Math Verhulst 1989

[mermanview]

Hi richy, gut Schlaf

... danke für die Blümkes, ..


"Hauptsatz der Algebra", du überschätzt meine Entfernung zu ehemals Erlerntem, .. ich hab ihn gegoogelt, den Hauptsatz:

Hauptsatz Der Algebra

Der Hauptsatz der Algebra gibt Auskunft über die Lösbarkeit von Polynomgleichungen.

Zunächst muss man unterscheiden zwischen den Zahlenbereich, aus dem die Koeffizienten stammen
und dem Zahlenbereich, in dem die Lösungen liegen sollen.

Fall 1: Koeffizientenbereich und Lösungsbereich reell (R)

Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat höchstens n Lösungen

Fall 2: Koeffizientenbereich reell (R), Lösungsbereich komplex (C)

Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat genau n Lösungen und zwar paarweise konjugiert.
Daraus ergibt sich ein Sonderfall:
Ist der Grad der Funktion ungerade, dann muss es mindestens eine reelle Lösung geben!

Fall 3: Koeffizientenbereich und Lösungsbereich komplex (C)

Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat genau n nicht-konjugierte Lösungen.

Wissenlücken: konjugierte Lösungen, und leider nachwievor komplexe Zahlen, Gauß'scher Zahlenraum...,

Ich gestehe, dass ich zur Bewahrung des innerem Gleichgewichtes, den kleinen Rest Eigen-Zeit, mehr an meiner nun (in Eigenbau) elektrifizierten 12 Saitigen nutze.


Meinen persönlichen Kenntnissen nach:

x^2 = 1 sollte die beiden Lösungen x=wurzel(1) = 1 und -1 haben

x^4 = 1 ebenso: 2 Lösungen, trotz 4. Grades: x =1^1/4 = 1 und -1

Es gälte hier "Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat höchstens n Lösungen"


vorerst

Gruß Merman

[Bauhof]

Zitat von mermanview

x^4 = 1 ebenso: 2 Lösungen, trotz 4. Grades: x =1^1/4 = 1 und -1
Es gälte hier "Eine Polynomgleichung mit dem Grad n hat höchstens n Lösungen"

Hallo mermanview,

das sehe ich anders. Hier gilt m.E der
Fall 2: Koeffizientenbereich reell (R), Lösungsbereich komplex (C)

x^4 = 1; setze y = x²

y(1) =  sqrt(x²) =  1
y(2) = ─sqrt(x²) = ─1

x² = y:
x(1) =  sqrt[y(1)] =  sqrt(1)  =  1
x(2) = ─sqrt[y(1)] = ─sqrt(1)  = ─1
x(3) =  sqrt[y(2)] =  sqrt(─1) =  i
x(4) = ─sqrt[y(2)] = ─sqrt(─1) = ─i

Die Gleichung x^4 = 1 hat also im Komplexen vier Lösungen: 1, ─1, i, ─i

M.f.G Eugen Bauhof

[richy]

Hi Bauhof

Ich sehe es widerum etwas anders. Es existiert zunaechst keine allgemeine Bedingung welcher Fall gegeben ist. Und Merman hatte geschrieben

Meinen persönlichen Kenntnissen nach:

Und da seine Kenntnisse die komplexen Zahlen (noch) nicht umfassen hat er den Fall eins mit zwei Loesungen angegeben. Im Reellen existieren tatsaechlich nur zwei Schnittpunkte. Erst in der Gausschen Zahlenebene sind es dann vier.
Klar in meinen Grafiken habe ich den Fall 2 verwendet und den wollte ich nochmals allgemeinverstaendlich schildern.

@merman
Das mit den komplexen Zahlen ist im Grunde gar nicht so schwierig. Bauhof hat schon zwei weitere Loesungen angegeben. Wenn es eine Zahl gaebe die mit sich selbst multipliziert minus eins ergaebe, nennen wir sie zunaechst Wurzel(-1), so erhielten wir :

