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Quantenmechanik, Relativitätstheorie und der ganze Rest. Wenn Sie Themen diskutieren wollen, die mehr als Schulkenntnisse voraussetzen, sind Sie hier richtig. Keine Angst, ein Physikstudium ist nicht Voraussetzung, aber man sollte sich schon eingehender mit Physik beschäftigt haben.

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  #1  
Alt 21.01.20, 18:37
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Ich versuche mir gerade die 4-Dimensionale Raumzeit vorzustellen und habe eine allgemeine Frage dazu: Nutzt man in der Relativitätstheorie nur die Tatsache, dass in einem n-Vektorraum es stets n linear unabhängige Basisvektoren gibt und sagt sozusagen: "Die Zeit ist linear unabhängig zu den Raumkoordinaten" oder wird die Zeitachse auch trigometrisch mit den Raum verknüpft, also man sagt sozusagen: "Die Zeit steht senkrecht auf dem Raum".

Ich versuche nämlich gerade die Vektorräume zu verstehen und mach das, indem ich mir mit meinen mathematischen Kenntnissen einen Vierdimensionalen Raum anschaulich erkläre.
Dazu nehme ich den Vierquadrate-Satz: https://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Quadrate-Satz
und den Vektorraum: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektor..._eines_Vektors
Ein Punkt, der auf allen vier Achsen (x,y,z,w) nur 1 vom Koordinaten Ursprung entfernt ist , ist auch die Wurzel der Summe aller 1² vom Ursprung entfernt.
Anmerkung: Ich verwende einen grösseren Raum als den realen dreidimensionalen Raum. In diesem gilt:

1. Dimension auf 2. Dimension: Im zweidimensinalen Fall steht die andere Achse senkrecht auf dem 0-Punkt. Zwei Punkte, die jeweils 1 vom Ursprung auf ihrer Achse entfernt liegen, haben im zweidimensionalen Fall einen Abstand von Wurzel (2) = Wurzel (1²+1²)
2. Dimension auf 3. Dimension: Im dreidimensionalen Fall stehen alle drei Achsen senkrecht aufeinander. Jeweils zwei Punkte, die jeweils 1 vom Ursprung auf ihrer Achse entfernt liegen, haben einen Abstand von Wurzel 2 untereinander.
3. Dimension auf 4. Dimension: Nach den Vektorregeln ist ein Punkt A auf der Achse w, der 1 von 0 entfernt liegt, jeweils Wurzel 2 von allen anderen Punkten entfernt. Desweiteren läge er für jeweils zwei Punkte bereits auf einer realen 3. Achse im 3-dimensionalen Raum, was soviel heisst, dass er bereits 3 Möglichkeiten darin hat. Damit kann dieser Punkt nur imaginär in der vierten Dimension existieren, schliesslich widersprechen 3 notwendige Möglichkeiten in der Dimension tiefer der Tatsache, dass es am Ende nur ein Punkt sein darf.

Nun definiere ich den Punkt W im kleinesten Koordinatensystem, in dem alle Achsen linear unabhängig sind, also W = (x,y,z,w) = (1,1,1,1)
Die Entfernung des Punktes W vom Ursprung ist d = Wurzel (1²+1²+1²+1²) = Wurzel (4) = 2.
Dieser Punkt W liegt also in jedem konstruierbaren 3-Dimensionalen Fall d =2 vom Ursprung entfernt, somit liegt er ("theoretisch") darin auf einer Sphäre (Kugeloberfläche) mit Abstand 2 von Ursprung.

Okay, jetzt wirds schwer. Wieviel Möglichkeiten für jeden Punkt im 4-dimensionalen Fall gibt es dann eine Dimension tiefer? Also wieviele 3-dimensionalen Koordinatensysteme bräuchte ich, um einen Punkt P = (x,y,z,w) zu beschreiben, bei dem jeweils der Reale Abstand zum jeweiligen Koordinatenurspung in den Reellen Zahlen berücksichtigt wird? (ich glaube 4)

