Unmöglichkeit der Wegentscheidung

[JoAx]

Zitat von Maxi

NB: Es besteht für mich bei unserem Schriftverkehr leider das Problem, dass ich nicht die geschweifte Mengenklammer einfügen kann, deshalb benützen wir ja auch die normale runde Klammer;

Komisch, bei mir geht's. Wenn du deutsche Tastatur hast, dann ist es die Tastenkombination "Alt Gr" + "7" bzw. + "0". Ich denke, ich weiss, worauf du hinaus willst. Ich schreibe es noch Mal, und korrigiere Ω = 1, das war natürlich Stuss.

P(Ω1) = P({1}) + P(Ω1\{1}) = P(Ω2) = P({2}) + P(Ω2\{2}) = ... = P(Ω) = 1

Zitat von Maxi

auch griechische Buchstaben gibt dieses zu verwendende Programm nicht her.

Wenn du LaTeX benutzen willst, dann geht es auf Umwegen:
LaTeX & Co.

Ansonsten, wenn du Windows hast:
Gehe über das Start-Menu auf "Programme"->"Zubehör"->"Systemprogramme". Dort findest du das Programm "Zeichentabelle". Wenn es gestartet ist, wähle die Schriftart "Lucida Sans Unicode", sie hat einen Zeichensatz, das nahe zu alle Wünsche befriedigt. Dann, bei "Gruppieren nach:" die Option "Unicode-Unterbereich" auswählen. Es erscheint ein kleines Fenster, das dir die Auswahl der Zeichen nach Themen erlaubt. Darunter "Hoch-, Tiefstellung", "Mathematische Operationen", "Griechischer Alphabet", u.v.m.
Es sieht dann so aus:



Grüße

[Maxi]

Zuallererst vielen Dank für deinen Hinweis auf die Zeichentabelle. Mal schaun, ob ich deinen Anweisungen folgen kann; dies ist bei mir nämlich keine Selbstverständlichkeit.

Nun zum eigentlichen Thema:

Zitat von JoAx

Ω1 = P({1}) + P(Ω1\{1}) = Ω2 = P({2}) + P(Ω2\{2}) = ... = P(Ω) = 1

Eine Sache hast du vollständig richtig verbessert: "Eine >>Menge<<, die zum Themenbereich >>Mengenlehre<< gehört, wird -- formal richtig -- mit der geschweiften Mengenklammer versehen."
Von entscheidenderer Bedeutung ist jedoch, dass deine Aussage durch diese Korrektur nicht verständlicher geworden ist.
Wie immer man es formuliert: Eine Menge stellt eine Zusammenfassung eindeutig unterscheidbarer Dinge dar. Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Dinge aufzählt, ist ohne Belang; es handelt sich hier also jeweils um eine ungeordnete Menge. Diese einzelnen zusammengefassten Dinge nennt man Elemente und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ereignisalgebra) Ergebnisse. In diesem Sinne ist also der Ergebnisraum Ω eine Zusammenfassung aller real möglichen Ergebnisse eines bestimmten Zufallsexperiments. Eine beliebige Teilmenge von Ω wird Ereignis Ai genannt. Wichtig ist nun die Antwort auf die Frage: Was muss bei der Durchführung eines Zufallsexperiments geschehen sein, damit man sagen kann: "Das Ereignis Ai ist eingetreten."
Das Wahrscheinlichkeitswert P(Ai) = 1/6 hat also nichts in Ω verloren. Du magst möglicherweise einwenden: "Hallo, was soll das denn, schließlich ist doch 1/6 ein Ergebnis; nämlich das Ergebnis der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ai und zudem gehört Ai eindeutig zu Ω!" Das ist zwar sehr wohl richtig, aber sooft man das Experiment "Werfen eines normalen Spiel-Würfels" auch durchführt, die realen Ergebnisse werden immer nur die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 sein. Oder hat schon mal, wenn du dich an deine vielen "Mensch ärgere dich nicht"-Spiele zurückerinnerst, auf der Oberseite des geworfenen Spielwürfels der Wert 1/6 gestanden? Alles klar?

