Reversible Zustandsmessungen

[Carsten Milkau]

In der QM taucht der seltsame Effekt auf, daß die Messung eines Quantenzustandes zu einer Zustandsreduktion führt, d.h. bei einer projektiven Messung nimmt das Meßobjekt gemäß einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung "plötzlich" einen der Basiszustände an. Es scheint jedoch, als ob man eine Messung auch als nichts anderes als eine Verschränkung von Beobachter und Objekt auffassen kann, und mehr noch: jede Verschränkung der Zustände zweier QM-Systeme auch als Messung aufgefaßt werden kann. Macht diese Interpretation Sinn? Der wesentliche Unterschied zur Standardtheorie wäre dabei, daß eine Messung prinzipiell umkehrbar ist (dabei geht jedoch auch die gewonnene Information wieder verloren)!

Notationen:
A (x) B ... Tensorprodukt von A und B
|v> ... ket-Vektor v
<v| ... bra-Vektor v
<u|v> ... Skalarprodukt von u und v
A* ... Adjungierter zu A
|ab> = |a> (x) |b>, <ab| = <a| (x) <b| ... Kurzschreibweisen für Tensorprodukte von Vektoren
{|i>} ... Kurzschreibweise für eine Orthonormalbasis (ONB)
[x=y] ... Kronecker-Symbol von x und y
I(H) ... Identitätsoperator auf H
sum_ijk... f(i,j,k,...) ... Summe der Terme f(i,j,k,...) über alle Tupel der Basivektoren von {|i>}, {|j>}, {|k>}, ...

Wir betrachten zunächst ein (abgeschlossenes) Zweiparteiensystem aus einem Objekt A und einem Beobachter B. Der gemeinsame Zustandsraum H ist darstellbar durch das Tensorprodukt H_A (x) H_B der Zustandsräume H_A, H_B derbeiden Teilsysteme. Wir betrachten nur Reinzustände, aufgrund der Linearität ergeben sich für Gemische analoge Gleichungen. Zum Zeitpunkt 0 seien beide Systeme nicht verschränkt, d.h. das Zweiparteiensystem befindet sich in einem separablen Zustand |ab> mit |a> \in H_A, |b> \in H_B. Da wir das Gesamtsystem als abgeschlossen annehmen, entwickelt es sich unitär, d.h. zum Zeitpunkt 1 befindet sich das System in einem Zustand M |ab> für einen gewissen unitären Operator M: H -> H. Seien nun {|i>}, {|k>}, {|r>}, {|t>} ONB in H_A und {|j>}, {|l>}, {|s>} ONB in H_B. M ist unitär, also gilt M*M = I. Wir setzen für x,y \in H_B

(1) M_xy := <x| M |y> (= sum_ik (<ix| M |ky>) |i> <k|)

Wegen M* M = I(H) zeigt eine einfache Rechnung [1], daß für alle |y> \in H_B mit <y|y> = 1

sum_j (M_jy)* M_jy = I(H_A),

also insbesondere für y = b. Das Ensemble { M_jb }_j erfüllt also die Bedingungen für ein Ensemble Meßoperatoren!
Für den Zustand M |ab> des Systems zum Zeitpunkt 1 ergibt sich ferner [2]

(2) M |ab> = sum_j (M_jb |a>) (x) |j>

Das System befindet sich also in einer Superposition von Zuständen der Form (M_jb |a>) (x) |j>! Betrachten wir einmal einen dieser Zustände einzeln. Er ließe sich so interpretieren, daß B |j> "mißt" und A dabei in den Zustand M_jb |a> übergeht. Das ist genau das, was bei einem Meßensemble { M_jb }_j zu beobachten ist! Nun befindet sich das System zwar in einer Superposition dieser Zustände für alle j. Da sich die superpositionierten Zustände aber gegenseitig quantenmechanisch nicht beeinflussen, "merkt" B nicht, daß er mit A verschränkt ist, sondern hat den Eindruck, es hätte eine Zustandsreduktion auf (M_jb |a>) (x) |j> (für eines der |j>) stattgefunden.

Wir haben nun gesehen, daß eine Verschränkung als Messung aufgefaßt werden kann. Es ist umgekehrt aber auch möglich, eine Messung als Verschränkung aufzufassen. Sei wieder A ein Meßobjekt mit Zustandsraum H_A. Sei ferner ein Ensemble Meßoperatoren { M_j }_j gegeben. Der Beobachter B sei durch einen Zustandsraum H_B beschrieben und vor der Messung nicht mit A verschränkt, d.h. das Zweiparteiensystem aus A und B befinde sich wieder in einem separablen Zustand |ab> \in H_A (x) H_B =: H. Die Messung kann nun durch die Verschränkung M durchgeführt werden, die durch die Gleichung

(3) M := sum_j M_j (x) |j> <b| (= sum_ijk (<i| M_j |k>) |ij> <kb|)

gegeben ist. Man beachte: es gilt M_jb = M_j für M_xy wie in (1). [3]

Was an dieser Stelle noch fehlt, ist eine Erläuterung der beobachteten Wahrscheinlichkeiten <a| (M_j)* M_j |a> für die Messung von |j>.