Nun entscheide ich mich für ein absolutes 2. dim-Koordinatensystem, in dem die 4.-Koordinate (w) absolut ist und als neue x-Koordinate definiert wird und die y-Koordinte als der Abstand y= Wurzel (x²+y²+z²) und bestimme damit die Richtung des neuen Vektors aus der Perspektive der letzten Achse w.
Also mit anderen Worten: Ich bestimme den Winkel zu einem imaginären Koordinatenursprung (einer 4-Dimensionalen "0") von einer w-Achse mit einer x-y-z-Achse.
Das dürfte ingesamt nicht den Vektorregeln unserer Mathematik widerprechen, denn alle Achsen stehen weiterhin senkrecht aufeinander und auch der Phytagoras gilt weiterhin. Nur hat man halt drei Koordinatenpunkte (x,y,z) zusammengefasst zu einem Abstand dieser zur 0.

Wenn nun ein Beobachter in der RT im Koordinatenursprung einer vierdimensionalen Raumzeit steht, wird dann ein Ereignis gesehen als ein Punkt, der "theoretisch" raumzeitlich von dem Beobachter durch den Vierquadrate-Satz berechnet werden könnte?
  #2  
Alt 22.01.20, 06:29
Bernhard Bernhard ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Nutzt man in der Relativitätstheorie nur die Tatsache, dass in einem n-Vektorraum es stets n linear unabhängige Basisvektoren gibt und sagt sozusagen: "Die Zeit ist linear unabhängig zu den Raumkoordinaten" oder wird die Zeitachse auch trigometrisch mit den Raum verknüpft, also man sagt sozusagen: "Die Zeit steht senkrecht auf dem Raum".
Tatsächlich geht es in der Relativitätstheorie sehr stark um Geometrie.

Die Zeitachse wird dort also nicht nur algebraisch, sondern auch sehr stark geometrisch gedeutet.

In der SRT steht die Zeitachse so gesehen senkrecht auf den verbleibenden Raumachsen. In der ART muss das nicht so sein, kann aber so sein. Welchen Winkel die Zeitachse zu den Raumachsen bildet gibt grundsätzlich immer der metrische Tensor an, der in der ART eine Funktion der Raumzeit-Koordinaten ist.

In der SRT ist der metrische Tensor gleich der Minkowski-Metrik und damit unabhängig von den vier Raumzeit-Koordinaten.
__________________
Freundliche Grüße, B.

Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921
  #3  
Alt 22.01.20, 10:10
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Frage: geht es um die SRT oder die ART?

Falls letzteres, dann enthält das bekannte Konzept von Vektoren diverse Fallstricke und stellt keinen geeigneten Startpunkt dar.

Besser man nähert sich der Raumzeit von einem anderen Startpunkt aus, nämlich dem einer Mannigfaltigkeit; Vektoren kommen dann erst später ins Spiel.
__________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
  #4  
Alt 22.01.20, 14:42
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von Bernhard Beitrag anzeigen
In der SRT steht die Zeitachse so gesehen senkrecht auf den verbleibenden Raumachsen. In der ART muss das nicht so sein, kann aber so sein. Welchen Winkel die Zeitachse zu den Raumachsen bildet gibt grundsätzlich immer der metrische Tensor an, der in der ART eine Funktion der Raumzeit-Koordinaten ist.
Okay, dann versuch ich mal herauszufinden, was es bedeutet, wenn sich der Winkel zwischen Raum und Zeit verändert.
Eine mathematische Funktion bzw. die Weg-Zeit-Koordinatensysteme der klassischen Physik verwenden aber nur die Tatsache der linearen Unabhängigkeit der x und y-Achse eines Koordinatensystems, oder?

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Frage: geht es um die SRT oder die ART?

Falls letzteres, dann enthält das bekannte Konzept von Vektoren diverse Fallstricke und stellt keinen geeigneten Startpunkt dar.

