Zwillingsparadoxon und gravitative Zeitdilatation

[SCR]

Hallo Marco Polo, Hallo EMI,
vielen Dank für Eure Hinweise. Ich habe sie dankend aufgenommen, da sieht das Ganze schon ein wenig anders aus:

Zitat von Marco Polo

wo hast du die Formel her? [...] Ich kenne sie ein wenig anders. [...] Abgesehen davon gilt die Formel eher für eine Raumschiffeigenzeit, die mit der verstrichenen Erdzeit ins Verhältnis gesetzt wird. [...] Ich glaube nicht, dass man mit der Formel die gravitative Zeitdilatation berechnen kann.

Hatte ich das nicht schon geschrieben? Ich werde wohl alt:
- Ja, mit unterstelltem v0 = 0.
- Da ein Punkt (bzw. eine Entfernung zu diesem) im idealisierten Raum mit nur einer Masse an dem g=0 gilt anzugeben nicht möglich ist und deshalb die Formel für die ZD(Grav) ausscheidet.
- Und weil doch nach Äquivalenzprinzip das Gleiche rauskommen müsste: Es ist doch schließlich egal ob ich beschleunige oder mich in einem G-Feld befinde - Oder nicht?

Ich bitte um Fortsetzung des Verisses!

P.S.: Offenkundiger Bull**** -> Antworten -> Sonderbar.

[Eyk van Bommel]

HI SCR,

1 Jahr mit g=9,81 für uns = 3 Jahre g=0

[SCR]

Hallo EVB,

Ja, die Tabelle wäre meines Erachtens so zu lesen (Sofern wie gesagt der dahinterliegende Ansatz und die Berechnung stimmen sollte):
Während "bei uns auf der Erde" ein Jahr vergangen ist waren es "im fernen Weltraum" mit g=0 etwa drei Jahre.

[Marco Polo]

Zitat von SCR

da sieht das Ganze schon ein wenig anders aus:




Es ist doch schließlich egal ob ich beschleunige oder mich in einem G-Feld befinde - Oder nicht?

Ich bitte um Fortsetzung des Verisses!

Hi SCR,

ich komme auf andere Werte. Allerdings mit dieser Formel:

tau=c/alpha * ln(alpha*t/c + sqrt(1+(alpha*t/c)²))

Für t=1000 Jahre komme ich für tau auf 7,28 Jahre.

Auf dein Beispiel übertragen wäre tau die Erdzeit und t die grav0-Zeit, also genau anders herum. Alpha wäre g. Das beschleunigte System ist dasjenige, bei dem weniger Zeit vergeht. Bei dir ist aber das grav0-System dasjenige, bei dem weniger Zeit vergeht.

Wenn du also Beschleunigung und Aufenthalt im G-Feld gleichsetzt, dann muss deine Tabelle genau umgekehrt sein.

Sei es wie es sei. Du kannst die Formel aber nicht auf dein Beispiel übertragen.

Die Formel gilt, wie ich bereits erwähnte, für ein Raumschiff dass sich mit der konstanten Eigenbeschleunigung alpha von der Erde entfernt. Tau ist dann die Raumschiffeigenzeit, die sehr viel langsamer wächst als die Erdzeit t. Und jetzt kommts: Als Funktion der Erdzeit t.

Während also die Erdzeit (bei der jetzt die grav. Zeitdilatation nicht berücksichtigt wird) ins Astronomische steigt, bleibt die Raumschiffeigenzeit tau davon völlig unbeindruckt und wächst nur moderat.

Auf dein Beispiel umgemünzt (du musst allerdings noch die Werte vertauschen) würde das bedeuten, dass die Erdzeit immer langsamer vergehen würde, je länger man diese als Aussenstehender verfolgt.

Warum sollte das so sein? Dafür müsste die Erdmasse ja ständig zunehmen um diesen Effekt zu verursachen.

Gruss, Marco Polo

[SCR]

Hallo Marco Polo,

Zitat von Marco Polo

ich komme auf andere Werte. Allerdings mit dieser Formel:
tau=c/alpha * ln(alpha*t/c + sqrt(1+(alpha*t/c)²))
Für t=1000 Jahre komme ich für tau auf 7,28 Jahre.

Ich nahm folgende Basisformel für eine "Bewegung mit konstanter Beschleunigung" aus wikipedia (Artikel Zeitdilatation):


Wieso sieht Deine Formel "anders aus"?

Zur näheren Erläuterung: Ich habe v0=0 gesetzt im Bewußtsein "Schwupps - jetzt ist die Erdmasse da - Jetzt geht's los mit der Beschleunigung mit 9.81 m/s². Was würde das also für einen entsprechenden Reisenden bedeuten?" -> Das sind keine realen Werte sondern sollen dazu dienen, ein zahlenmäßiges Gefühl für die ZD(Grav) zu vermitteln.