Sicher, der Mengenbegriff ist der Alltagsprache entliehen. Er wurde aber, um für die "Mengen"-Lehre tauglich zu sein, vollkommen umdefiniert, sodass klar definierte Operationen mit diesen "Mengen" durchgeführt werden können.
Entschuldige, wenn ich darauf rumhacke: Es ist mir völlig schleierhaft, wie du mit "Mengen", die die Bedingungen deines Zitat's erfüllen z.B. Vereinigungs-, Schnitt-, oder Komplementmengen bilden willst. Verrate mir bitte: wie würdest du dabei vorgehen? Oder, wenn du Venn-Diagramme betrachtest, wie sie in Axiome von Kolmogorow vorkommen. Welche verschiedenen Situationen stellen sie für dich dar? Wie sind sie in deinem Modell zu interpretieren?

Langer Rede kurzer Sinn:
Wollen wir unser Vorhaben, bis zum "Feynman-Problem" vorzudringen, verwirklichen, so zwingt uns (nach meiner Meinung) der bislang geführte Meinungsaustausch zu folgender Vorgehensweise:
Könntest du -- falls du von der Richtigkeit dieser Idee überzeugt bist -- die Standardbegriffe der "Mengen"-Lehre, samt deren Grundoperationen wieder auffrischen?
Desgleichen, was die "Wahrscheinlichkeitsrechnung" angeht?
Letztere übernimmt letztlich nur die Mengen und deren Sachverhalte (die zugehörigen, formalen Verknüpfungsregeln) aus der "Mengen"-Lehre und übersetzt sie in die "Ereignissprache". Und dann den Stoff bis einschließlich Baumdiagramme -- "vorwärts wie rückwärts".
Anhand eines Lehrbuchs:
z.B.: Barth, Haller: >>Stochastik, Leistungskurs<<, Ehrenwirth-Verlag, 1983, ISBN 3-431-02511-0
oder: Feuerpfeil, Heigl: >>Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik<<, bsv-Verlag, 1987, ISBN 3-7627-3532-8
Da stünde allerdings unendlich viel mehr drin, als wir für unser Problem benötigen würden.
Man kann natürlich auch alles im Internet zusammensuchen.

Wenn du dann immer noch dabei bist, ist (wäre) die Grundlage für eine sinnvolle Diskussion zur Klärung unseres Streitpunktes gegeben.

Gruß Maxi

[JoAx]

Zitat von Maxi

Zuallererst vielen Dank für deinen Hinweis auf die Zeichentabelle. Mal schaun, ob ich deinen Anweisungen folgen kann; dies ist bei mir nämlich keine Selbstverständlichkeit.

Bitte sehr, Maxi.
Wir haben auch ein Test-Forum hier. Dort kannst du dich nach Herzenslust austoben. Bilder einfügen, ..., weitere Fragen stellen, ..., was auch immer.

Zitat von Maxi

Das Wahrscheinlichkeitswert P(Ai) = 1/6 hat also nichts in Ω verloren.

Direkt - nicht. Aber es zeigt an, wie viel das Ereignis Ai von Ω einnimmt, so zu sagen.

Zitat von Maxi

...
Alles klar?

Natürlich. Ich habe zwischendurch noch ein Fehler erkannt und korrigiert. Siehe noch Mal in mein (nun) vorletztes Posting. Meine "Formel" definiert zwar nicht Ω an sich, sehr wohl aber, wie viel "Platz" ausgewählte Ereignisse in Ω einnehmen. Und mehr braucht man imho im Moment nicht.

Zitat von Maxi

Es ist mir völlig schleierhaft, wie du mit "Mengen", die die Bedingungen deines Zitat's erfüllen z.B. Vereinigungs-, Schnitt-, oder Komplementmengen bilden willst.

Der Sinn meines Zitats war - alle die von dir gefragten Mengen/Ergebnisräume sind identisch. Es ist immer die selbe Menge. Wo siehst du da ein Problem? Dass ich nicht, wie in einem Lehrbuch, jedes kleinste/erdenkliche Detail angesprochen habe? Das ist nicht mein Ziel gewesen.

Ich nehme Mal das hier (angepasst):

Zitat von JoAx

1. und 2. Experiment: P({1}) = P({2}) = 1/6
3. bis 6. Experimente: P({3}) = ... = P({6}) = 1/12

Alle Ereignisse sind disjunkt.

Und ergänze, um explizit zu sein, dass für alle Ereignisse ω gilt: {ω}∈Ω.

