Mehr Raum durch Masse?

[Mea]

Zitat von Ich

Wer sagt dir, dass nicht die Oberfläche (und damit das Volumen) kleiner geworden ist?
Das Volumen ist größer, als nach der Oberfläche zu erwarten, aber kleiner, als nach dem Radius zu erwarten. Das ist alles.

Was willst Du denn damit sagen, Ich, "dass die Oberfläche (und damit das Volumen) kleiner geworden ist?" Das verstehe ich nicht. Ich will ja gerade die Oberfläche konstant lassen und dann betrachten, was mit dem Volumen passiert wenn man Masse in die Kugel hinein gibt. Das Volumen setzt sich aus lauter infinitesimal kleinen Volumenbruchstücken zusammen, die sich innerhalb der Kugel befinden. Die Oberfläche ist sich auf der Außenseite der Kugel. Im durch Masse gekrümmten Raum befinden sich mehr kleine Volumenelemente innerhalb der Kugel, wenn ich deren Oberfläche konstant lasse. Natürlich wird das Volumen kleiner, wenn ich die Oberfläche verkleinere (und die Masse konstant lasse). Aber das ist doch gar nicht die Frage, um die es hier geht. Wenn ich die Oberfläche konstant lasse, dann ist das Volumen der Kugel mit Masse größer als das Volumen der Kugel ohne Masse.
Ok, mit Masse wird auch die Oberfläche ein bisschen größer, also wird tatsächlich die Kugel kleiner (wenn ich die Oberfläche konstant lassen will). Die Oberfläche hängt nur quadratisch von r ab, das Volumen aber kubisch. Also wächst das Volumen innerhalb linear mit r. Und r wird länger durch die Raumkrümmung wenn ich die Masse erhöhe.

Also habe ich mehr Volumen innerhalb einer konstanten Oberfläche wenn ich die Masse innerhalb erhöhe.

[Ich]

Du kannst die Oberfläche konstant lassen oder den Radius.
Wenn du die Oberfläche konstant lässt, dann hast du mit Masse mehr Volumen in der Kugel.
Wenn du den Radius konstant lässt, dann hast du mit Masse weniger Volumen in der Kugel.
Das ist einfach beliebig.

Die einzig nicht willkürliche Aussage ist, dass die Oberfläche kleiner ist als nach dem Radius zu erwarten. Und das bedeutet, dass die Raumkrümmung in Summe positiv ist. Sonst nichts.

[TomS]

@Ich -

Siehst du ein Problem mit meiner Argumentation bzgl. festgehaltener Oberfläche A? Das einzige, was ich sehe ist, dass es willkürlich ist, A festzuhalten: es gibt kein physikalisches Kriterium bzw. keinen Mechanismus, der A festhält; das ist nur Mathematik.

[Ich]

Zitat von TomS

Siehst du ein Problem mit meiner Argumentation bzgl. festgehaltener Oberfläche A?

Nein, das kann man machen. Muss man aber nicht.

Das einzige, was ich sehe ist, dass es willkürlich ist, A festzuhalten: es gibt kein physikalisches Kriterium bzw. keinen Mechanismus, der A festhält; das ist nur Mathematik.

Genau. Und die Aussage, dass der Raum mehr geworden ist, hängt ausschließlich an dieser willkürlichen Entscheidung. Halte stattdessen den Radius fest, und das Volumen wird kleiner.

Ergänzung: Schau die beiden Linienelemente hier an. Im oberen ist die Oberfläche festgehalten, im unteren der "echte Radius" eta. Das Volumenintegral ist oben >4/3pi r³, im unteren ist es <4/3pi eta³.

[Mea]

Zitat von Ich

Genau. Und die Aussage, dass der Raum mehr geworden ist, hängt ausschließlich an dieser willkürlichen Entscheidung. Halte stattdessen den Radius fest, und das Volumen wird kleiner.

Ihr habt keinen Anker. Man braucht irgendwas, um sich zu verankern, wenn sich alle Größen ändern.

