Temperaturabhängigkeit des stellaren Wasserstoffbrennens

[EinQuantentroester]

Servus,
ich wäre dankbar für eine Erläuterung der Quelle der Abhängigkeit der Proton-Proton-Reaktion von der 4. Potenz der Temperatur. Ich komm nicht drauf.
Danke!

[TomS]

Ich denke, es handelt sich um die Energieabhängigkeit der Wirkungsquerschnitte.

https://arxiv.org/pdf/1004.2318.pdf

[Bernhard]

Oder das hier?

https://de.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann-Gesetz

[TomS]

Zitat von Bernhard

Oder das hier?

https://de.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das wäre die Temperaturabhängigkeit der Strahlungsleistung. Die ist doch nicht spezifisch für die Proton-Proton-Reaktion sondern würde z.B auch für Kohleöfen gelten ;-)

[Bernhard]

Zitat von TomS

Die ist doch nicht spezifisch für die Proton-Proton-Reaktion sondern würde z.B auch für Kohleöfen gelten ;-)

Da hast Du im Prinzip recht, aber auf der anderen Seite sind wir hier im Bereich Schulphysik und da kann man nicht zu 100% ausschließen, dass die Frage etwas ungenau formuliert ist.

[EinQuantentroester]

Zitat von Bernhard

Da hast Du im Prinzip recht, aber auf der anderen Seite sind wir hier im Bereich Schulphysik und da kann man nicht zu 100% ausschließen, dass die Frage etwas ungenau formuliert ist.

Die Frage ist so gemeint, wie sie formuliert ist. Es läuft schon auf die Temperaturabhängigkeit der Wirkungsquerschnitte hinaus, wenn ich es recht verstehe.

Tatsächlich ist aber die Antwort von TomS etwas vermessen im Schulphysik-Forum. Wäre ich in der Lage, die relevante Antwort aus diesem 56-seitigen Review zu destillieren, ich hätte nicht zu fragen brauchen.

(Der Wikipedia-Aufsatz zur Proton-Proton Reaktion (https://de.wikipedia.org/wiki/Proton-Proton-Reaktion) sagt im ersten Absatz:
"Die Fusionsrate ist bei der Proton-Proton-Reaktion proportional zur 4. Potenz der Temperatur.[4]"
[4] ist der von TomS zitierte Adelberger et al. Artikel)

[Bernhard]

Zitat von EinQuantentroester

Es läuft schon auf die Temperaturabhängigkeit der Wirkungsquerschnitte hinaus, wenn ich es recht verstehe.

Die Fusion zweier Protonen benötigt wegen der Coulomb-Abstoßung einen hohen Druck und/oder einen hohen Impuls (oder eben Energie) der beiden Protonen.

[TomS]

Ich denke nicht, dass die vierte Potenz rein aus thermodynamischen Überlegungen folgt.

Wenn man für das Plasma eine Maxwell-Boltmann-Verteilung annimmt, dann gilt für den Erwartungswert Energie

<v²> = 3 kT / m
<E> = 3/2 kT

Damit wäre eine typische minimale Entfernung zweier Kerne bei einem zentralen Stoß

<d> = α / 3kT

Der Wirkungsquerschnitt ist eine Funktion der Energie, also σ(E). Wenn man lediglich die obige Herleitung ansetzt, dann würde man eine Art Schwellenenergie erwarten, oberhalb derer der minimale Abstand zu einem deutliche Anstieg der Fusion führt. Die Energieabhängigkeit eines Wirkungsquerschnitts für die Fusion ausschließlich unter Betrachtung der starken Kernkraft = unter Vernachlässigung der elektromagnetischen Wechselwirkung und somit der Coulombabstoßung ist klein.

Für die Reaktionsrate <σv> findet man für schwache Energieabhängigkeit von σ(E)

<σv> = ∫ dv σv f(v) ∼ σ <v> ~ σ(<E>) √(<E>) ~ σ √(3/2 kT)

Der wesentliche Effekt muss quantenmechanischer Natur sein. Relevant ist insbs. das Durchtunneln der Coulombbarriere. Dabei erwarte ich jedoch eigtl. eine exponentielle Abhängigeit von der Energie.

=> ich werde mir das mal anschauen

[Bernhard]

Zitat von TomS

=> ich werde mir das mal anschauen

Da müsste/sollte der Themenersteller eigentlich noch schreiben, ob er tiefer in das Thema einsteigen will, was aber zu vermuten ist. (?)

Mir fällt zum Thema auch noch das hier ein: https://de.wikipedia.org/wiki/Lawson-Kriterium

[Ich]

Soweit ich das verstehe, ist die Temperaturabhängigkeit ungefähr T^3.9, und das auch nur bei einer Temperatur von 15 MK. Sprich: Das ist kein einfacher und irgendwie plausibel zu erklärender Zusammenhang (so wie T^4 bei der Wärmestrahlung), sondern nur die Ableitung einer beliebig komplizierten Funktion an der Stelle T=15 MK. Also gibt es vermutlich keine anschauliche Erklärung.