Vereinigung: P({1}∪{4}) = P({1}) + P({4}) = 1/6 + 1/12 = 1/4
Durchschnitt: P({3}∩{5}) = P(∅) = 0
Komplement: ∁{6}{2} = {6} - {2} = {6} => P(∁{6}{2}) = 1/12

Ist dir etwas unklar? Was genau?
Stelle bitte keine Behauptungen darüber, was ich tue und was nicht, sondern frage, wenn dir nicht klar ist, woher ich was habe. Ok?

Zitat von Maxi

Verrate mir bitte: wie würdest du dabei vorgehen? Oder, wenn du Venn-Diagramme betrachtest, wie sie in Axiome von Kolmogorow vorkommen. Welche verschiedenen Situationen stellen sie für dich dar? Wie sind sie in deinem Modell zu interpretieren?

Ich dachte nicht, dass ich ein (eigenes) Modell habe.
Ich verstehe wirklich nicht, worum es dir geht. In [StWi] auf Seite 15 sind die Diagramme für ∩, ∪, -, und ∆ (symmetrische Differenz) bsw. ganz ohne "umschließendes Ω" dargestellt. Und?

Zitat von Maxi

Langer Rede kurzer Sinn:
Wollen wir unser Vorhaben, bis zum "Feynman-Problem" vorzudringen, verwirklichen, so zwingt uns (nach meiner Meinung) der bislang geführte Meinungsaustausch zu folgender Vorgehensweise:
Könntest du -- falls du von der Richtigkeit dieser Idee überzeugt bist -- die Standardbegriffe der "Mengen"-Lehre, samt deren Grundoperationen wieder auffrischen?
Desgleichen, was die "Wahrscheinlichkeitsrechnung" angeht?

Ich denke, es wäre besser, wenn wir zu praktischen Übungen übergehen. Das ist lustiger und wichtiger. Wenn ich Schwierigkeiten mit dem verstehen von Begriffen bekomme, greife ich zu [StWi], wenn es dir beliebt. (Oder es klärt sich im Laufe ... .)
Es wäre (imho) auch wichtiger, dass du uns (oder auch nur mir) zeigst - was geht, was man machen darf - anstelle immer nur davon zu reden, dass dieses und jenes nicht geht.


Grüße, Johann

[StWi] - Uwe Storch, Hartmut Wiebe; "Lehrbuch der Mathematik. Band 1. Analysis einer Veränderlichen." 2. Auflage; ISBN 3-86025-746-3

5 Seiten zu Mengen in "Grundlagen", 57 Seiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die "Axiome von Kolmogorow" sind auf Seite 172 in 7.A.9 Satz definiert, ohne Kolmogorow selbst zu erwähnen.

[JoAx]

Mir ist da gerade ein Gedanke gekommen.

Maxi - denkst du etwa, dass weil die Abbilder zweier Löcher am Schirm dahinter sich überlappen, sich ihre Ereignismengen in einem Venn-Diagramm auch überlappen werden (müssen)?

[Maxi]

Zitat von JoAx

Mir ist da gerade ein Gedanke gekommen.

Maxi - denkst du etwa, dass weil die Abbilder zweier Löcher am Schirm dahinter sich überlappen, sich ihre Ereignismengen in einem Venn-Diagramm auch überlappen werden (müssen)?

Spitze, Johann!
Ein Zeichen dafür, dass du deinen Humor noch nicht verloren hast.

Gruß, Maxi

[Bauhof]

Zitat von Maxi

Spitze, Johann!
Ein Zeichen dafür, dass du deinen Humor noch nicht verloren hast.

Gruß, Maxi

Hallo Maxi,

was du von Johann zitiert hast, halte ich nicht für einen Spaß. Denn bei einem Spaß setzt Johann meistens Smilyes dazu, z.B. oder .

M.f.G. Eugen Bauhof

[Bauhof]

Zitat von Maxi

Wie immer man es formuliert: Eine Menge stellt eine Zusammenfassung eindeutig unterscheidbarer Dinge dar. Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Dinge aufzählt, ist ohne Belang; es handelt sich hier also jeweils um eine ungeordnete Menge.

Diese einzelnen zusammengefassten Dinge nennt man Elemente und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ereignisalgebra) Ergebnisse. In diesem Sinne ist also der Ergebnisraum Ω eine Zusammenfassung aller real möglichen Ergebnisse eines bestimmten Zufallsexperiments.