Wurzel(-1)*Wurzel(-1)*Wurzel(-1)*Wurzel(-1)=
-1*-1*=1

Ebenso fuer -Wurzel(-1). Die Zahl gibt es natuerlich nicht. Aber hast du schon mal eine negative Kuh gesehen ? Gehen wir einfach wie bei den negativen Zahlen vor. Wir schreiben fuer Wurzel(-1) das Zeichen "i" oder "j" und koennen es dann wie ein Vorzeichen verwenden fuer das gilt i*i=-1.
Hier sind wir das schon alles mal etwas ausfuehrlicher durchgegangen :
http://www.quanten.de/forum/showthre...omplexe+Zahlen
Eine komplexe Zahl weist somit einen Realteil u und Imaginaerteil v auf.
z=u+i*v
Die Rechenregeln der reellen Zahlen bleiben erhalten und werden hoechstens erweitert. Das Vorzeichen i kann man ebenso wie beim negativen Vorzeichen (-1) einfach wie eine Zahl behandeln.
BTW:
Der Ausdruck "konjungiert komplex" besagt lediglich, dass man den Imaginaerteil mit minus eins multipliziert
z*=u-i*v
In der komplexen Zahlenebene liegen z=u+i*v und z*=u-i*v dann spiegelsymetrisch zur Realteilachse. Das ist fuer meine Darstellung aber gar nicht so wichtig.

Gruesse

[richy]

@merman, all
Zieht man iterativ die Wurzel aus eins, so aendert sich auch in der komplexen Zahleneben nichts am Betrag der Zahl. Der bleibt gleich eins. Und damit liegen alle Loesungen auf einem Kreis wie in diesem Beispiel die Loesung von z^16=1. Der Radius repraesentiert den Betrag einer komplexen Zahl.
|u+i*v|^2=u^2+v^2=R^2



Was hat dies mit der Differenzengleichung y(n+1)=y(n)^2 zu tun ?
Verwenden wir den Startwert y(0)=3 um die Loesung zu erraten.
3,9,81 .....
Wie es fuer Differenzengleichungen typisch ist wird die Quadratur y(n)^2 verkettet zu (((y(0)^2)^2)^2)^2 ....

Die Loesung lautet somit y(n)=y0^(2^n)
******************************

Eine Funktion in der der Exponent exponentiell waechst. Nun interessiert mich aber insbesonders die Umkehrfunktion der Iteration, denn diese ist aufgrund der Wurzel in jedem Schritt zweideutig :
z(n+1)=+-Wurzel(z(n)), z sei die inverse Funktion zu y
Die Anzahl der Loesungen verdoppelt sich bei jedem Iterationsschritt :



So wie es der Hauptsatz der Algebra fuer Fall 2 voraussagt :
z0^(2^n)-z(0)=0. In jedem Iterationsschritt verdoppelt sich der Grad des "Polynoms" Und waehlen wir als Startwert die Zahl eins so liegen alle Loesungen auf dem komplexen Einheitskreis.
Formen wir die Loesung einfach um zu z(n)=z0^(1/ (2^n) ) so sehen wir dies nicht ohne weiteres. Die Mehrdeutigkeit wird damit nicht ausgedrueckt.

Wir verwenden daher einen Trick :
y(n)=y0^(2^n)
Wir bilden auf beiden Seiten den ln()
ln(y(n))=2^n*ln(y0)

Im Komplexwertigen ist der ln(z) mehrdeutig. Und das nuetzen wir aus.
Die folgende Formel ist fuer Rechentricks somit ungemein praktisch :

Formel 1)


Und bei der Umkehrfunktion ist fuer den ln der linken Seite nun nicht nur der Hauptwert zu nehmen sondern auch die Nebenwerte. Man erhaelt sie einfach, indem man k z.B. in einer for Schleife durch die ganzen Zahlen steppen laesst.

ln(y(n))=2^n*ln(y0)

die Umkehrfunktion

LN(z0)=2^n*ln(z(n)), LN soll andeuten: Nimm Neben und Hauptwerte
ln(z(n))=(LN(z0))/2^n
z(n)=exp((LN(z0))/2^n)

Schliesslich mit Formel 1)
z(n)=exp(ln|z0|/2^n+i*(arg(z0)+2*k*Pi)/2^n))
Fuer den Startwert z0 =1 wird ln|z0| gleich 0 und arg(z0) gleich 0

z(n)=exp( (i*2*k*Pi)/2^n) k element N
********************
z(n) stellen Werte auf dem komplexen Einheitskreis dar. Ich habe aber nicht diese dargestellt, sondern lediglich deren Winkel, deren Argument -Pi..Pi in Polarkoordiaten.

Was passiert hier konkret ?

