SRT als Spezialfall der ART

[Plankton]

- Ein ruhendes, nicht rotierendes SL.
- Ein Beobachter stationär. ca. 1 km vor dem EH.
- Ein Beobachter, weit weg vom SL und auch stationär.

Den Unterschied zwischen Koordinatenzeiten und Eigenzeiten kenne ich nicht.
Wenn T(ABA) = T(BAB) in "Koordinatenzeiten" gleich ist, z.b. 5s; lesen sie das dann auch so von der eigenen Uhr ab?

Zitat von Timm

Sender und Spiegel kommen auf die gleiche Entfernung, weil sie in ihrer jeweiligen Eigenzeit dieselbe round-trip Zeit (hin und zurück) messen. Die Entfernung (genauer Eigenentfernung, nicht die Koordinaten-Differenz) ergibt sich aus dieser Zeit (Lichtweg von oben nach unten und zurück, bzw. umgekehrt) geteilt durch 2 mal c.
[...]

Wenn beide "dieselbe round-trip Eigenzeit" messen, z.B. 5s, dann ist das eine interessante Sache. Der "Beobachter stationär. ca. 1 km vor dem EH" sendet los und es kommt nach 5s zurück. Bei "Beobachter, weit weg vom SL und auch stationär" wäre aber bei der Ankunft des Signals bei ihm auf seiner Uhr mehr Zeit vergangen, wegen der ZD. Und beim Rückweg, hätte er mehr als 5s auf der Uhr, wenn es wieder bei "Beobachter stationär. ca. 1 km vor dem EH" ankommt.
Für den umgekehrten Fall wäre alles anders herum. Bei "Beobachter stationär. ca. 1 km vor dem EH" würde die eigene Uhr weniger anzeigen für den "round-trip" von "Beobachter, weit weg vom SL und auch stationär".

Ich versuche mir nur daraus eine Faustformel abzuleiten für die Betrachtung von ZD.
In einem statischen Fall, d.h. z.B. für Schwarzschild kann ich das dann immer aus meiner Perspektive so sagen. Meine Eigenzeit ist der "Maßstab" und näher der Masse zeigt eine Uhr weniger Zeit an (real vor "Ort quasi") und weiter weg eben mehr.
Und wenn ich den "round-trip" mache und messe bei mir auf der Uhr 5s, dann weiß ich in dem Moment, nahe der Masse zeigt eine Uhr eines Beobachters gerade weniger Zeit an und weiter weg würde eine Uhr eines Beobachters mehr anzeigen.

Spielt eigentlich in diesem Fall Shapiro-Verzögerung keine Rolle?
Sieht der "Beobachter, weit weg vom SL und auch stationär" die LG nicht langsamer nahe des SL? Warum kann er einfach mit c rechnen?

[TomS]

Zitat von Plankton

Den Unterschied zwischen Koordinatenzeiten und Eigenzeiten kenne ich nicht.

Der ist essentiell!

Zitat von Plankton

Wenn T(ABA) = T(BAB) in "Koordinatenzeiten" gleich ist, ...

Da Koordinatenzeiten und Eigenzeiten nicht das selbe sind, habe ich ein anderes Symbol gewählt; t(ABA) = t(BAB), aber T(ABA) ≠ T(BAB).

Zitat von Plankton

Lesen sie das dann auch so von der eigenen Uhr ab?

Nein.

Koordinatenzeiten sind keine messbaren Größen, aber man benötigt sie als Rechengrößen.

Die Schwarzschild-Geometrie wird in Schwarzschild-Koordinaten durch das Linienelement

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schw...zschild_metric

beschrieben. Dabei steht dt für ein infinitesimales Intervall in Koordinatenzeit, dτ für ein solches in Eigenzeit. Da A und B ruhende Beobachter darstellen, sind dr = r dΩ = 0. Der Zusammenhang zwischen Eigen- und Koordinatenzeit lautet dann

dτ² = f(r) dt²

f(r) = 1 - rs / r

Das bedeutet, dass zwei Beobachter A und B bei unterschiedlichen Radien rA bzw. rB vermöge f(rA) bzw. f(rB) dem selben Intervall dt in Koordinatenzeit ein jeweils anderes Eigenzeitintervall dτA bzw. dτB zuordnen.

Das ist gerade die Aussage der gravitativen Zeitdilatation.

[Timm]

Zitat von TomS

f(r) = 1 - rs / r

Du meinst hier sicherlich f(r) = sqrt((1 - (rs )/ r))

Zitat von TomS

T(ABA) ≠ T(BAB)

Ja, hier lag ich wohl verkehrt. Die Beobachter sind sich nicht über die Radar Distanz, sondern über die Eigendistanz einig, müssen also jeweils die Zeitdilatation mittels sqrt((1 - (rs )/ r)) berücksichtigen.

