Math - f(n)=r*f(n-1)+f(n-2)

[richy]

Meine Berechnung zu den Fib Zahlen hat auch etwas mit der Chaostheorie zu tun. Aber zuerst moechte ich die Rechnung nochmal verallgemeinern:
Ich betrachte zunaechst die allgemeinere Gleichung :
1) f[k+1]=p*f[k]+q*f[k-1]
*****************
Wieder soll der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte der Folge bestimmt werden.
Meine Vermutung lautet, dass dieser durch die Folge s[k+1] bestimmt wird
2) s[k+1]=p+q/s[k]
************
Die Betrachtung von s[k] ueber Nenner und Zahler fuert zum Erfolg:
s[k+1]=Z[k]/N[k+1]=p+q/(N[k]/Z[k] .... = (p*Z[k]+q*N[k])/Z[k]=(p*Z[k]+q*Z[k-1])/Z[k]
Und die Gleichung 2) strebt gegen einen Grenzwert der bestimmt ist durch :
s=p+q/s

ERGEBNIS
************************************************** ****
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte der Iteration :
1) f[k+1]=p*f[k]+q*f[k-1]
wird bestimmt durch die Iteration :
2) s[k+1]=p+q/s[k]
deren Grenzwert folgende Gleichung erfuellt :
s=p+q/s
************************************************** ****

Irgendwie ist das schon verblueffend einfach.

@Hamilton
Ich hatte schon angedeutet dass s=p+q/s die charakteristische Gleichung der
Z Transformiertenvon Gl 1) darstellt.
Ist es Zufall, dass diese auch den Grenzwert darstellt ?
Gibt es in der Mathematik solch einen Satz ueber lineare Differenzengleichungen ?
Ich will jetzt mal ausprobieren ob dies auch mit der charakteristischen Gleichung einer linearen Differentialgleichungen funktioniert.

@soon
Der goldene Schnitt spielt in nichtlinearen dynamischen Systemen insofern eine Rolle,
dass er die irrationalste aller Zahlen darstellt im Sinne einer Bruchapproximation.
D.h. Frequenz oder Wellenzahlverhaeltnisse im goldenen Schnitt vermeiden Resonanzstellen.
Der goldene Schnitt ist ein Antiresonator.
Wenn es nun so waere dass z.B. 1+Wurzel(2) ebenfalls ein guter Antiresonator ist, so muesste man auch solche Verhaeltnisse in der Natur wiederfinden.
Es waere auf jeden Fall mal interessant die Verhaeltnisse der Zahlen die frac(x)=frac(1/x) erfuellen darzustellen.
In der obigen Erweiterung muss zunaechst q=1 gelten um diese Bedingung immer zu erfuellen. frac(x)=frac(q/x) bedeutet nicht immer dass x irrational ist.

Beispiel:
s=1+2/s hat die positive Loesung 2, denn 2=1+1
Die Loesung 2 ist nicht irrational denn hier gilt frac(s)=frac(2/s)
Es gibt aber auch Faelle in denen frac(s)=frac(k/s) zu einer irrationalen Loesung fuehrt.
Das ist natuerlich auch sehr interessant.

[richy]

Ich mache jetzt erstmal einen kleinen Ausflug zu Zahlen s die
frac(s)=frac(q/s) erfuellen und nicht ganzzahlig sind.
Also frac(s)<>0

s=0.5*(1+Wurzel(13)) waere solch eine Zahl denn sie erfuellt
s=1+3/s
frac(r)=frac(3/r)

0.5*(1+Wurzel(13)) = 2.302775638
3/(0.5*(1+Wurzel(13)))=1.302775638

Schade dass mir hier wahrscheinlich keiner mehr folgt, aber das ist doch jetzt ziemlich interessant !
Noch interessanter sin natuerliche Zahlen die frac(n)=frac(q/n) erfuellen

Ich gehe mal von meinem Ansatz des frac Beweises aus : (ohne Details)
Wuerde gelten frac(a/b)=frac(b/a) so besaesse die frac Funktion die Perioden a und b. Dies ist nicht moeglich.
Fuer welchen Fall kann frac(a/b)=frac(q*b/a) gelten und a/b ist eine natuerliche Zahl ?
Das ist zunaechst einfach : b=1
Dann gilt frac(a/b)=frac(a)=0 und es muss gelten frac(q/a)=0
Anders gesagt: q/a muss eine natuerliche Zahl sein und damit
q muss ein Vielfaches der Loesung s=a sein
********************************
Bei s=1+2/s mit der Loesung s=2 ist dies gegeben q=2. s=2
Bei s=1+3/s ist dies nicht gegeben