Angenommen n=1
z(1)=exp( (i*k*Pi)
**************
K=0 => z(1)=1
K=1 => z(1)=-1
Fuer k=2 landet man an der selben Stellle wie fuer k=0. Man hat den Einheitskreis einmal umrundet und das Spielchen geht von vorne los :
K=2 => z(1)=1
K=3 => z(1)=-1
.....
n=2
K=0 => z(1)=1
K=1 => z(1)=i
K=2 => z(1)=-1
K=3 => z(1)=-i

K=4 => z(1)=1
K=5 => z(1)=i
K=6 => z(1)=-1
K=7 => z(1)=-i
....

Was passiert nun aber wenn n nicht ganzzahlig ist ?

Gruesse

[richy]

Zusammenfassung :
***************
Gleichung 1)
*********
z^n-1=0 hat in C die Loesungen :
z=exp( (i*2*k*Pi)/n), k=0..oo, k element N
z=cos((2*k*Pi)/n) + i*sin((2*k*Pi)/n) , k element N
****************************
Die Anzahl der Loesungen ergibt sich daraus wieviele verschiedene Argumente erzeugt werden, wenn k die natuerlichen Zahlen durchlaeuft.

ganzzahlige Potenzen
****************
Fuer n element N hat die Gleichung 1 genau n Loesungen

ohne Beweis :

rationale Potenzen
**************
n sei eine rationale Zahl : n=p/q, p,q element N und teilerfremd
Gleichung 1 hat dann p Loesungen

irrationale Potenzen
***************
Ist n eine irrationale Zahl so existieren unendlich viele Loesungen

Die Gleichung z^Pi=1 hat unendlich viele Loesungen.
Ja, das ist abgefahren :-)
Das heist jedoch nicht dass jede komplexe Zahl auf dem Einheitskreis hoch Pi gleich 1 ist. Und daraus folgt dass nicht nur unendlich viele Zahlen auf den Einheitskreis passen sondern "noch mehr".

[richy]

Anwendungen.
1)
Die erste Anwendung war es graphisch darzustellen wie sich die Mehrdeutigkeit verhaelt, wenn man die Loesung der Iteration z(n+1)=+-Wurzel(z(n)),z0=1 nicht nur fuer ganzzahlige n betrachtet.
z(n)=cos((2*k*Pi)/n) + i*sin((2*k*Pi)/n) , k element N
Es ergab sich um n=8 (nach 3 Iterationen) z.B. dieses Bild




Man muss hiebei beachten :
Ein Punkt ist etwas voellig anderes als ein Intervall. In ein Intervall passen unendlich viele Punkte. Wenn ich statt n=8 nun n= 80001/10000=8.0001 verwende, so hat diese Gleichung 80001 Loesungen. Wie man sieht verteilen sich diese jedoch nicht gleichmaessig sondern die 80001 Loesungen werden um die 8 Loesungen von n=8 verschmiert. Das hatte ich nicht so erwartet.

Hier ein weiteres Bild.




Anwendung 2
Mittels der Methode laesst sich nun abschaetzen ob in einem Intervall rationale oder irrationale Zahlen "dominieren". (Man kann dies noch ueber Symetrie verbessern) Momentan sieht man welcher Grad der Irrationalitaet zu erwarten ist. D.h. wie gut/schlecht eine irrationale Zahl in dem Bereich sich ueber einen Bruch approximieren laesst. Die Grafiken sind Landkarten des Grades der Irrationalitaet. Zum Beispiel sieht man, dass bei 15.5 ein hoher "Rationalitaestgrad" herrscht. 15.5=31/2. Und zaehlt man die Zweige, Streifen, so sind es tatsaechlich 31 Stueck.
Die Zahl 31 hat hier das sagen.
Die typischen Boegen zeigen Irrationalitaet wahrscheinlich sogar direkt an.