[TomS]

Zitat von Timm

Du meinst hier sicherlich f(r) = sqrt((1 - (rs )/ r))

Danke für die Richtigstellung, ich habe das oben korrigiert.

[Plankton]

Danke für die Antworten!
Die Beobachter haben dann die gleichen Koordinatenzeiten t(ABA) = t(BAB) und hier können sie dann einfach diese Zeit /2 * c nehmen und kommen auf die "Eigendistanz".
--- Das ist dann die reale Distanz zwischen ihnen. Den Weg den das Licht zurückgelegt hat. Right?

Die Eigenzeiten sind unterschiedlich. Ich schätze mal:
T(ABA) ["Beobachter stationär. ca. 1 km vor dem EH"] < T(BAB) ["Beobachter, weit weg vom SL und auch stationär"].

Ist T(ABA) kleiner als die Koordinatenzeit t(ABA)?
Und T(BAB) größer als t(BAB)?
oder: t(ABA) = t(BAB) ... < T(ABA) < T(BAB) oder: T(ABA) < T(BAB) < ... t(ABA) = t(BAB)
Würde mich hier über eine kleine Hilfestellung nochmal freuen.

Wie ist das mit der Shapiro-Verzögerung? Schaut da jeder auf seine Eigenzeit und sieht mal "Überlichtgeschwindigkeit" bzw. mal "Unterlichtgeschweindigkeit"? Bezieht sich das so?

[TomS]

Zitat von Plankton

Danke für die Antworten!
Die Beobachter ... können dann einfach ... und kommen auf die "Eigendistanz"

Nein. Eigenlänge bezeichnet die "raumartige" Länge eines Objektes, gemessen in dessen Ruhesystem. Hier handelt es sich jedoch um einen "lichtartigen" Weg.

Zitat von Plankton

Das ist dann die reale Distanz zwischen ihnen. Den Weg den das Licht zurückgelegt hat.

Es ist die Länge, die das Licht zurückgelegt hat.

Zitat von Plankton

Würde mich hier über eine kleine Hilfestellung nochmal freuen.

Du findest die Formel zur Berechnung des Verhältnisses der Eigenzeiten hier: https://www.physikerboard.de/ptopic,249522.html#249522

[Plankton]

Zitat von TomS

Es ist die Länge, die das Licht zurückgelegt hat.

OK. Den Weg werde ich wohl mit meiner Rakete, mit der ich z.B. fliege, auch mindestens zurücklegen müssen mit v<c.

Zitat von TomS

Du findest die Formel zur Berechnung des Verhältnisses der Eigenzeiten hier: https://www.physikerboard.de/ptopic,249522.html#249522

Die Formeln sagen mir nicht viel. Bereits die 1.: rs=2GM
Was ist rs?
Das wird bei der 2. Formel nicht besser bei g00 ?
Darauf werde ich wohl irgendwann wieder zurück kommen müssen, wenn ich mich tief gehender damit beschäftigt habe.

Ich hatte nur logisch überlegt, dass wenn die Koordinatenzeiten gleich sind und das Licht mindestens diesen Weg zurücklegt, also t(ABA) * c = xy km
dass dann die Eigenzeit logischerweise nicht kleiner sein kann, sonst wäre das Signal ja schneller als das Licht zurück. Hmm......

[Ich]

Das passt alles nicht.
Wir haben wenigstens eine statische Raumzeit und von daher eine Idee, in welche Richtung Raum und Zeit zeigen sollen. Dann kann man lokal die Koordinatenzeiten und-abstände in Eigenzeiten und -abstände umrechnen. Also:
dT=sqrt(1-rs/r)*dt (Eigenzeit)
dR=1/sqrt(1-rs/r)*dr (Eigenabstand).
Der Punkt ist, dass das Verhältnis von Eigengröße zu Koordinatengröße an jedem Ort anders ist.
Von daher ist es egal, ob ich die Koordinatenzeit dt direkt verwende oder stattdessen die Eigenzeit dT(x) eines statischen Beobachters am Ort x: die Lichtgeschwindigkeit ist in keiner dieser Zeiteinheiten konstant, und aus der Laufzeit ergibt sich nie ein Eigenabstand.
Man kann einen Eigenabstand definieren, der enspricht aber (für nicht unendlich kleine Abstände) nie einer Lichtlaufzeit. Wollte man das erreichen, müsste man andere Koordinaten einführen.

[TomS]

Auf welche Aussage beziehst du dich?

[Ich]

Z.B. auf diesen Austausch:

Zitat von Plankton

Die Beobachter haben dann die gleichen Koordinatenzeiten t(ABA) = t(BAB) und hier können sie dann einfach diese Zeit /2 * c nehmen und kommen auf die "Eigendistanz".
--- Das ist dann die reale Distanz zwischen ihnen. Den Weg den das Licht zurückgelegt hat. Right?

Zitat von TomS

Es ist die Länge, die das Licht zurückgelegt hat.