Es ist nicht reine Mathematik: Es ist die Frage, ob der Raum mehr wird duch die Masse. Das ist essenziell. Kann die Masse die Quelle des Raums sein?

Die Raumkrümmung, so wie sie per ART berechnet wird, produziert Volumen. Quasi aus dem Nichts. Und weil ihr keinen Anker habt kann man das nicht sehen. Wir brauchen einen Anker.

Der Radius ist ja verändert. Ich möchte mir gerade das Volumen innerhalb einer konstanten Oberfläche anschauen, weil die Oberfläche sich weniger ändert als das Volumen. Damit kann ich mir anschauen, wie sich Raum und Masse zueinander verhalten: Masse als Quelle des Raums.

Diese Frage ist essenziell. Wenn die Masse die Quelle des Raums ist/wäre, dann könnte man andere Formeln aufstellen für den metrischen Tensor, die nicht im Unendlichen bei 1 (ungekrümmter Raum), sondern im Unendlichen bei 0 (nicht vorhandener Raum) enden. Dann gäbe es eine Raumkrümmung am Rande der Galaxien, die wir bisher (weil wir davon ausgehen, alles geht in die "Vakuumlösungen" über) nicht gesehen haben. Und diese wäre verantwortlich für den Effekt der dunklen Materie.

[Ich]

Zitat von Ich

der "echte Radius" eta.

Sorry, R*eta ist der echte Radius, nicht eta.

Zitat von Mea

Der Radius ist ja verändert. Ich möchte mir gerade das Volumen innerhalb einer konstanten Oberfläche anschauen, weil die Oberfläche sich weniger ändert als das Volumen.

Steht nicht geschrieben "Ihr habt keinen Anker"?

Du kannst nicht entscheiden, ob der Radius geändert ist oder die Oberfläche. Damit auch nicht, ob der Raum mehr geworden ist oder weniger. Das einzig sichere ist, dass sich ihr Verhältnis zueinander geändert hat.

[Mea]

Doch, natürlich hat sich der Radius mehr geändert als die Oberfläche. Ich gebe Masse ins Zentrum der Kugel. Dabei anzunehmen, draußen, auf der Oberfläche, wäre die Veränderung größer als innen widerspricht doch allem, was wir wissen über Ursache und Wirkung.

Achso, Du willst vielleicht sagen, dass der Raum praktisch nach innen gezogen wird durch die Masse? Also nicht Masse ist Quelle des Raums, sondern verzerrt den Raum, so dass er innen komprimierter ist und außen dann weniger und die "Menge des Raums" bleibt gleich???

[TomS]

Zitat von Mea

Doch, natürlich hat sich der Radius mehr geändert als die Oberfläche.

Es gibt nichts, was darauf hindeutet, dass dies bei einem realen Prozess so sein müsste. Wir haben bisher keinen solchen betrachtet, sondern lediglich verschiedene statische Zustände verglichen und dabei künstlich eine Größe festgehalten.

In der Realität müsste man z.B. einem porösen, schwammartigem Material Wasser hinzufügen und beobachten, ob es sich „nach außen“ aufbläht, in dem es entweder eine sehr feste dünner Oberflächenhaut zerreißt oder nicht; ersteres würde bedeuten, dass die Oberfläche zunimmt, letzteres, dass sie konstant bleibt. Eine ähnliche Messung könnte man mittels eines sehr festen Stabes oder Seiles, das durch den Körper gespannt wird, für den Radius durchführen.

Wir berechnen dies jedoch nicht mal. Wir haben - rein mathematisch - einen gedachten Körper mit Ruhemasse, gravitativer Masse, Dichte, Radius, Oberfläche und Volumen - und einen zweiten Körper, in dem alle diese Größen andere Werte haben. Was sagt uns das? Erst mal nichts. Und picken wir uns eine Größe heraus und halten sie fest (die Oberfläche). Warum diese? Warum nicht den Radius? Was wäre denn ein realer Fall - s.o.? Darüberhinaus habe ich bei meiner Rechnung implizit eine weitere Größe konstant gehalten; warum darf ich das, wenn sich doch Masse und Volumen ändern?

