Pendel im Kondensatorfeld

[Maxi]

Hallo Benjamin,

Zitat von Benjamin

alpha = 180° - 2gamma = 10,2°

Also genau das Doppelte aus deinem Beispiel.
Was übrigens auch der doppelten Steighöhe h entspricht.

ich fürchte, du irrst dich.

Bis morgen,
Gruß, Maxi

[Benjamin]

Zitat von Maxi

ich fürchte, du irrst dich.

Du brauchst dich nicht zu fürchten, das stimmt schon.

[richy]

Hi
Welcher Winkel soll sich bei doppelter Steighoehe verdoppeln ? Sicherlich nicht alpha :

cos(alpha)=(l-h)/l
cos(beta)=(l-2*h)/l
alpha=arccos(1/2 cos(beta) + 1/2)

Einfaches Beispiel h=l/2 :
alpha=arccos(1/2)=Pi/3
beta=arccos(0)=Pi/2 <> 2*Pi/3

[Maxi]

Hallo Benjamin,

du bist echt gut:

Zitat von Benjamin

Du brauchst dich nicht zu fürchten, ...

Du hast natürlich insofern wiederum recht, dass ich sinnvollerweise besser geschrieben hätte: "ich befürchte, du ..."

Zitat von Benjamin

mgh=xqU/d

Daraus kannst du den Winkel gamma, der Winkel gemessen am Ausgangspunkt der Bewegung zwischen dem Aufhängpunkt des Fadens und der Kugel, berechnen. Für ihn gilt:

tan(gamma) = x/h = mgd/qU

"tan(gamma) = x/h" ist dabei zwar richtig, aber "tan(gamma) = mgd/qU" stimmt leider nicht. Schau dir die Geometrie noch einmal an, die Schenkel der beteiligten Winkel stehen nicht alle senkrecht aufeinander.

Zitat von Benjamin

Du siehst. Der maximale Winkel hängt nicht von der Fadenlänge ab.

Somit ist auch diese Aussage nicht korrekt, denn der maximale Auslankungswinkel alpha, sowie der Winkel gamma hängen beide von x ab, das wiederum von der Pendellänge l0 abhängig ist.

Im übrigen hat richy die Sache mit dem Problem des "doppelten Winkels alpha" in seinem Beitrag per Rechnung schon klar gelegt.
Mit anderen Worten kann man auch feststellen: Steigt man vom tiefsten Punkt eines vertikalen Kreises auf der Kreislinie immer höher bis man die Höhe des Mittelpunktes erreicht hat und achtet auf die zugehörigen Mittelpunktswinkel, die zu absolut konstanten Steighöhenabschnitte h gehören, so stellt man fest, dass die zugehörigen Mittelpunktswinkel ständig kleiner werden, da die zugehörigen Sehnen immer senkrechter gestellt werden müssen.

Trotzdem nochmals vielen Dank für die Lösung des Hauptproblems.
Maxi

[Benjamin]

Zitat von richy

Hi
Welcher Winkel soll sich bei doppelter Steighoehe verdoppeln ? Sicherlich nicht alpha :

Nein, natürlich nicht alpha!

Zitat von Maxi

"tan(gamma) = x/h" ist dabei zwar richtig, aber "tan(gamma) = mgd/qU" stimmt leider nicht. Schau dir die Geometrie noch einmal an, die Schenkel der beteiligten Winkel stehen nicht alle senkrecht aufeinander.

Bist du sicher, dass du weißt, welchen Winkel ich meine?

Ich meinte, den Winkel, der alpha gegenüberliegt. Am unteren Ende des Fadens l0, wenn er in der Ausgangslage ist.

Zitat von Benjamin

Daraus kannst du den Winkel gamma, der Winkel gemessen am Ausgangspunkt der Bewegung zwischen dem Aufhängpunkt des Fadens und der Kugel, berechnen. Für ihn gilt:

tan(gamma) = x/h = mgd/qU

Für ihn gilt sehr wohl tan(gamma)=mgd/qU!

Das muss zwangsläufig gelten, da ja auch gilt:

Wel=xqU/d=mgh=Epot

Es ist diese Gleichung umgeformt, sodass auf einer Seite das Verhältnis x/h steht. x und h stehen (siehe Skizze) normal aufeinander und sind somit die Katheten eines Rechtwinkeligen Dreiecks, das als Hypothenuse die Verbindungslinie "Ausgangspunkt-der-Kugel - Momentanter-Punkt-der-Kugel" hat.
In diesem Dreieck liegt der Winkel alpha gegenüber der Kathete x, sodass der Tangens benutzt werden kann.