[richy]

Der unspaektakulaere Auftritt von PI
***************************
Hier zunaechst eine groebere Uebersicht. Bei n=3 geht es los mit 3 Loesungen :

Man erkennt bereits, dass Pi in einem rationalen Umfeld liegt :
Und selbst wann man in den Bereich Pi+-10^-10 zoomt ergibt sich nichts auffaelliges :


Das besondere an Pi ist, dass es eine transzendente Zahl ist. Aus Sicht der Irrationalitaet ist Pi dagegen voellig unauffaellig.Zaehlt man die Anzahl der verschmierten Loesungszentren so sind es 22 Stueck. Wohl deshalb da 22/7 einen Naeherungsbruch 1.Art fuer Pi darstellt :

Satz: (Lagrange 1798[20]) Jede beste Näherung 1. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch oder ein Nebennäherungsbruch ihrer Kettenbruchentwicklung. .....
.....
Beispiel Wiki
b) Für die Kreiszahl π=[3;7,15,1,292,…] lauten die ersten Näherungsbrüche 3/1, 22/7, 333/106 und 355/113.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenb...ngsbr.C3.BCche

Pi=3.1415926535897932385
22/7=3.1428571428571428571

Die Irrationalste aller Zahlen. der goldene Schnitt :
*************************************
Hier ergibt sich eine voellig anderes Bild :

Bereich 1..g

(Die hohe Irrationalitaet von Wurzel(2) zeigt sich erst im Zoom.)

Bereich g..2


Zoom auf g


Die Loesungen weisen keine verschmierten Haeufungszentren auf und keine anderen ausgepraegten Periodizitaeten. (Aeqidistante Loesungen waeren periodisch, rational) Dies spiegelt die ausgezeichnete Irrationalitaet von g wieder und letztendlich warum g in der Natur eine so wichtige Rolle spielt, wenn Resonanzstellen vermieden werden sollen. Pi waere fuer diesen Zweck z.B. voellig ungeeignet.
Fuer Wurzel(2) (auf Platz zwei der Irrationalitaet) ergibt sich ein aehnliches Bild wie beim goldenen Schnitt.

[richy]

Die Fibonacci Zahlen im Phas-o-gramm
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Die Zahl Pi liegt voellig im Dominanzgebiet einer ihrer Bruchnaeherungen 1.Art. Dem Zaehler des Bruches 22/7. Vielleicht gehoert 22/7 auch zu einem Naeherungsbruch 1.Art einer Zahl die irrationaler ist als Pi.

Richies Annahme :
Der goldene Schnitt ist von seinen Bruchnaeherungen 1.Art umgeben, deren Nenner die Fibonaccizahlen darstellen. Das ist trivial, denn diese Brueche stellen rationale Zahlen dar und werden im Phas-o-gramm soviele Punkte abbilden, wie es deren Nenner vorgibt. 8/5 somit 8 Punkte, oder 13/8 somit 13 Punkte. Interessant waere es ob diese Naeherungsbrueche besonders in Erscheinung treten.
BTW Die Fibonacci Zahlen lauten : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 ....

Ok lets go:
Abbildung 1)

Abbildung 2)


Man erkennt besonders in Abbildung 1 noch weitere spezielle Brueche im Bereich um g (Phi). Die Naeherungen 1.Art fuer den goldenen Schnitt g sind jedoch besonders deutlich erkennbar. Auch fuer Wurzel(2) kann man zum Beispiel den Bruch 41/29 sehr deutlich erkennen. So unglaublich es klingen mag, aber alle Bilder werden wohl neben den natuerlichen Zahlen und Bruechen derselben mit kleinem Zaehler vornehmlich durch den Grad der Irrationalitaet der irrationalen Zahlen gepraegt und deren Bruchnaeherungen 1.Art.
Die Zahl Pi ist dabei ein Looser. Das zeigt auch schon deren Kettenbruch.

[mermanview]

Moin richy,

Mannmann, ganze Arbeit,

ich hab keine Ahnung ob es sich bei deinen Untersuchungen um bereits Bekanntes handelt, es macht aber großen Spass den Ausführungen zu folgen.

Bilderbuch-Spaziergänge in Zahlenräumen, möglich gemacht durch Mr. Richardon.

Ich hab nochmal Phi gegoogelt (gewikit), dabei sind zwei Berichte hängen geblieben:

Zitat Wiki

Bahnresonanzen [Bearbeiten]

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie beispielsweise Jupiter und Saturn mit 2:5 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit 1:2:4. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie beispielsweise im Fall 1:\Phi vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen (siehe Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem) genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.[24][25]

Ein weiterer evtl. nicht so passender:

Informatik [Bearbeiten]

In der Informatik speichert man Daten in Hashtabellen, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position h(k), an der ein Datensatz k in der Tabelle gespeichert wird, berechnet man durch eine Hashfunktion h. Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe m nach der folgenden Formel berechnet werden:

h(k) = \lfloor m (k A - \lfloor k A \rfloor)\rfloor.

