Fragen zur SGL

[Bauhof]

Zitat von richy

Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Haloo richy,

ja. Deshalb hat Max Born die Schrödingergleichung als "Wahrscheinlichkeitswelle" interpretiert. Und diese existiert laut Zeilinger nur in unserem Kopf.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Hawkwind]

Zitat von richy

Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?

Nein keineswegs: eine ebene Welle z.B.
exp(i*(kx-wt)) = exp(ikx)*exp(-iwt)
kann ebenfalls so separiert werden.

Zitat von richy

Der komplexe Exponentialansatz erlaubt nur die Beschreibung eingeschwungener, linearer Systeme. (Cos+ISin, CIS, sind periodische Funktionen)
Wie ist dies bei der SGL zu beruecksichtigen ?
Die Bewegung eines Teilchens waere ein transienter Vorgang, den man mit diesem Ansatz nicht beschreiben kann. Aber man betrachtet kein Teilchen sondern dessen PSI- Wahrscheinlichkeitswelle .... Aaaarg es ist verrueckt
Ab wann ist denn diese Wahrscheinlichkeitswelle existet, so dass ich einen eingeschwungenen Vorgang annehmen darf ?

Eine gedämpfte Wahrscheinlichkeitswelle wäre eine solche, bei der die Wahrscheinlichkeit (z.B. ein Teilchen irgendwo bei einer Messung vorzufinden) mit der Zeit sinkt. Solche Anteile machen Sinn für Systeme, in denen die Wahrscheinlichkeit nicht erhalten ist (Zerfallsprozesse ez.B.). Aber das ist ein anderes Kapitel.

Zitat von richy

Ok jetzt verstehe ich die Vorgehensweise besser. Das waere ein spezieller Seperationsansatz (In der E Technik sagt man auch Produktansatz)
Stimmst du mir zu , dass die Funktion exp(-i*w*t) zunaechst lediglich eine willkuerliche Annahme ist, die sich spaeter als praktisch erweisen wird ? Eher eine Ratemethode.

Motiviert war der exp(-iwt) - Faktor sicher durch deBrolies Materiewellen. Bei Wellen wird nun einmal oszilliert.

Woanders schreibst du

Zitat von richy

Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Dem stimme ich immer noch nicht zu. Komplexwertigkeit alleine zeigt nicht, "dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann."
Denk z.B. an die Impedanz
http://de.wikipedia.org/wiki/Impedanz
Das ist eine komplexwertige Größe, deren Real- und Imaginäranteile physikalische Bedeutung haben (Ohmscher Widerstand und Induktivität).
Das Besondere bei der Wfkt. ist die "Unphysikalität" des Phasenfaktors.

[Benjamin]

Zitat von Bauhof

Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet. Der Erfolg gab ihm recht. Falls das interssant für dich ist, suche ich nach der Quelle.

Ja, Feynman hat einmal geschrieben: "It came directly out of his mind."
Aber das stimmt nicht. Man erfindet nicht einfach eine Gleichung, die dann zufällig passt. Schrödinger kam auf diesen Ansatz durch de Broglie, und dem Umstand, dass sich Elektronen wie Wellen verhalten. Ihm war also klar, dass es eine Wellenfunktion geben muss, die die Heisenberg'sche Matrizenmechanik erfüllt. Das waren seine Ansätze, der Rest ist nicht streng logisch ableitbar - soweit ich das sehe zumindest nicht.
Aber Newtons Axiome sind schließlich auch nicht logisch ableitbar.

[Benjamin]

Zitat von richy

Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

Mir fehlt nun leider die Zeit, genauer zu antworten. Du darfst jedoch nicht den Fehler machen, zu glauben, nur weil eine Funktion komplex ist, kann sie nicht wirklich sein. Denn dann läufst du einem falschen Verständnis von dem auf, was die komplexen Zahlen darstellen.

Ich kann zum Beispiel die Kreisbewegung eines Punktes über F(t)=A*exp(i wt) beschreiben. Das Ergebnis davon ist auch eine komplexe Zahl, die jedoch steht dennoch für einen völlig reellen Ort unseres Punktes. Die reelle Achse und imaginäre Achse entspricht einfach den Koordinaten Achsen.

Wenn z.B. F = 3 + i4 wäre das dasselbe wie F = 3x + 4y.

Der komplexe Zahlenraum ist lediglich eine Erweiterung des reellen, sowie die negativen Zahlen, den Raum der positiven Zahlen erweitern. Ob diese Zahlen einer physikalischen Wirklichkeit entsprechen, hat nichts damit zu tun, ob die Zahlen postiv, negativ oder imaginär sind.

[richy]

Hi
@Bauhof

Schödinger hat seine Geichung frei erfunden. Er hat sie also nicht aus irgendwelchen bekannten physikalischen Prizipien hergeleitet.