Besser man nähert sich der Raumzeit von einem anderen Startpunkt aus, nämlich dem einer Mannigfaltigkeit; Vektoren kommen dann erst später ins Spiel.
Es ging eigentlich nur allgemein um das Konzept der Raumzeit und die Frage, ob der Winkel zwischen der Zeitachse und den Raumachsen mit berücksichtigt wird.
Aber ich glaube ich hab ein ziemlich falsches Bild von der Raumzeit. Ich dachte es wäre einfach nur ein vierdimensionaler Vektorraum.
Okay, um die Raumzeit, wie sie in der RT verwendet wird, richtig zu verstehen, muss man sich mit Mannigfaltigkeiten auseinandersetzen und das sind meiner Meinung nach ziemlich komplizierte mathematische "Monster"^^
  #5  
Alt 22.01.20, 20:17
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Es ging eigentlich nur allgemein um ... die Frage, ob der Winkel zwischen der Zeitachse und den Raumachsen mit berücksichtigt wird.
Wenn du von Koordinatenachsen ausgehst, ist das reine Definitionssache, da du ein (nahezu) beliebiges Koordinatensystem einführen kannst.

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Aber ich glaube ich hab ein ziemlich falsches Bild von der Raumzeit. Ich dachte es wäre einfach nur ein vierdimensionaler Vektorraum.
Nicht in der ART.

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Okay, um die Raumzeit, wie sie in der RT verwendet wird, richtig zu verstehen, muss man sich mit Mannigfaltigkeiten auseinandersetzen
Stell dir eine zweidimensionale, gekrümmte Fläche vor; vergiss dabei zunächst mal die Zeitrichtung.

Nun kannst du auf dieser Fläche = auf der Mannigfaltigkeit M beliebige Koordinatensysteme einführen; dabei können die Koordinatenachsen und Winkel lokal beliebig gewählt werden, sie sollten lediglich lokal stetig ändern und die Winkel sollten nicht Null sein; andernfalls liegen Koordinatensingularitäten vor.

Die Fläche = die Mannigfaltigkeit M und ihre geometrischen Eigenschaften sind jedoch unabhängig davon, ob und welche Koordinatensysteme du einführst.

Wenn du in einem Punkt P der Mannigfaltigkeit M eine Tangentialebene definierst, dann entspricht diese lokal in P einen Tangentialvektorraum TM(P) - und in diesem Raum „leben“ deine Koordinatensysteme.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Tangentialraum

Diese Tangentialebene ist offenbar flach, d.h. die Koordinatensysteme auf der Tangentialebene können nicht direkt etwas mit der geometrischen Struktur und insbs. der Krümmung der Fläche zu tun haben.

Um die Krümmung der Mannigfaltigkeit zu untersuchen, musst du die Tangentialvektorräume TM(P) in allen Punkten P von M betrachten; die Krümmung in P kann berechnet werden, indem man die Änderung der Basisvektoren zwischen benachbarten Tangentialvektorräume untersucht.

Die Gesamtheit aller Tangentialvektorräume TM(P) über M definiert das sogenannte Tangentialbündel TM.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Tangentialb%C3%BCndel

Damit ist hoffentlich auch klar, wieso der Begriff des Vektorraumes ein eher ungeeigneter Ausgangspunkt für die Raumzeit ist; er ist nicht fundamental.
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Geändert von TomS (22.01.20 um 20:21 Uhr)
  #6  
Alt 22.01.20, 22:30
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Bevor ich mir das durchlese:
Ich erzähl dir mal jetzt wie ich an die Sache rangehe:

Ich wollte wissen, warum der Reale Raum dreidimensional ist. Deshalb sah ich mir die Defintion der Vektorräume an.
Ich fand einen möglichen Grund dafür, dass die Metrik der Reellen Zahlen einen Vierdimensionalen Raum nicht "messen" können. Denn nach der Logik in der Definition der Vektoren gilt: Wenn ein Punkt (immer 1 vom 0 entfernt) auf der vierten Achse zu zwei anderen Punkten auf deren Achsen den gleichen Abstand hat, dann genau da, wo der Punkt auf der 3. Achse ist. D.h. die vierte Achse läge auf der 3. Achse und wäre dann nicht mehr linear unabhängig zur 3. Achse.
Dann fand ich heraus, dass die Definiton der Vektorräume viel mächtiger ist, als ich vermutet hatte. Denn jeder Punkt ist zu allen anderen Punkten definiert, egal wie hoch die Dimension ist. Doch als Ruhende Punkte in einem Raum ist es als Ganzes nicht mehr darstellbar, denn definiert man eine Strecke zu zwei Punkten mit einer Reellen Zahl, würde eine andere Reelle Zahl nicht mehr einen anderen Punkt erreichen, der den gleichen Abstand hat. Ausser man macht einen Trick und fasst Achsen zu einer Achse zusammen und definiert wieder einen Koordinaten 0-Punkt, der einen Abstand zu allen Punkten in der Form hat, dass er wieder in den Reellen Zahlen darstellbar wird. Und das macht man, indem man sozusagen ein Koordinatensystem zu einem Vektor macht und die Punkte nur noch relativ zum 0-Punkt betachtet und nicht mehr Absolut als eine Position im Raum.
Da ich mir dadurch eine Art Raumzeit vorstellen konnte (als (x,y,z, time) -Achsen, wollte ich wissen, ob das in der Relativitätstheorie verwendet wird und ob es eben von Bedeutung ist, dass die Zeit im rechten Winkel zum Raum sein muss.