Zum Abschluß noch die Rechnungen im Detail:

[1]
sum_j (M_jy)* M_jy
= sum_j (sum_ik (<ij| M |ky>) |i> <k|)* (sum_rt (<rj| M |ty>) |r> <t|)
= sum_j (sum_ik (<ky| M* |ij>) |k> <i|) (sum_rt (<rj| M |ty>) |r> <t|)
= sum_ijkt (<ky| M* |ij> <ij| M |ty>) |k> <t|
= sum_kt (<ky| M* M |ty>) |k> <t|
= sum_kt <ky|ty> |k> <t|
= sum_kt <y|y> <k|t> |k> <t|
= <y|y> sum_k |k> <k|
= I(H_A)

[2]
M |ab>
= I(H) M I(H) |ab>
= sum_ijkl |ij> <ij| M |kl> <kl|ab>
= sum_ijkl <ij| M |kl> <k|a> <l|b> (|i> (x) |j>)
= sum_ijklr <ij| M |kl> <l|b> <k|r> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijklr <ij| M |kl> <kl|rb> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijr <ij| M I(H) |rb> <r|a> (|i> (x) |j>)
= sum_ijr (<ij| M |rb> |i> <r|a>) (x) |j>)
= sum_j (M_jb |a>) (x) |j>

[3]
M_jb
= sum_ik <ij| M |kb> |i> <k|
= sum_ikrst <r| M_s |t> <ij|rs> <tb|kb> |i> <k|
= sum_ik <i| M_j |k> |i> <k|
= M_j

[Hermes]

In der QM taucht der seltsame Effekt auf, daß die Messung eines Quantenzustandes zu einer Zustandsreduktion führt, d.h. bei einer projektiven Messung nimmt das Meßobjekt gemäß einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung "plötzlich" einen der Basiszustände an. Es scheint jedoch, als ob man eine Messung auch als nichts anderes als eine Verschränkung von Beobachter und Objekt auffassen kann, und mehr noch: jede Verschränkung der Zustände zweier QM-Systeme auch als Messung aufgefaßt werden kann.

Das ist finde ich ein sehr interessanter Gedanke!
Andererseits: Nimmt man das nicht sowieso bereits an?!
Zu den Rechnungen kann ich nichts sagen, da gibts Experten dafür....

[Sino]

Zitat von Carsten Milkau

In der QM taucht der seltsame Effekt auf, daß die Messung eines Quantenzustandes zu einer Zustandsreduktion führt, d.h. bei einer projektiven Messung nimmt das Meßobjekt gemäß einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung "plötzlich" einen der Basiszustände an....
...Es scheint jedoch, als ob man eine Messung auch als nichts anderes als eine Verschränkung von Beobachter und Objekt auffassen kann, und mehr noch: jede Verschränkung der Zustände zweier QM-Systeme auch als Messung aufgefaßt werden kann...

Ich habe die Rechnung nicht durchgeschaut, aber dass man sich selber mit dem zumessenden Objekt verschränkt, ist eine bekannte Interpretation, aber dann würde es Parallelwelten geben, da jede noch so unwahrscheinliche Alternative auch realisiert wäre. Das Universum würde sich quasi unentwegt verzweigen. Ich glaube, die QM-Interpretation der Alternativen Geschichten läuft auf das Gleiche hinaus bzw. die Frage ist dann nur, was man als "Reale Welt bzw. Realität" definiert.
Ob ich nun sage, "das Universum spaltet sich unentwegt" oder sage dass das Universum ein Quantenuniversum ist, dessen konkrete Ausprägungen verschiedene Zustände darstellen, die alle in einer Superposition existieren bzw. aus denen sich verschiedene Geschichtszweige ergeben, wäre irgendwie das Gleiche.

Auf jeden Fall müsste es dann wohl verschiedene "Ichs" geben, die all die Alternativen wahrnehmen können, so dass sich das "Ich" exponentiell vermehrt. Ob das in verschiedenen Welten oder nur im Geist passiert sei mal dahingestellt und macht keinen Unterschied, denn mein Ich könnte so oder so nur klassische Alternativen wahrnehmen. Jeder mögliche Ausgang einer Messung müsste auch von einem auf klassische Wahrnehmung begrenzten "Ich" erlebt werden.

P.S.: Die Hauptkritikpunkte an dem Modell sind normalerweise, dass es nicht gerade minimalistisch ist und dass es unüberprüfbar ist.