Dabei stellen \lfloor \ldots \rfloor Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der angesehene Informatiker Donald Ervin Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante A=1/\Phi vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.[27]

Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.

Der letzte Beitrag fiel mir auf, da ich drauf und dran war,
dich zwecks Programmierunterstützung anzuschreiben.

Eines meiner Hobbys ist Robotik, bzw. autonom interagierende Software, ... wie immer sehr bodennah umgesetzt.

Insofern, war es mir ein Greuel, mich auch noch in die genaue Auswertung von Webcam-Rohdaten, bzw. von Bildformaten einzulesen.

Da waren vor allem die Hash-Tabellen im Weg, insofern "sehen" meine künstlichen Kreaturen schnell, aber dennoch oft irritiert.

Ich habe von meinem Anliegen (dich um Programmiernterstützung zu bitten, ich vermutete du hast genug zutun) bereits wieder abgesehen, dennoch führte mich dein Phi-Exkurs ganz unverhofft zur Hash Tabelle.

Im Namen von Pi muss ich allerdings ein wenig Protest erheben, du weißt dass der Umfang eines Kreises eigentlich exakt 3-mal solang sein sollte wie sein Durchmesser, wir befinden uns bloß im falschen Universum, die Sache mit der Wineklssumme im Dreieck unter Berücksichtigung der Krümmung sieht in anderen Universen geschmeidiger aus.

Insofern ist das geringe Maß an Irrationalität für Pi eher lobenswert .

muss nun erstmal arbeiten

Gruß Merman

Nachtrag:
Wie sähe ein ("Irrationalitäts"-)Muster für die Umgebung der eulerschen Zahl aus ?

[richy]

Hi Merman
Es freut mich sehr, dass man meinen Beitraegen anscheinend folgen kann.

Zitat von merman

Bilderbuch-Spaziergänge in Zahlenräumen

Genau das stellen die Grafiken dar :-) Wobei man die irrationalen Zahlen darin natuerlich nicht direkt sehen kann. Man kann nur durch die Umgebung auf diese schliessen. Nicht immer, wie es Pi zeigt. Und es sollen zunaechst einfach nur "Spaziergaenge" sein. Man schaut sich um und kommt dabei auf Ideen fuer neue Spaziergaenge. Manche fuehren zu einem Tor in einen neuen Park, andere fuehren nicht weiter. Das ist dann auch nicht tragisch. Denn man kann sich auch an einem einzigen Park erfeuen.

Zitat von merman

ich hab keine Ahnung ob es sich bei deinen Untersuchungen um bereits Bekanntes handelt...

Ja und nein. Den Grad einer Irrationalitaet anzugeben ist nichts Neues und dass Phi gemaess Liouville die irrationalste aller Zahlen ist. Allerdings ist dies auch unter Mathematikern nicht sehr bekannt, da Kettenbrueche ein sehr spezielles Thema darstellen und und die physikalische Bedeutung unterschaetzt wird. Wobei Kettenbrueche oder Kettenwurzeln nichts anderes darstellen als die Vekettung die bei Differenzengleichungen auftritt. Ein Genie bezueglich dieser voellig anderen, naemlich verketteten Denkweise waren vor allem Ramanujan und Leonard Euler. Verkettung bedeutet f(f(f(f(f(...)))))
Ramanujan war Autodidakt. Er war daher voellig immun gegen mathematische Vorurteile. Er hat eine eigene Form der Mathematik erschaffen. Eine Mathematik die unabhaengig ist gegenueber historischen Vorgaben. Frage : Wenn Ausserirdische existieren. Wird sich deren Mathematik von unserer unterscheiden ? Mit Sicherheit. Unsere Mathematik ist an unsere Sinnesorgane angelehnt. Vor allem an unser Gehoer. Ausserirdische werden sicherlich andere Sinnesorgane aufweisen und vielleicht haben sie gar keine Ohren, kennen keine Frequenzen, Musik. Die Mathematik von Ramanujan gibt hierzu einen Einblick :
http://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan
Bezueglich der Klassiizierung von Zahlen wuerden Ausserirdische allerdings zu den selben Erkenntnissen gelangen wie wir Menschen.
Addiert man die Koeffizienten des regulaeren Kettenbruchdars einer Zahl, so ist dies ein Maß der Irrationalitaet (je kleiner desto irrationaler)
Ich hab mal nach Irrationalitaet und Grafiken gegoogelt. Ich meine meine Darstellungsweise ist tatsaechlich neu. Fuer mich ist es interessant zu sehen, dass man in den Grafiken erkennt, dass es gar nicht so sehr auf den Zahlenwert selbst ankommt. Sondern es gibt Umgebungen,Bereiche die guenstig oder unguenstig sind. Am guenstigsten fuer hohe Irrationalitaet ist 0..2. Pi (3.14...) liegt an einem auesserst unguenstigen Platz fuer Irrationalitaet. Mitten im Bruch 22/7 : (Rot markiert)