Und ob ich vor diesem Hintergrund meine Tabelle "verkehrt herum" aufgebaut habe bzw. lese - Muß ich mir noch ansehen: Danke für den Hinweis.

Warum sollte das so sein? Dafür müsste die Erdmasse ja ständig zunehmen um diesen Effekt zu verursachen.

Meines Erachtens nach Nein: Es ist einfach nur einmal das "Äquivalenzprinzip" grob überschlagen (s.o.).

Muß jetzt aber erst einmal los - Bis denn!

[Marco Polo]

Zitat von SCR

Hallo Marco Polo,

Ich nahm folgende Basisformel für eine "Bewegung mit konstanter Beschleunigung" aus wikipedia (Artikel Zeitdilatation):

Wieso sieht Deine Formel "anders aus"?
Noch zur näheren Erläuterung: Ich habe v0=0 gesetzt im Bewußtsein "Schwupps - jetzt ist die Erdmasse da - Jetzt geht's los mit der Beschleunigung mit 9.81 m/s². Was würde das also für einen entsprechenden Reisenden bedeuten?" -> Das sind keine realen Werte sondern sollen dazu dienen, ein zahlenmäßiges Gefühl zu vermitteln.

Meines Erachtens nach Nein: Es ist einfach nur einmal das "Äquivalenzprinzip" grob überschlagen (s.o.).

Hi SCR,

keine Ahnung warum die Formeln sich unterscheiden. Ich denke mal, weil hier mit v0 gerechnet wird. Eine Umformung wird wohl ergeben, dass beide Formeln äquivalent sind. Ich bin zu faul das jetzt zu prüfen. Aber es geht ja hier nicht um die Formel, sondern um deinen Denkfehler.

Du hast zudem bei deiner Berechnung tau mit t vertauscht. Das tau beschreibt die Eigenzeit im beschleunigten System, also müsstest du, wenn du Beschleunigung und Gravitation gleichsetzt, tau als Erdzeit einsetzen.

Da ist die Erde mit der Erdbeschleunigung g=9,81 m/s² und die Position des Beobachters der Erde mit g=0.

Das Gravitationspotential der Erde bleibt aber aus Sicht des Beobachters stets gleich.

Nicht so bei einer beschleunigten Bewegung wie beim Raumschiffbeispiel. Da bleibt die Eigenbeschleunigung des Raumschiffes zwar stets konstant, während die Beschleunigung des Raumschiffes aus Erdsicht (Beobachter) aber gegen Null strebt.

Das muss ja auch so sein, weil sonst Überlichtgeschwindigkeiten möglich wären.

Bei einer Beschleunigung nimmt v ja ständig zu. Das Raumschiff nähert sich immer mehr c. Dadurch wird mit wachsender Zeit die Zeitdilatation immer heftiger. Es findet also die ganze Zeit eine Veränderung statt.

Bei deinem Beispiel gibts aber keine Veränderung. Die Differenz Grav-Potential Erde und Grav-0 bleibt doch ständig gleich.

Die Äquivalenz Gravitation/Beschleunigung gilt eben nur lokal bzw. nur für ein homogenes Gravitationsfeld, aber keineswegs für ein inhomogenes.

Bei einem homogenen Gravitationsfeld gibts aber keine Raumkrümmung, sondern ledigleich eine Zeitkrümmung.

Deswegen kann man beides eben nicht vergleichen.

Schau dir das Aufzugsbeispiel mal näher an. Dann wirst du schnell feststellen, dass dieses nur lokal gilt.

In einem ausgedehnten Aufzug würden sich zwei Bälle, die der Aufzugsinsasse fallen lässt niemals parallel bewegen. Sie würden aufeinander zubeschleunigt, bis sie sich im Erdzentrum treffen.

Der Aufzugsfahrer kann also sehrwohl zwischen Gravitation und Beschleunigung unterscheiden. Denkt man sich den Aufzug aber lediglich lokal (also ohne nennenswerte Ausdehnung), dann kommt man dem Äquivalenzprinip beliebig nahe.

Man muss dazu den Aufzugs-Raumbereich lediglich immer mehr eingrenzen. Wenn man dann auch noch den Beobachtungszeitraum stark einschränkt, dann ist es legitim, von einer Äquivalenz zwischen Gravitation und Beschleunigung zu sprechen. Und genau so hat es Einstein gemeint, als er von einer Äquivalenz zwischen Gravitation und Beschleunigung gesprochen hat.

Der Beobachtungszeitraum in deinem Beispiel ist aber alles Andere als eingeschränkt, gelle?

Gruss, Marco Polo

[EMI]

Zitat von SCR

Zwilling 1 (Z1) besteigt weit oben im G-Feld seine Kiste und macht den Deckel zu (sagen wir g "nahezu" 0). Zwilling 2 (Z2) macht das gleiche auf der Erde.
- Uhren in einem G-Feld gehen absolut immer langsamer.

