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  #31  
Alt 24.08.20, 19:15
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Trotzdem wäre es interessant, ob man z.B. algebraische Köpererweiterungen über Q (nicht C) konstruieren kann, in denen die Menge der Polynomgleichungen per def. so eingeschränkt ist, dass sie alle mittels eine expliziten und allgemeingültigen Formel gelöst werden können. ...
Tom, meine Aussage ist ein modallogisches Theorem, das fragt, ob es so etwas gibt.
Grundsätzlich gilt:
Polynome sind Potenzsummen, und die Umkehrfunktion einer Potzenz ist die Wurzel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)

Aber folgende Möglichkeiten sehe ich, um doch eine Allgemeine Lösungsformel zu erhalten:

1. Die Einführung einer "imaginären Wurzel" (ob das mathematisch Sinn macht, muss man prüfen)
2. Die Einführung einer neuen "imaginären Einheit k", ähnlich wie bei den Complexen Zahlen, welche ja die primäre Eigenschaft i² = -1 haben, z.B. folgendermassen:
k³ = -i³
k³ = i³

3. Die Lösung über das Kreuzprodukt eines n-dimensionalen Vektorraums.
4. Eine Transformation der Lösungen auf die Ecken eines Dodekaeder.

Vielleicht funktioniert eine Möglichkeit, vielleicht gibt es auch noch andere. Muss man sich halt mal genauer anschauen...
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  #32  
Alt 24.08.20, 21:13
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Tom, meine Aussage ist ein modallogisches Theorem, das fragt, ob es so etwas gibt.
Deine Aussage fragt nicht, sie behauptet etwas:

„Es existieren Lösungen für eine Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5.“

Bisher bist du alles schuldig geblieben, Voraussetzungen für die Aussage sowie einen Beweis.


Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Aber folgende Möglichkeiten sehe ich, um doch eine Allgemeine Lösungsformel zu erhalten:

1. Die Einführung einer "imaginären Wurzel" (ob das mathematisch Sinn macht, muss man prüfen)
2. Die Einführung einer neuen "imaginären Einheit k", ähnlich wie bei den Complexen Zahlen, welche ja die primäre Eigenschaft i² = -1 haben, z.B. folgendermassen:
k³ = -i³
k³ = i³

3. Die Lösung über das Kreuzprodukt eines n-dimensionalen Vektorraums.
(1) und (2) klingen nach endlich-dimensionalen Erweiterungskörpern von C, von denen wir wissen, dass die nicht existieren; die einzigen weiteren Divisionsalgebren, zu denen C eine Unteralgebea darstellt, sind die Quaternionen sowie die Octonionen; dies sind jedoch keine Körper.

(3) funktioniert nicht, da zum einen Vektorprodukte nur in n=3 und n=7 existieren, und zwar eine Algebra jedoch keinen Körper definieren. Das hängt übrigens mit (1) und (2) zusammen.
__________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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  #33  
Alt 25.08.20, 20:55
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
(1) und (2) klingen nach endlich-dimensionalen Erweiterungskörpern von C, von denen wir wissen, dass die nicht existieren;
Ich hab dazu folgendes gefunden:
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittst...is2/Kap3_4.pdf
S. 93 bzw. S. 309:

Zitat:
Satz 3.4.149 (C algebraisch abgeschlossen) Es gibt keinen echten endlichen Erweiterungskörper von C.
Der Beweis ist:
Zitat:
Da P(w) = 0 ist, verschwindet einer der Faktoren w−zκ. Also ist w ∈ C.
Das versteh ich noch nicht ganz (vielleicht hast du auch eine bessere Quelle).

Auch wenn gilt, dass in diesem Fall w−zκ=0 ist, und damit w=zκ , heisst das nicht, dass w element von C sein muss. Z.B. gilt i² = -1 und auch i²+1 = 0, deshalb ist aber nicht i² Element der Reellen Zahlen (nur weil +1 eine Reelle Zahl ist.)

Beispiel: (r := Reelle Zahl, i := Imaginäre Zahl, k := Körperzahl.)
r² + i² = 0
r³ + i³ + k³ = 0

Für r³ = 0:
k³ = -i³ = i
=> r³ + i³ + k³ = 0

Für i³ = 0:
k³ = -r³
=> r³ + i³ + k³ = 0

Da für k³ andere Gesetze gelten wie für i³ und r³, kann weder i³ noch r³ die Körperzahl k³ ersetzen.

Irgendwas versteh ich das grad nicht. Kannst du das mal mit deinen Worten erklären, Tom?
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  #34  
Alt 25.08.20, 23:46
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Ich hab dazu folgendes gefunden:
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittst...is2/Kap3_4.pdf
S. 93 bzw. S. 309
In diesem und in den nächsten Abschnitten

1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, daß C der einzige endliche Erweiterungskörper von R ist.
2. Die rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten bilden einen unendlich- dimensionalen Erweiterungskörper von R.
Satz 3.4.151 (Einzigkeit von C)
Es sei K ein echter Erweiterungsköper der reellen Zahlen, so daß
dimR K = n ∈ N ist. Dann ist n = 2 und K ist isomorph zu C.


steht etwas verklausuliert, dass keine endlich-dimensionale Körpererweiterung zu C existiert.

Zu R gibt es genau eine endlich-dimensionale Körpererweiterung, nämlich C.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Divisionsalgebra

Jeder Körper über R ist eine Divisionsalgebra (Addition, Multiplikation, Division, Eins-Element). Aber nicht jede Divisionsalgebra ist auch ein Körper (insbs. fehlende Kommutativität). Offenbar gibt es genau vier dieser Divisionsalgebren über R, nämlich R, C, H, O. Da jedoch H und O keine Körper sind, bleiben als solche nur R und C.
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Ge?ndert von TomS (26.08.20 um 07:03 Uhr)
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