Welchen Weg gehe ich weiter ?
Entweder die quadratische Loesungsformel oder den Satz von Vieta.
Erstmal die
quadratische Loesungsformel
**********************

q muss ein Vielfaches der Loesung s=a sein
1) q=n*s
2) s=1/2 +- 1/2*Wurzel(1+4*s*n)
Loesung:
3) s=1+n ( in 1)
4) q=n*(1+n) (Das ist uebrigends das Doppelte einer Dreieckszahl Summe(1...n)
**********
******************************************
Die Loesungen der Gleichung :
s=1+n*(1+n)/s
sind ganzzahlig
s1=1+n, s2=-n
******************************************
Jede natuerliche Zahl kann Loesung von s=1+k/s sein,
wobei auch k ganzzahlig ist !

Test: 2+(2+1)=6
s=1+6/s
s=-2,3

Weiterhin :
Ich kann jede natuerliche Zahl als Grenzwertquotient einer modifizierten Fibonacci Folge darstellen :
f[k+1]=f[k]+n*(1+n)*f[k-1]
ebenso durch:
s[k+1]=1+n*(n+1)/s[k]
oder sogar durch einen Kettenbruch :-)
3=(1+6/(1+6/(1+6/(1+6/3))):-)

Rechne morgen mal weiter

[richy]

bin grad am rechnen :-)

[richy]

Ein Blatt Papier ein Bleistift und ein PC ...
@Hamilton
Hey mit Maple kann man LaTex exportieren. Wie binde ich das in HTML Code ein ?

So langsam wird das hier wohl leider mal wieder nur eine Dokumentation meiner Gedanken.
Was steht heute auf dem Speisekarte ?
Ach ja, ich wollte sehen ob ich nicht auch frac Bedingungen fuer das allgemeine Polynom s=p+q/s statt "nur" s=1+q/s finden kann.
Dass die Bedingung q=n(1+n) fuer ganzzahlige Loesungen lautet ist bei mir auch noch im Hinterkopf. Da draengt sich das Pascalsche Dreieck doch foermlich auf.
Ach ja und bei Srinivasa Ramanujan wollte ich nochmal nach einem Ausdruck fuer exp(1) suchen.

Aber jetzt erstmal die einfachere Aufgabe :
Wann liefert s=p+q/s ganzzahlige Exponenten ?
frac(p+q/s)=0 => frac(q/s) = 0
Das hatte ich in einem Thread behandelt.
Fuer ein allgemeines p aendert sich lediglich die Bedingung fuer s statt :
2) s=1/2 +- 1/2*Wurzel(1+4*s*n)
zu
5) s=1/2*p +- 1/2*Wurzel(p^2+4*s*n)
Die Loesung ist schlicht und lautet:
6) s=n+p
Mit
q=n*s erhalte ich :
q=n*(n+p)
Die Loesung fuer s =p+n*(n+p)/s lautet dann
s1=-n, s2=n+p
Ich halte das einfach mal fest :

******************************************
Die Loesungen der Gleichung :
s=p+n*(p+n)/s
sind ganzzahlig
s1=p+n, s2=-n
******************************************

Beispiel:
s=9+112/s hat die Loesungen -7,16

[richy]

Memo
Here is another method to generate the Rabbit sequence but this time using the bits we threw away above - the fractional parts of the multiples of Phi!

i i*Phi frac(i*Phi) R or L?
1 1·618034.. 0·618034..
2 3·223606.. 0·223606.. L
3 4·854101.. 0·854101.. R
4 6·472135.. 0·472135.. L
5 8·090169.. 0·090169.. L
6 9·708203.. 0·708203.. R
7 11·326237.. 0·326237.. L
...
"R or L?" means that the fractional part on that line=frac(i*Phi)
is moRe or Less than the fractional value on the line above=frac((i-1)*Phi)
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal...ci/fibrab.html

[richy]

BTW:
Ich habe mal einen Fib Spezialisten in England angeschrieben wegen meinem Fib Primfaktor Z_Verteilungs Experiment. Er hat mir folgenden Link von sich geschickt :
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal...s.html#factors
Da staune ich nur noch Baukloetze :-)
Explizit fehlt mein Versuch, aber auf der Seite befindet sich ein aehnliches Ergebnis. Wer siehts ?
Tja jetzt bin ich wohl auch ein paar Tage beschaeftigt.

[soon]

Hi,
Boah,- steckt da ne Arbeit drin! Das merkt man so richtig, wenn man selber versucht eine Kleinigkeit zu zeichnen.