Zum letzten Punkt: Nehmen wir an, ich gebe Wasser in ein festes Volumen, bis dieses aufgefüllt ist. Dann gilt immer Masse = Volumen * Dichte, wobei die Dichte sicher konstant ist (weil es sich um Wasser = eine Flüssigkeit konstanter Dichte handelt). Nehmen wir nun an, wir führen das selbe Experiment mit einem Gas durch. Das Gas füllt das Volumen - egal welcher Größe - immer aus, egal wieviel Gas ich zugebe. In diesem Fall gilt ebenfalls Masse = Volumen * Dichte, jedoch ist die Dichte des Gases variabel.

All dies wird noch dadurch verkompliziert, dass sich in unserer Betrachtung die Geometrie der Raumzeit selbst ändern darf.

Zusammenfassend: ohne dass wir einen realen Prozess beschreiben und explizit messbare Größen identifizieren, hat Ich absolut recht.

Zitat von Mea

Doch, natürlich hat sich der Radius mehr geändert als die Oberfläche.

Nein. Wir haben die Oberfläche künstlich festgehalten, wir haben keinen Vorgang betrachtet.


@Ich - eine Idee wäre, einen realen Himmelskörper der Masse M mit bekannter relativistischer Zustandsgleichung zu betrachten, in den hinein Schalen drucklosen Staubs bekannter Masse dm fallen - a la Oppenheimer-Snyder.

[Ich]

Zitat von Mea

Achso, Du willst vielleicht sagen, dass der Raum praktisch nach innen gezogen wird durch die Masse? Also nicht Masse ist Quelle des Raums, sondern verzerrt den Raum, so dass er innen komprimierter ist und außen dann weniger und die "Menge des Raums" bleibt gleich???

Nein, das will ich nicht sagen. Komprimierten und verdünnten Raum gibt es nicht in der ART.

Es gibt Raumkrümmung, und die andert das Verhältnis von Radius zu Umfang.

Zitat von TomS

@Ich - eine Idee wäre, einen realen Himmelskörper der Masse M mit bekannter relativistischer Zustandsgleichung zu betrachten, in den hinein Schalen drucklosen Staubs bekannter Masse dm fallen - a la Oppenheimer-Snyder.

Ich wüsste nicht, wie man eine "Raumvermehrung" auch nur eindeutig definieren wollte. Da sehe ich auch bei Lemaître-Tolman oder Oppenheitmer-Snyder keinen Ansatz.
In kugelsymmetrischen Situationen ist die über den Umfang definierte r-Koordinate sicherlich besonders wichtig, aber letztendlich doch nur eine Koordinate.
Was im Zusammenhang vielleicht interessant ist: Man kann des Volumen einer Wolke zueinander ruhender Testteilchen über die Zeit verfolgen. Weyl-Krümmung lässt das Volumen gleich, Ricci-Krümmung ändert es. Aber das ist auch nicht anders in Newtonscher Mechanik, das kann man nicht als Raumzuwachs deuten. Zumal eine positive Massendichte auch einen Kollaps auslöst, keine Expansion.

[Timm]

Zitat von Ich

Ich wüsste nicht, wie man eine "Raumvermehrung" auch nur eindeutig definieren wollte. Da sehe ich auch bei Lemaître-Tolman oder Oppenheitmer-Snyder keinen Ansatz.

Im expandierenden FRW-Universum ist es nicht anders. Wir hatten dazu vor längerer Zeit einen Thread, an dem damals noch Eugen beteiligt war. Fazit, es gibt kein Gedankenexperiment, mit dem man Raumvermehrung nachweisen könnte. Und das gilt für das Schwarzschild-Universum sicherlich ebenso.

Man kann das durch 4 inertiale Punkte gegebene Volumen betrachten, aber ein Wachsen dieses Volumens nicht mit einer Raumvermehrung begründen.