Aus dem Winkel gamma kannst du dann den Winkel alpha berechnen über:

alpha = 180° - 2gamma

Aber das hab ich ja schon alles geschrieben...

[Maxi]

Hallo Benjamin,

oh, oh ,oh,
entschuldige, wir reden offensichtlich aneinander vobei, was den Winkel alpha, zwei alpha, die Höhe h bzw 2h betrifft. Ich habe eben erst bei genauerem hinsehen bemerkt, dass ich deine richtige Gleichung mgh=xqU/d zu schlampig gelesen habe: hier verwendest du h als das, was in meinem Bild 2h bedeutet.
Ich habe mir nun erst mal alles ausgedruckt, weil man am PC den Überblick verliert. Melde mich wieder.

Nichts für ungut.
Maxi

[Benjamin]

Zitat von richy

Hi
Welcher Winkel soll sich bei doppelter Steighoehe verdoppeln ? Sicherlich nicht alpha :

Zitat von Benjamin

Nein, natürlich nicht alpha!

In der Eile kommt doch nur Unsinn heraus!

Und leider schreib ich folgendes wieder in Eile...

Nichtsdestotrotz muss ich eingestehen, dass ich Blödsinn verzapft habe. Ich meinte zunächst eben schon, dass sich alpha mit h verdoppelt. Das stimmt, wie ihr richtig sagt, aber freilich nicht.

Meine Rechnung ist (hoffentlich) dennoch richtig. Erm ... jetzt bin ich mir nur nicht sicher, was sich wirklich verdoppelt, h oder alpha. Spontan tippe ich immer noch auf alpha, aus Symmetriegründen. Denn der Winkel von der Ruhelage (alpha=0°) bis zur Gleichgewichtslage (alpha=5.1°) sollte meines Erachtens derselbe seine, wie der Winkel von der Gleichgewichtslage bis zum Maximum. Oder ist es doch h...?

Sobald ich Zeit habe, rechne ich'S noch mal durch...

[Benjamin]

Zitat von Benjamin

Wenn wir Reibung vernachlässigen, würde die Kugel weiter pendeln, bis zum Punkt, wo der Winkel zwei alpha erreicht, und dann wieder zurück pendeln bis in die Ausgangslage.

Es stimmt schon. Bis zum Umkehrpunkt der Schwingung wird alpha genau doppelt so groß wie bis zum Gleichgewichtspunkt. Ich hab es für U=20kV bis 90kV gerechnet.

Es gilt:

Gleichgewichtspunkt:
alpha1=arctan[qU/(mgd)]

Maximum:
alpha2=180°-2*arctan[mgd/(qU)]

alpha2=2*alpha1

[richy]

Hi Benjamin, Maxi

Ich meine dein Weg ueber gamma=arctan(x/h) ist sehr praktisch.(In der Grafik BETA)
Ich versuche mal deine Gleichung fuer mich moeglichst einfach zu veranschaulichen.
Aus dem Thaleskreis ergibt sich folgender haeufig verwendeter Zusammenhang :


Im Bild (und deren Notation) gilt: ALPHA am Punkt A ist halb so gross wie DELTA am Punkt M.
Und ALPHA + BETA ergibt bekanntlicherweise 90 Grad

Fuehren wir den Punt A in unserer Aufgabe ein sehen wir sofort :
gamma+alpha/2 + 90 Grad (Thales) = 180 Grad
gamma+alpha/2 = 90 Grad
alpha=180 Grad - 2*arctan(x/h)

Somit genau dein Ergebnis. Aus diesem sieht man, dass alpha und x/h nicht linear zusammenhaengen. x/h haengt jedoch linear mit der Spannung U und damit der Verschiebungsenergie zusammen. Ebenso zeigte Maxis und mein Einwand, dass alpha und h nicht linear zusammenhaengen.

Gruesse

[richy]

Gleichgewichtspunkt:
alpha1=arctan[qU/(mgd)]

yepp, gemaess PDF

Maximum:
alpha2=180°-2*arctan[mgd/(qU)]

yepp, wobei ich anfangs dachte es waere ein Schreibfehler, aber das ist tatsaechlich der Kehrwert im Argument.
mgh=xqU/d
tan(gamma) = x/h = mgd/qU

EDIT:
Habs nur mal schnell graphisch getestet ...
Daraus folgt wohl tatsaechlich alpha2=2*alpha1

Dass die Auslenkung symmetrisch um alpha_0 ist wundert mich, da ein Fadenpendel ja nur fuer kleine Winkel linear ist. Scheint aber richtig zu sein.