[Hermes]

Zitat von Sino

Habe die Rechnung nicht durchgeschaut, aber dass man sich selber mit dem zumessenden Objekt verschränkt, ist eine bekannte Interpretation, aber dann würde es Parallelwelten geben, da jede noch so unwahrscheinliche Alternative auch realisiert wäre.

Danke für die Klarstellung, das war mir bis jetzt eher intuitiv bewußt. Ein 'konkretes' Stückchen mehr in meiner Vorstellung!

Das Universum würde sich quasi unentwegt verzweigen. Ich glaube, die QM-Interpretation der Alternativen Geschichten läuft auf das Gleiche hinaus bzw. die Frage ist dann nur, was man als "Reale Welt" definiert.

Man könnte auch sagen, es wäre alles schon da, und wir bewegen uns durch die innere Struktur der "multiversal realen Welt". Das wäre die Global-Realität, während wir (und all die 'anderen') uns in einer lokalen Realtät (einzig) zu befinden glauben..

Auf jeden Fall müsste es dann wohl verschiedene "Ichs" geben, die all die Alternativen wahrnehmen können, so dass sich das "Ich" exponentiell vermehrt. Ob das in verschiedenen Welten oder nur im Geist passiert sei mal dahingestellt und macht keinen Unterschied, denn mein Ich könnte so oder so nur klassische Alternativen wahrnehmen

Hast Du von den "Many Minds"-Theorien gehört?:
http://en.wikipedia.org/wiki/Many-minds_interpretation

Bewußtsein könnte eine direkte Verbindung der unterschiedlichen Realitäten (Raumzeiten) sein. Bewußtsein und Quantenmechanik haben einen signifikanten Zusammenhang!
Bewußtsein ist selbst hochdimensional, unsere Einzel-Wege sind Facetten des ganzen, au weia, transzendenten 'Ichs'.
Findet Hermes als Antwort...

"Klassisch wahrnehmen" tun wir nie! Unsere Wahrnehmung selbst, unser Bewußtsein ist doch das 'unklassischste' überhaupt! Das ist nur ein gedankliches 'Tool' im Betriebssystem unseres Bewußtseins. Eine Hilfsvorstellung, die oft zum Glauben oder unbewußten Annahme wird.
Darauf hinzuweisen mag banal erscheinen - genau das ist es aber nicht!

[Sino]

Zitat von Hermes

Hast Du von den "Many Minds"-Theorien gehört?:
http://en.wikipedia.org/wiki/Many-minds_interpretation

Interessanter Link, aber da wird dann auch ein weiteres Problem ausgedrückt. Man hätte zwar verstanden, was bei der Messung passiert, aber nicht, warum sich man sich sein Beobachter-Ich so aussucht, dass die beobachteten Wahrscheinlichkeiten bei Messungen passen bzw.

Zitat: "....However Albert and Loewer suggest that the mental does not supervene on the physical, because individual minds have trans-temporal identity of their own. The mind selects one of these identities to be its non-random reality, while the universe itself is unaffected. The process for selection of a single state remains unexplained. This is particularly problematic because it is not clear how different observers would thus end up agreeing on measurements, which happens all the time here in the real world...."

/edit. ... bzw. was die geschrieben haben, ist eigentlich meiner Meinung nach falsch. Man würde schon mit anderen Beobachtern bei der Beobachtung eines Ereignisses übereinstimmen, da man nur mit den richtigen Beobachtern physikalisch kommunizieren könnte, also denen, die die gleiche Welt sehen. Die Frage wäre allerdings trotzdem, warum man sich für diese Beobachtersicht entscheidet und nicht für jene, und zwar mit der richtigen Wahrscheinlichkeit.

[Lambert]

Zitat:
Das Universum würde sich quasi unentwegt verzweigen.

Das ist ungefähr die merkwürdige Auffassung der Quantenmechaniker/Philosoph aus den 15 letzten Jahren des letzten Jahrhunderts. Lese zum Beispiel verschiedene Beiträge in den BBC-Interviews mit führenden Physikern zusammengefasst in dem kleinen Buch: "Der Geist im Atom." Ich möchte den merkwürigen Titel entschuldigen, kann aber auch nichts dafür, dass er so gewählt wurde.

Keine gute Interpretation übrigens nach meiner allerbescheidensten Meinung. In Gegenteil, diese Meinung meint: das JETZT (das, was IST) kann als konkret-stabiles Endfilter von dem, was kommen könnte (Das WIRD: Alles, was möglich sein kann und auf dem JEZTZ zufließt) gewertet werden. Der Takt der Änderung von WIRD zu JETZT liegt in der Tat vermutlich schätzungsweise bei 10^70 pro Sekunde auf der Ebene der Raumquanten.