Und jetzt versuch ich das genauer zu verstehen... Mich begeistern einfache Dinge, glaub ich...

Also wenn ich einen 6-Dimensionalen Vektorraum habe, dann hätte der Vektor
v1 = (1,1,1,0,0,0)
v2 = (1,0,0,1,1,0)
und alle anderen Vektoren, die aus drei 1en und drei 0en bestehen den gleichen Abstand zur 0. Wenn man nun einen Unendich Dimensionalen Vektorenraum nimmt, gibt es unendlich viele Vektoren mit dem gleichen Abstand. Und dafür muss man nur unendlich viele Achsen durch einen 0-Punkt gehen lassen und sagen, sie würden im Rechten Winkel aufeinander stehen.

Jetzt stell ich mir die Frage, ob die Oktettregel in der Chemie auch ihren Ursprung darin hat (2*4 Quadranten eines Koordinatensystems). Ich bin nämlich grad auf dem Trichter, das Periodensystem der Elemente und seine Regeln als die Geschichte unseres Universum zu betrachten, schlimmer noch, dass darin sogar die Mathematischen Erkenntnisse unseres Schöpfergottes mit eingeflossen sind.. That's my world

Geändert von Zweifels (22.01.20 um 22:32 Uhr)
  #7  
Alt 23.01.20, 09:58
Timm Timm ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von Zweifels Beitrag anzeigen
Bevor ich mir das durchlese:
Die Grundsatzentscheidung ist, ob du deine Vorstellungen auf ihren physikalischen Gehalt abgleichen willst. Hierzu hat sich Tom die Mühe gemacht, dir die Dinge zu erläutern.
__________________
Der Verstand schafft die Wahrheit nicht, sondern er findet sie vor - Aurelius Augustinus
  #8  
Alt 23.01.20, 12:51
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von Timm Beitrag anzeigen
Die Grundsatzentscheidung ist, ob du deine Vorstellungen auf ihren physikalischen Gehalt abgleichen willst. Hierzu hat sich Tom die Mühe gemacht, dir die Dinge zu erläutern.
Ich hatte es bereits geschrieben, bevor ich wusste, dass Tom geantwortet hatte und wollte es so uneingenommen schon mal abschicken. Das war der einzige Grund, hat also nichts damit zu tun, dass ich meine Vorstellungen nicht abgleichen will... Ganz im Gegenteil, denn durch Physik lernt man viel Mathe (die Schwerste, dank Einstein) und meine Bild von Mathe hab ich in meinen Beiträgen ja immer wieder mal durchblitzen lassen... Also egal wie mächtig selbst ein möglich notwendig wahrer Gott auch sein könnte, auch dieser muss Mathe erst lernen... Und diese Eigenschaft von Mathe find ich irgendwie lässig
  #9  
Alt 23.01.20, 13:23
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Stell dir eine zweidimensionale, gekrümmte Fläche vor; vergiss dabei zunächst mal die Zeitrichtung.
Oh man, willst du mir das wirklich beibringen? Das dauert dann aber ein bisschen, bis ich das verstehe. Okay, dann versuch ich das Schritt für Schritt.
Zu aller erst, das ist mein (möglich falsches) Wissen darüber, nachdem ich über Mannigfaltigkeiten gestolpert bin:
Ich hab sie mir oberflächlich dadurch erklärt, dass man eine geometrische Figur, eine Dimension tiefer beschreibt. Also die Erde ist eigentlich im 3-dimensionalen Raum, ich bilde aber die Oberfläche der Erde in einen 2-Dimensionalen Raum ab (kann man das so sagen, mathematisch ) und beschreibe die wegenommene Achse mit der Eigenschaft der Krümmung....
In wie weit ist das richtig?

