Mehr Raum durch Masse?

[Mea]

Nehmen wir eine völlig leere Kugel im Vakuum des Universums. Diese Kugel hat ein gewisses Volumen.
Jetzt geben wir eine Masse in den Mittelpunkt der Kugel. Der Raum wird "gekrümmt" durch die Masse, insofern, dass die Kugel nun ein größeres Volumen aufweist als ohne die Masse.
Trivial und richtig. Oder?

[TomS]

Zitat von Mea

Nehmen wir eine völlig leere Kugel im Vakuum des Universums. Diese Kugel hat ein gewisses Volumen.
Jetzt geben wir eine Masse in den Mittelpunkt der Kugel. Der Raum wird "gekrümmt" durch die Masse, insofern, dass die Kugel nun ein größeres Volumen aufweist als ohne die Masse.
Trivial und richtig. Oder?

Die Frage ist sinnlos, weil du nicht einfach einen festen Radius im leeren Raum definieren kannst, anschließend diesen Raum, modifizieren und zuletzt wieder den selben Radius verwenden kannst.

Der "Radius" ist eine Radialkoordinate, die für sich alleine bedeutungslos ist.

Eine physikalisch sinnvolle Fragestellung wäre eine massegefüllte Kugel mit festem Umfang oder fester Oberfläche, innerhalb derer du die Massendichte variierst. Dann kannst du nach den Voluma fragen.

[Mea]

Zitat von TomS

Die Frage ist sinnlos, weil du nicht einfach einen festen Radius im leeren Raum definieren kannst, anschließend diesen Raum, modifizieren und zuletzt wieder den selben Radius verwenden kannst.

OK, I see: Der Radius wird ja grade verändert. Er wird länger, wenn sich mehr Masse im Innern befindet.

Eine physikalisch sinnvolle Fragestellung wäre eine massegefüllte Kugel mit festem Umfang oder fester Oberfläche, innerhalb derer du die Massendichte variierst. Dann kannst du nach den Voluma fragen.

OK. Also gut, dann versuch ich das mal: Eine leere Kugel mit Oberfläche 4pi r^2 und eine massegefüllte Kugel mit Oberfläche 4pi r^2. Da die Oberfläche bei beiden Kugeln gleich groß sein soll, muss r auch gleich groß sein. Das Problem: Mit Masse ist r schon erreicht, bevor die Kugel so groß ist wie sie ohne Masse wäre, wenn man von außen schaut.

Das bedeutet, wenn ich von außen auf zwei Kugeln mit der gleichen Oberfläche, eine leer, die andere voller Masse, schaue, dann sieht die Kugel mit Masse kleiner aus als die Kugel ohne Masse. Weil die Kugel mit Masse eine höhere Volumendichte hat.

[TomS]

Nee, so einfach ist das nicht. Wenn ich Zeit habe, rechne ich das mal durch und versuche eine einfache Zusammenfassung.

[TomS]

Man muss sich überlegen, welche Größen man verändert und wie man vergleicht.


Zunächst benötigt man eine invariante, messbare Größe, die im Folgenden festgehalten wird. Dies ist im vorliegenden Fall die Fläche A der Kugel. Für diese gilt A = 4πr², d.h. damit bleibt auch der Wert der Radialkoordinate r = r₀ für die Oberfläche fest.

Dann betrachtet man eine variable Masse. Dies ist zunächst nicht das üblicherweise verwendete M (die totale oder gravitative Masse, die in die Stärke der Gravitation eingeht) sondern die invariante Masse M₀ (proper mass, eq. 24.78). Man erhält die invariante Masse, wenn man Stück für Stück z.B. einzelne Atome jeweils fester, bekannter Ruhenasse hinzufügt; praktisch kann man auch einfach die Massendichte ρ erhöhen. In die gravitative Masse M gehen dagegen noch die innere sowie die potentielle Energie ein.

Zuletzt betrachtet man das invariante Volumen V für festgehaltene Fläche A. Man betrachtet nicht 4π/3 r³. Die Formel für V folgt aus eq. 24.78, wenn man im Integral ρ = 1 setzt.

Nun kann man diskutieren, wie sich V als Funktion der Massendichte ρ bzw. der invarianten Masse M₀ bei festgehaltenem A bzw. r verhält.