Hallo SCR,

wir haben also ein Universum mit Zwilling 2 auf der Erde und Zwilling 1 in einer Kiste die sich um die Erde dreht, mehr nicht.
Um deine Tabelle zu füllen, musst Du die Sache mit verschiedenen Entfernungen der Kiste mit Zwilling 1 zur Erde berechnen.

Kiste mit Zwilling 1 der Masse m bewegt sich mit konstanter v << c auf einer Kreisbahn mit dem Radius r um die Erde der Masse M mit Zwilling 2.
Auf Grund der ZD der SRT ist die Frequenz fs der Uhr in der Kiste geringer als die fo der Uhr auf der Erde.
Dann ist noch die Frequenzänderung Δfg durch das grav.Feld gemäß der ART zu berücksichtigen.
Die gesamte Frequenzänderung ist Δf=Δfs+Δfg

Aus ts'=to/√(1-v²/c²) folgt 1/ts'=fs'=fo√(1-v²/c²) ~ fo(1-v²/2c²) also:

[1] Δfs/fo = -v²/2c²

Setzen wir Zentripelkraft und Grav.Kraft gleich folgt

[2] v² = gM/r mit g=grav.Konstante (Newton)

mit r=R+H , Erdradius R und Bahnhöhe H und G= gM/R² (Erdbeschleunigung G) findet man für [2]:

[3] v² = GR²/r und für [1]:

[4] Δfs/fo = -GR²/2c²r

Befindet sich die Kiste mit Zwilling 1 auf einem höheren grav.Potential Δφ als die Vergleichsuhr auf der Erde, so ergibt sich eine höhere Frequenz:

[5] Δfg/fo = Δφ/c²

Für Δφ findet man:

Δφ = ∫gM/r² dr = (gM/R)*(1-(R/r))
Δφ = GR(1-(R/r)) und damit für [5]:

[6] Δfg/fo = (GR/c²)*(1-(R/r))

Aus der Summe von [4] und [6] erhalten wir die gesamte Frequenzänderung einer Uhr in der Kiste mit Zwilling 1:

[7] Δf/fo = (GR/c²)*(1-(3R/2r))

Wir sehen mit [7], das sich bei r=3R/2 ~ 9600km, also bei H~3200km keine Frequenzänderungen und damit kein Zeitunterschied zur Erduhr ergibt.
Weiter sehen wir wenn r > 3R/2 ist dann überwiegt der grav.Effekt (ART) -Zeit vergeht in der Kiste schneller-
Bei r < 3R/2 überwiegt die ZD gemäß der SRT. -Zeit vergeht in der Kiste langsamer-

So nun verschiedene r in [7] einsetzen (rmax ~ 14 Mrd Lichtjahre) und Du kannst deine Tabelle füllen.

Gruß EMI

[Marco Polo]

Zitat von EMI

wir haben also ein Universum mit Zwilling 2 auf der Erde und Zwilling 1 in einer Kiste die sich um die Erde dreht, mehr nicht.

Tach EMI,

von einer Satellitenbahn war glaube ich nicht die Rede. Eher von einer sehr weit entfernten Position des Beobachters mit g annähernd=0.

Du bist ja für diese Art von Berechnungen der Experte hier. Es wäre schön, wenn du dein ganzes Rechenbeispiel mal entsprechend anpassen könntest.

Grüsse, Marco Polo

[JoAx]

Hallo,

Zitat von Marco Polo

Bei einer Beschleunigung nimmt v ja ständig zu. Das Raumschiff nähert sich immer mehr c. Dadurch wird mit wachsender Zeit die Zeitdilatation immer heftiger. Es findet also die ganze Zeit eine Veränderung statt.

das ist das Sichwort (von mir unterstrichen). Die ausgerechnete Zeitdilation stammt nicht von der Beschleunigung, sondern von immer grösser werdender Geschwindigkeit. Um den Einfluss der Beschleunigung selbst zu testen, muss man das Raumschiff auf eine Kreisbahn zwingen. Dabei würde die lineare Geschwindigkeit konstant bleiben und man könnte diesen Einfluss rausrechnen. Das wäre mein Ansatz.


Gruss, Johann

[EMI]

Zitat von Marco Polo

von einer Satellitenbahn war glaube ich nicht die Rede. Eher von einer sehr weit entfernten Position des Beobachters mit g annähernd=0.

Tach Marco,

schon klar.
Wenn die Kiste sich aber nicht um die Erde dreht stürzt sie auf die Erde.
Um den Abstand r konstant zu halten muss sich die Kiste um die Erde drehen.
Im übrigen dreht sich die Kiste bei riesigen r von der Erde so gut wie nicht mehr.
Ich denke schon das die obige Berechnung daher die Zutreffende ist.

Gruß EMI