Die reversiblen Zustandsmessungen der QM machen nur deutlich, dass es einen Anstoss gegeben hat. Damit kam der Laden unter der "Vibration". 1/t mit m,m² und m³ und damit anschließend zu kg, E, Impuls and what have you.

Gruß,
Lambert

[Carsten Milkau]

Es ist zu beachten, daß bei der Betrachtungsweise im Ursprungspost keine unentwegte Verzweigung auftritt, sondern lediglich eine ganz normale Zustandstransformation. Das ist etwas völlig anderes als eine permanente Vervieflachung des Universums. In diesem Sinne bliebe der Zustand des Universums stets beschrieben durch einen *einzigen* Zustandsvektor, der (da das Universum per definitionem abgeschlossen ist) sich unitär entwickelt, also mehr oder weniger nur gedreht wird. Insbesondere kann der Beobachter (theoretisch) die Verschränkung mit dem Objekt auch wieder rückgäng machen, was ihm wieder in einen separablen Zustand überführen würde. Tatsächlich muß man davon ausgehen, daß (über einige Umwege) eine solche "Entschränkung" selbst auf makroskopischer Ebene ständig passiert, wenn man davon ausgeht daß der Zustandsraum eines Quants endlichdimensional ist. Dann nämlich kann z.B. der Beobachter Mensch nur ein begrenztes (wenn auch gewaltiges) Maß an Superposition erreichen, das durch die Zahl an Quanten in seinem Organismus beschränkt ist. Mathematischer kann ein n-dimensionales System maximal n separable Zustände superpositionieren.

P.S. das mit der Beweisbarkeit ist so eine Sache. Es gibt ja einen Untershcied zwischen der Zustandsreduktion und der Verschränkung: letztere ist reversibel. Die Schwierigkeit dabei ist, daß Verschränkungen (und damit Messapparaturen), die makroskopische Dimensionen erreichen, zwar theoretisch umkehrbar sind, praktisch aber zu komplex für eine vollständige Umkehrung. Interessant ist diese Theorie daher eher für "ungewollte Messungen", sprich Dehohärenzprobleme.

[Lambert]

Änderung von IST geht nach meiner äußerst bescheidenen Auffassung nur durch WAHL, die eingreift in WIRD, der über t und verschränkten Raum (imaginären Raum nach meiner Auffassung) dem JETZT zufließt.

Ich frage mich, welche Art von Wahl ein Messinstrument auf Quantenebene trifft, warum es das tut und wie es das tut in einer bestimmten Messkonfiguration.

Gruß,
Lambert

[Sino]

Zitat von Carsten Milkau

Es ist zu beachten, daß bei der Betrachtungsweise im Ursprungspost keine unentwegte Verzweigung auftritt, sondern lediglich eine ganz normale Zustandstransformation. Das ist etwas völlig anderes als eine permanente Vervieflachung des Universums. In diesem Sinne bliebe der Zustand des Universums stets beschrieben durch einen *einzigen* Zustandsvektor, der (da das Universum per definitionem abgeschlossen ist) sich unitär entwickelt, also mehr oder weniger nur gedreht wird. Insbesondere kann der Beobachter (theoretisch) die Verschränkung mit dem Objekt auch wieder rückgäng machen, was ihm wieder in einen separablen Zustand überführen würde. Tatsächlich muß man davon ausgehen, daß (über einige Umwege) eine solche "Entschränkung" selbst auf makroskopischer Ebene ständig passiert, wenn man davon ausgeht daß der Zustandsraum eines Quants endlichdimensional ist. Dann nämlich kann z.B. der Beobachter Mensch nur ein begrenztes (wenn auch gewaltiges) Maß an Superposition erreichen, das durch die Zahl an Quanten in seinem Organismus beschränkt ist. Mathematischer kann ein n-dimensionales System maximal n separable Zustände superpositionieren.

Ok, dann nehm ich die Kritik erstmal zurück, klingt auf jeden Fall interessant, muss mir das im Detail mal genauer anschauen bzw. das mal selber nachvollziehen.

[Carsten Milkau]

Zitat von Lambert

Änderung von IST geht nach meiner äußerst bescheidenen Auffassung nur durch WAHL, die eingreift in WIRD, der über t und verschränkten Raum (imaginären Raum nach meiner Auffassung) dem JETZT zufließt.

Das ist eine Annahme. Interessanterweise gehe ich genau vom Gegenteil aus, nämlich dem völligen Fehlen jeglicher Wahl, stattdessen einer rein deterministischen (obwohl quantenmechanischen) Entwicklung

phi(t) = e^(i t H) phi(0)

(Entwicklungsgleichung für den Zustandsvektor phi(t) eines abgeschlossenen quantenmechanischen Systems ... relativistische Effekte sind hier allerdings noch nciht berücksichtigt)