Die Gleichungen stammen aus http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf#page517


Man kann die Gleichungen nun so umschreiben, dass man das Volumen V als Funktion V(M₀) der invarianten Masse M₀ auffasst. Dann erhält man für festes A bzw. festes r₀ sowie ortsunabhängige Dichte ρ

dV/dM₀ = 1/ρ > 0

d.h. das invarianten Volumen V(M₀) wächst tatsächlich mit der invarianten Masse M₀ an.

[Mea]

Sehr cool, vielen Dank! Schaue mir grade die Formeln durch.

Und wenn wir das jetzt wissen, dürfen wir dann sagen/interpretieren: "Masse ist die Quelle des Raums." ???????

Und dann, Schritt zwei: Was wäre, wenn wir (Stück für Stück) alle Masse aus dem Universum entfernen würden, bliebe dann noch Raum übrig? Wahrscheinlich weiß darauf niemand die Antwort. Aber was würde das bedeuten, wenn dann kein Raum mehr übrig bliebe? Dass die Masse den Raum erzeugt. Und, dass die Annahme, die zur Aufstellung der Schwarzschild-Metrik führt, nämlich dass der leere Raum vorhanden und ungekrümmt ist falsch wäre. Dann müsste man andere Gleichungen für den metrischen Tensor einer Masse im Mittelpunkt aufstellen, der metrischen Tensor würde nie in den des ungekrümmten geraden Raums übergehen, sondern der Raum würde nach außen hin verschwinden.

[TomS]

Es handelt sich nicht um Masse alleine, auch andere Energieformen spielen eine Rolle.

Darüberhinaus gibt es sogenannte Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen, aus denen trotz absolut leerem Raum die Existenz desselben folgt. Demzufolge ist Masse nicht “Quelle des Raumes”, jedoch der Krümmung des Raumes.

Wir können das natürlich nicht experimentell prüfen.

[soon]

Zitat von Mea

Das bedeutet, wenn ich von außen auf zwei Kugeln mit der gleichen Oberfläche, eine leer, die andere voller Masse, schaue, dann sieht die Kugel mit Masse kleiner aus als die Kugel ohne Masse. Weil die Kugel mit Masse eine höhere Volumendichte hat.

Interessant ist, dass die Beschreibung einer mathematischen, gekrümmten Ebene ohne die Betrachtung 'von außen' einfacher ist.

Das wird hier sehr gut beschrieben: https://fragen-raetsel-mysterien.ch/wie-kann-ein-raum-gekruemmt-sein/

... Betrachten wir z. B. einen Strumpf. Ein Strumpf ist ein zweidimensionaler gekrümmter Raum. Ich kann den Strumpf im dreidimensionalen Raum beschreiben. Dazu würde ich zu jedem Punkt im dreidimensionalen Raum angeben, ob da Strumpf ist oder nicht.
Wie könnte ich den Strumpf beschreiben, ohne den Aussenraum zu benützen? ...
...
Ein Strumpf kann zerknittert in einer Wäschetrommel liegen, er kann an einer Wäscheleine hängen oder er kann sorgfältig zusammengefaltet in einem Schrank sein. Im dreidimensionalen Raum würde man denselben Strumpf auf unendlich viele so völlig verschiedene Arten beschreiben, dass untereinander überhaupt keine Ähnlichkeit mehr bestehen würde. Wenn ich den Strumpf aber zweidimensional beschreibe, wie oben das Drahtgitter, dann bleibt die Beschreibung immer gleich, egal ob der Strumpf zerknittert ist oder nicht. ...

[TomS]

Zitat von TomS

Man kann die Gleichungen nun so umschreiben, dass man das Volumen V als Funktion V(M₀) der invarianten Masse M₀ auffasst. Dann erhält man für festes A bzw. festes r₀ sowie ortsunabhängige Dichte ρ

dV/dM₀ = 1/ρ > 0

d.h. das invarianten Volumen V(M₀) wächst tatsächlich mit der invarianten Masse M₀ an.

Obwohl die Rechnung sicher richtig ist, muss ich nochmal nachdenken, ob meine Interpretation sinnvoll ist.

[Timm]

Zitat von Mea

Und dann, Schritt zwei: Was wäre, wenn wir (Stück für Stück) alle Masse aus dem Universum entfernen würden, bliebe dann noch Raum übrig? Wahrscheinlich weiß darauf niemand die Antwort.

Doch, die ist bekannt.

Der Raum bliebe übrig. Wenn die Massendichte gegen Null geht (und keine weiteren Energiedichten, Strahlung, Vakuumenergie ... vorhanden sind) wird aus gekrümmter Raumzeit flache Minkowski Raumzeit.