So hab ich das auch in Erinnerung. Vergleichbar mit den Maxwellgleichungen, die auch nicht aus uebergeordneten Gleichungen hergeleitet sind. Angeblich soll bei der SGL eine Flasche Wein eine Rolle gespielt haben :-) Ich habe bisher kaum Information darueber gefunden. "Erfunden" ist bischen hart, daher auch Benjamins Anmerkung. Im Grunde stimme ich aber Feynman schon zu.

"It came directly out of his mind."

Und ich wuerde zu gerne wissen was er da gedacht hat. Alleine diesbezueglich dem j. Erstaunlich ist, dass er noch keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation des Betragsquadrates im Hinterkopf haben konnte. Hat er dennoch ueber eine FT gedacht ?

@Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Fourier-Transformationen (FT) spielen bei der Diskussion der SGL tatsächlich eine Rolle:

Kleiner Ausflug
************************************************** ***
Sie spielt alleine schon eine Rolle wenn du fuer den Seperationsansatz u(t)*v(x) die komplexe Exponentialfunktion waehlst.
PSI(t,x)=exp(i*w*t+k*x).
exp(i*w*t) ist nicht aus Zufall die orthogonale Basisfunktion der FT. Als Ing. wuerde man sich vorstellen, dass man das System ueber w durchwobbelt.
Und wenn du als Testfunktion SUMME(n, a_n*exp(i*n*w*t)) verwendest bist du schon bei der Fourierreihe.
Mit dem Ansatz PSI(t,x)=exp(i*w*t+k*x) erhaelt man aber immer nur spezielle Loesungen. Die allgemeine Loesung der Wellengleichung lautet
L(t,x)=f(w*t+k*x)+g(w*t-k*x)
oder mit w/k=die Phasengeschwindigkeit c

(Die Gruppengeschwindigkeit waere dw/dk)
f und g sind beliebige Funktionen ! Man denke an die Akustik. Waere schlimm wenn wir immer nur einen Sinus hoerern koennten. Da ist f bzw g das Musiksignal !
************************************************** ***

Zitat von Hawkwind

mittels einer FT wechselt man zwischen Orts- und Impulsdarstellungen.

Ja, das ist aber wieder etwas anderes, das vielleicht mit dem i der SGL zusammenhaengt.Und hier gehen die Geister auseinander. Obwohl es doch relativ klar ist.Konjungierten Groessen koennen niemals eine Realitaet gemeinsam beschreiben.Weil sie einmal zum Ur und einmal zum Bildbereich einer FT gehoeren. Der Mensch hat aber Probleme dies zu trennen, da seine Sinnesorgane beide Beschreibungsmethoden kennen. Das Residualhoeren ist ein Beispiel dafuer, dass er sogar beide Beschreibungsmethoden gleichzeitig (in dem Fall im Frequenzbereich ) verarbeiten kann. Das Residualhoeren ist aber eine Sinnestauschung ! Genauso wie die Intermodulationen Schwebungen beim weihnachlichen Floetenspiel (mehrere Floeten). Total interessante Sache, denn jeder interpretiert dies physiologisch anders. Weil Zeit und Frequenz konjungierte Groessen sind.
Das Gehirn hat dann Probleme ob es sich fuer die Schwebung (Zeit) oder die Frequenz entscheiden soll.Insbesonders wenn de Schwebungsperiodendauer sehr kurz wird.
Eine Schwebungsfrequenz existiert fuer sin(w1*t)+sin(w2*t) nicht !
w1+w2 oder w1-w2 existieren im Spektrum nicht !
Audio Demo (Laut, variable Kopfstellung, hoert man de Schwebung am aetzendsten)
http://home.arcor.de/richardon/schweb2.mp3
(Tritt auch am E Piano auf. Manche Musiker meinen dann es waere kaputt)

Und genauso sind ein Schwarzweiss und Farbbild zweierlei Stiefel ohne dass wir dies bemerken.
So kann man auch die Unschaerferelation als Sinnestaeschung bezeichnen. Man will beides parallel verstehen.
Das hat die Bohmsche Mechanik erkannt ! Finde ich gut !
Sie gesteht nur einer Groesse eine physikalische Realitaet zu.In dem Fall dem Ort.

Bislang reden wir hier über die Orstdarstellung, d.h. Psi(x);

D'accordo. Orstdarstellung und Zeitdarstellung.
Und Ereignis oder Moeglichkeitsdarstellung x5 ?
Die SGL kann nicht in einem reinen Urbereich formuliert sein !
Ansonsten duerftest du niemals die imaginaere Einheit i der linken Seite in deinen komplexen Exponentialansatz multiplizieren.
Warum darf man dies denn ueberhaupt so praktizieren ? !
Das i koennte doch auf allem Moeglichen basieren.
Das hier (richies x5-SGL) waere ein Beispiel einer rein formalen reinen Urbilddartstellung :

1) Wurzel(2*Pi)*h_q*d^2PSI(x,t,x5)/dt/dx5=-(h_q)^2/2m*dPSI(x,t,x5)/dx+V(x,t,x5)*PSI(x,t.x5)

Ich mach mal nen Punkt, sonst wird es zu .. aehem noch unuebersichtlicher.

