu den Mersenne Zahlen.
Und noch deutlicher ueber die "Mersenne Differenzengleichung" die ich hergeleitet habe.
y(k+2)=y(k+1)+2*y(k)+2
Dies DZGL hat die Loesung y(k)=2^k-1

@regeli
"Begleitzahlen" ist sicherlich ein von dir gepraegtes Kunstwort. Nachbarn von Potenzen bedeutet B^n -1 und B^n +1. Vermutlich folgen deine Beobachtungen aus der dritten binomischen Formel. Jedenfalls fuer den Vorgaenger. Ebenso fuer den Nachfolger wenn man beachtet dass fuer den Ausdruch B^n+1 gilt :
B^n+1=B^n-(-1)^n fuer ungerade n

Kannst du das hier kurz nachvollziehen ? Und dann angeben welche Zusamenhaege NICHT aus der verallgemeinerten dritten binomischen Formel folgen ?

Beispiel:
Zitat:
So werden für alle ungeraden Exponenten
a) die Folgezahl (2 hoch n )+ 1
b) und für alle geraden n , der Vorläufer durch 3 geteilt. (2 hoch n ) -1
b) Ist n gerade, so kann man schreiben n=2*m
2^n-1 = 2^(2*m) -1 = (binomische Formel)
(2^2-1^2)*ganzzahliges Restpolynom =
3*ganzzahliges Restpolynom

Deine Vermutung ist somit richtig, aber nicht geradezu sensationell.
Man kann sofort fuer eine beliebige Basis B angeben:

Fuer alle geraden Exponenten n ist (B^2-1) ein Teiler der Zahl B^n-1
************************************************** *

Aussage a) ist etwas unhandlicher :
Bei Wiki ist eine Faktorisierung fuer (B1^n+B2^n) fuer ungerade n in der Form (B1+B2)*ganzahliges Restpolynom angegeben.
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel
Damit ist erklaert dass (2^n+1) fuer ungerade n durch (2+1) teilbar ist.

Wie bist du auf diese Zusammenhaenge gekommen ? Auch ueber Faktorisierung ?

Ge?ndert von richy (19.10.09 um 17:57 Uhr)
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  #29  
Alt 19.10.09, 19:23
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richy richy ist offline
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Standard AW: Zahlenspielerei

Rein interessehalber nochmal zum Ausdruck Fib(a*b) den man auch ueber die Formel von Moivre Binet anschreiben kann.
Wendet man hier die dritte binomische Formel an, so sieht man, dass sowohl Fib(a) als auch Fib(b) Teiler von Fib(a*b) sind.

EDIT :
FOLGENDES IST EIN TRUGSCHLUSS !
Daher ist auch Fib(a)*Fib(b) ein Teiler. Fib(a*b) hat die Form Fib(a)*fib(b)*G, wobei G eine ganze Zahl ist.
ES FOLGT NICHT DASS AUCH DAS PRODUKT EIN TEILER IST.
DAS FATALE : DER TRUGSCHLUSS IST BEI DEN FIBONACCIZAHLEN DENNOCH OFT GUELTIG !


Es waere interessant zu bestimmen ob es ene relativ einfache Form fuer G gibt.

Ge?ndert von richy (27.10.09 um 17:04 Uhr)
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  #30  
Alt 20.10.09, 19:13
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Standard AW: Zahlenspielerei

EDIT
SIEHE ANMERKUNG OBEN. DENNOCH IST DAS BEISPIEL RICHTIG

Mal als Beispiel :
Fib(3*5)=610
Fib(3)=2
Fib(5)=5
610 ist durch 2*5 teilbar
Fib(3*5)=Fib(3)*Fib(5)*61
61 waere der Wert des Restpolynoms, das ich analytisch erfassen moechte. Prinzipiell laesst sich dies ueber die 3 te binomische Formel erreichen :
Fib(a*b)*Fib(a)*Restpolynom_a*Fib(b)/Fib(b)
Restploynom_ab=Restpolynom_a/Fib(b)

Restpolynom_a=61*5=305
Restpolynom_b=61*2=122



Die entsprechende Summe in Maple waere :
P=goldener Schnitt
p=1-P oder -1/P

> a:=3;b:=5;
A)
> (sum((P**a)^(b-n-1)*(p**a)^n,n=0..b-1));

oder vereinfacht :
B)
> ( (P**a)**(b-1)*sum((p**a)^n/(P**a)^n,n=0..b-1));
passt beides

Vereinfachungen :
(P**a)^(b-1)=P^(a*b-a)
In der Summe von B laesst sich ausnuetzen das gilt p=-1/P
und man erhaelt vereinfacht
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )

Das ist schonmal ein schoenes Ergebnis :
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )
************************************************

In P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) muss der Teiler Fib(b) enthalten sein.
Die naechste Aufgabe waere somit
P^(a*b-a)*Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 ) / Fib(b) zu vereinfachen

Wobei man die Summe geschlossen angeben kann :
Summe( (-1/P^2)^(a*n),n=0..b-1 )=[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
Fib(a*b)=Fib(a)*P^(a*b-a)*[(-1/P^2)^(a*b)-1]/[(-1/P^2)^(a)-1]
**************************************************

Ge?ndert von richy (27.10.09 um 21:24 Uhr)
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