Besser waere es uebrigend Pi-2 oder Pi-3 zu untersuchen. Wobei letzendlich mit Pi aber stets Pi gemeint ist. Nicht
0.141592653589793238462643383279502884197169399375
oder
1.141592653589793238462643383279502884197169399375
sondern
3.141592653589793238462643383279502884197169399375

Ja ist dann 22/7 sehr genau Pi ? Nein, obwohl Handwerker vor der Taschenrechnerzeit den Wert verwendet haben. Wo liegen denn die genaueren Bruchapproximationen von Pi ? Man sieht hier doch gar nichts :



Die genaueren Bruchapproximationen muessen bei Pi im Gegenatz zu Phi in der inneren Struktur dieser 22 Streifen liegen. Das kann meine Grafik aber nicht aufloesen (Jede Vertikale sind maximal 100 Punkte). Man erahnt nur einen Schatten in der Mitte und zwei Schatten Bruederchen links und rechts von Pi.

Pi ist nicht sonderlich irrational.
Wenn man nach Pi (3.14...) googelt wird man dennoch immer wieder Seiten finden, die Pi als typischen Repraesentant der Irrationalitaet darstellen. Das ist im Grunde nicht sachgemaess ! Auf diesen Seiten wird man sich darauf berufen, dass die Nachkommstellen von Pi nun tatsaechlich voellig zufaellige Zahlen darstellen. Das erkennt man auch am Kettenbruch. Dessen Koeffizienten sind voellig wirr und zufaellig. Das ist aber kein Kennzeichen von Irrationalitaet sondern der Transzendenz. (Transzendenz bedeuten Pi ist nicht die Loesung eines Polynoms. Quadratur des Kreises daher ausgeschlossen). Ich meine meine Grafiken stellen dies sehr schoen dar.

Ach jetzt hab ich schon wieder eine neue Idee. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachkommastellen darstellen.

Zu Planetenbahnen :
Meine Loesungen, die wie ein Hamster in der komplexen Ebene immer im Kreis laufen haben hierzu einen Bezug. Aber man muss wie dein Zitat zeigt sehr vorsichtig sein. Man kann nicht verallgemeinern, dass alle Verhaeltnisse im Sonnensystem irrational sind. Ich betrachte dies gerne so :
Chaos, Antiresonanz = Irrational
Ordnung, Resonanz = Rational
Und Strukturen entstehen auf der Grenzschicht zwischen Ordnung und Chaos. Es muss ein ausgewogenes Verhaeltnis vorliegen. MDiese Sichtweise ist in Bezug auf das Sonnensystem sehr stark angelehnt an jener von Kepler :
http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
Eine Anwendung waere zum Beispiel zu erklaeren wie unser Mond entstanden ist. Und was meinst du ? Was wird mit den ganzen Partikeln des Saturnringes einmal passieren ?
Und vor allem : Warum ist unser Sonnensystem scheinbar stabil ? Kann man dies berechnen ?

Zu Hash Tabellen.
Da muesste ich selbst nachlesen. Meine Standardbuecher fuer Algos waren uebrigends "Algoritmen" von Robert Sedgewick. Das ist sehr verstaendlich geschrieben :
http://www.amazon.de/Algorithmen-C-R.../dp/3893193766
Die Algo Bibel im naturwissenschaftlichen Bereich ist "Numerical receipes in C". (Sehr abstrakt auf englisch) Das Buch hab ich mir als Student hart abgespart. Wollte es unbedingt jederzeit verfuegbar im Buecherregal stehen haben. Die frohe Botschaft :
Alle Quellcodes gibt es zum freien download :

http://www.nr.com/

Gruesse