Eine beliebige Teilmenge von Ω wird Ereignis Ai genannt. Wichtig ist nun die Antwort auf die Frage: Was muss bei der Durchführung eines Zufallsexperiments geschehen sein, damit man sagen kann: "Das Ereignis Ai ist eingetreten."

Hallo Maxi,

ich vermute, du nimmst an, dass Johann Nachhilfe in Sachen Mengenlehre benötigt. Das denke ich ganz bestimmt nicht. Du produzierst viele Worte, aber dadurch wird es leider nicht verständlicher.

Erläutere mir als Laien doch mal in etwa drei bis sechs essentiellen Sätzen, was die zitierte Mengenlehre-Vorlesung mit dem probalistischen Verhalten der Teilchen am Doppelspalt zu tun hat.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Maxi]

Zitat von Bauhof

Du produzierst viele Worte, aber dadurch wird es leider nicht verständlicher.

Erläutere mir als Laien doch mal in etwa drei bis sechs essentiellen Sätzen, was die zitierte Mengenlehre-Vorlesung mit dem probalistischen Verhalten der Teilchen am Doppelspalt zu tun hat.

Zunächst einmal hat die "zitierte Mengenlehre-Vorlesung" (wie du sie nennst) gar nichts mit dem "probabilistischen Verhalten der Teilchen am Doppelspalt" zu tun.
Weil aber, wie das Adjektiv "probabilistisch" verrät, hat das Verhalten der Teilchen etwas mit Wahrscheinlichkeit zu tun.
Somit kann man versuchen (was auch ohne weiteres gelingt) dieses Verhalten mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu beschreiben (in den Griff zu bekommen).
Will man die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht vom schwammigen menschlichen Gefühl abhängig machen, muss man auf die eindeutige, in sich widerspruchsfreie Ereignisalgebra zurückgreifen.
Diese stützt sich wiederum auf die wertneutrale, am ganzen Geschehen unschuldige Mengenlehre mit ihren Verknüpfungen, Venn-Diagrammen und sonstigen brauchbaren Regeln.
Um nicht hinterher bei den Formulierung der Aussagen (über Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten) wieder ins Nebulöse abzugleiten, wo einer redet, aber keiner so genau weiß, was er sagt, ist äußerste formale Diziplin angesagt.
Da kann nicht jeder nach eigenem Gusto festlegen, was alles in den Ergebnisraum hineinzupacken ist, und dann noch meinen, er vertrete die korrekte "Wahrscheinlichkeitsrechnung".

Klar genug --
auch wenn's ein Satz zu viel war?

Das eigentlich Interessante käme ja erst noch: Wie konstruiert man den Ergebnisraum, um die Situation, die der Experimentator in den verschiedenen Experimenten anspricht im jeweiligen Ω = (w1, w2, ..., wm) wiederzufinden?

Gruß, Maxi

[Bauhof]

Zitat von Maxi

Klar genug -- auch wenn's ein Satz zu viel war? Gruß, Maxi

Hallo Maxi,

leider nein. Wieder viele Sätze und ich weiß trotzdem nicht, auf was du hinauswillst. Vielleicht kann Johann etwas damit anfangen. Ich verabschiede mich wieder aus diesen Thread.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Maxi]

Nur ein Beispiel zum Thema Disziplin:

Zitat von JoAx

Und ergänze, um explizit zu sein, dass für alle Ereignisse ω gilt: {ω}∈Ω.

Vergleiche dies mal mit deinem Link zu Axiome_von_Kolmogorow

Zitat von JoAx

Es wäre (imho) auch wichtiger, dass du uns (oder auch nur mir) zeigst - was geht, was man machen darf - anstelle immer nur davon zu reden, dass dieses und jenes nicht geht.

Begreifst du denn nicht, dass man ein System, welcher Art auch immer, erst dann sinnvoll anwenden kann, wenn man es durchschaut, wenn man weiß, wie es arbeitet, welche Daten in welcher Form einzugeben sind?
Nur einfach anwenden? Und du bist überzeugt, dass du das dann schon irgendwie ...???

Ohne mich!!

Dennoch danke für den Gedankenaustausch.

Es war nicht gerade lustig (in Anlehnung an)

Zitat von JoAx

Das ist lustiger und wichtiger.

aber doch sehr aufschlussreich.

Ich mach's wie Bauhof und steige aus.

Gruß, Maxi