Also ich würde es so machen:
Ich würde versuchen Mannigfaltigkeiten aus der Definition des Vektorraumes abzuleiten. Dazu nehme ich an, dass ein Funktionsvektor v=(f(1),f(2),f(3),...) die Mannigfaltigkeit beschreibt.

Nun leite ich einen Funktionswert nach einer Variablen ab, z.b. f(3) und bekomme einen Vektor: v'=(f(1),f(2),f'(3),....)
Der Vektor v' hat genausoviele Dimensionen wie der Vektor v, nur wird beim Funktionswert 3 die Ableitung von f(3), also f'(3) eingesetzt. Das führt dazu, dass zu jedem Punkt ohne f(3) eine Steigung f'(3) zu einem bestimmten x berücksichtigt wird, was ich dann als Krümmung annehme.
Wenn ich nun annehme, dass f(1), f(2), etc, zweidimensionale Koordinatensysteme beschreiben, mit einer Zeitachse (x) und einer "Entfernung zum 0-Punkt"-Achse (y) und leite dann alle f(1), f(2) etc nach der Zeit ab, müsste das doch das gleiche sein wie man es in der Differentialgeometrie macht, also letztendlich die Ableitung nach mehreren Variablen... Aber das muss ich mir erst noch genauer anschauen...

Geändert von Zweifels (23.01.20 um 15:16 Uhr)
  #10  
Alt 24.01.20, 12:35
Zweifels Zweifels ist offline
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Standard AW: Frage zur 4-dimensionalen Raumzeit

Zitat:
Zitat von TomS Beitrag anzeigen
Wenn du in einem Punkt P der Mannigfaltigkeit M eine Tangentialebene definierst, dann entspricht diese lokal in P einen Tangentialvektorraum TM(P) - und in diesem Raum „leben“ deine Koordinatensysteme.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Tangentialraum
Ich bin noch gerade dabei, das hier zu verstehen:

Zitat:
Ein einfaches Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten. Jeder Ortsvektor des zweidimensionalen euklidischen Raumes lässt sich bei dieser Darstellung durch die Koordinaten r ∈ [ 0 , ∞ [ ...
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Diff...ansformationen

Zitat:
Werden nun ganz allgemein alle Koordinaten des neuen Koordinatensystems bis auf eine Koordinate konstant gehalten und die einzelne Koordinate innerhalb des Definitionsbereiches verändert, entstehen im euklidischen Raum Linien, die auch als Koordinatenlinien bezeichnet werden. Im Falle der angegebenen Polarkoordinaten entstehen so bei konstanter r Koordinate konzentrische Kreise mit Radius r um den Koordinatenursprung ( x , y ) = ( 0 , 0 ) des euklidischen Koordinatensystems.
Also, man wandelt einen Koordinatenpunkt eines kartesischen Koordinatensystems um zu einer Polarkoordinate mit einem "Abstand zur 0" (also der Radius) und einem Winkel. Und mit dem Winkel und dem Radius baut man sich ein neues Koordinatensystem.
Der Grund, warum man es in Polarkoordinaten umwandelt liegt wohl darin, dass man erst diese ableiten kann.

Okay, das heisst es geht dann hier weiter:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Part...ung#Beispiel_1
Man nimmt eine Variable als konstant an. Da bei einer Ableitung Konstanten wegfallen, kann man so eine andere Variable ableiten.
Heisst das dann, dass ich bei unendlich vielen Variablen alle bis auf eine als Konstant annehmen muss, wenn ich diese Ableiten will und damit "unendlich-1" Lösungen besitze?

Yep:
Zitat:
Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.
Man muss nur einen Absatz weiter lesen^^

Geändert von Zweifels (24.01.20 um 13:10 Uhr)
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