[richy]

Leider hat meine Argumentation anscheinend noch niemand verstanden

Zitat von richy

Aussage A
Stellt die SGL den Anspruch direkt einen (physikalischen) Vorgang zu beschreiben dann wuerde ich zugestehen :
Ja, alleine dass PSI(r,t) eine komplexwertige Funktion sein muss (nicht aufgrund eines exp(a+i*b) Ansatzes) zeigt, dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann.

EDIT Ich habe PSI(r,t) hier zu PSI(r,t,x5) erweiter.
Aussage B
Stellt die SGL gar nicht diesen Anspruch sondern beschreibt einen physikalischen Vorgang im Bildbereich einer Fouriertransformation (fuer x5), dann ist es selbstverstaendlich, dass PSI(r,t,x5) komplexwertig ist und selbst nicht interpretierbar. Nur z.B. dessen Betragsquadrat. Dennoch beschreibt PSI(r,t,x5) eine physikalische Realitaet. Naemlich ueber deren Fourierruektransformierten.

Beides gehoert zusammen. Entweder gilt Aussage A oder Aussage B.
Und das haengt davon ab woher das i auf der linken Seite dieser Gleichung stammt.

Und vieles weist darauf hin, dass es aus einer Fouriertransformation hervorgeht. Einer bisher nicht spezifizierten Variablen fuer die ich daher mal beispielhaft x5 angenommen habe.
Das i stammt dann von einer FT der Variablen x5. Im Grunde muss i aus einer FT hervorgehen, sonst duerfte man i nicht in den ansatz exp(i*w+t) reinmultiplizieren.
Und dann wuerde Aussage B zutreffen !

[richy]

Hi Bauhof

ja. Deshalb hat Max Born die Schrödingergleichung als "Wahrscheinlichkeitswelle" interpretiert. Und diese existiert laut Zeilinger nur in unserem Kopf.

Deshalb=wegen Aussage A.
Aussage B ist aber sehr viel konsistenter. Born hat das Betragsquadrat gebildet weil die SGL bezueglich Moeglichkeiten x5 bereits eine Fouriertransformierte darstellt. Es muss im Grunde so sein. Es bleibt ueberhaupt keine andere Wahl als das Betragsquadrat zu bilden.

@Hawkwind

Zitat von Hawkwind

Dem stimme ich immer noch nicht zu. Komplexwertigkeit alleine zeigt nicht, "dass dieser Vorgang nur schwer eine physikalische Realitaet darstellen kann."
Denk z.B. an die Impedanz

Ich hoffe es ist klar geworden, dass beide Aussagen zusammengehoeren. A oder B. Und mit "schwer" meine ich dass es dann immer noch nicht zwingend notwendig waere. Gerade hinsichtlich als Rechentechnik eingefuehrter komplexwertiger Groessen.
Formuliert man die Impedanzen ueber jwL oder 1/jwC ist dies eine Darstellung im Frequenzbereich ! Es gilt Aussge B !
Die Korrospondenzen sind
d/dt O-O jw
Integral(... dt) O-O 1/jw

Nein keineswegs: eine ebene Welle z.B.
exp(i*(kx-wt)) = exp(ikx)*exp(-iwt)
kann ebenfalls so separiert werden.

Na das moecht ich aber mal sehen. Dass man exp(-iwt)*f(x) , f(x) reell, als exp(ikx)*exp(-iwt) schreiben kann
exp(-iwt)*f(x) , f(x) reell, ist sicherlich eine stehende Welle.
Die Phase wirkt auf alle Orte gleich.

Motiviert war der exp(-iwt) - Faktor sicher durch deBrolies Materiewellen. Bei Wellen wird nun einmal oszilliert.

Wenn du meine x5 Variante betrachtest.
d^2 PSI(x,t,x5)/dt/dx5 (d partiell)
Man kann t und x5 vertauschen.
d^2 PSI(x,t,x5)/dx5/dxt
Die Welle oszilliert dann nicht in der Zeit sondern ueber die Moeglichkeiten.Das geht auch.

Das Besondere bei der Wfkt. ist die "Unphysikalität" des Phasenfaktors.

Hatten wir schon :-) und uns auf Nichtmessbarkeit geeinigt oder ?

@Benjamin

Ob diese Zahlen einer physikalischen Wirklichkeit entsprechen, hat nichts damit zu tun, ob die Zahlen postiv, negativ oder imaginär sind.

Kommt drauf an aus welchem Umstand die Imaginaeritaet hervorgeht.
Wenn dich die bessere Haelfte bittet 200gr Salami einzukaufen und du kommst mit i*200 gr Salami also imaginaerer, gar zeitartiger Salami nach hause, wird sie nicht zufrieden sein
Wobei eine imaginaere Salami durchaus eine Salami sein koennte, die erst morgen geliefert wird.

[Hawkwind]

Zitat von richy

Na das moecht ich aber mal sehen. Dass man exp(-iwt)*f(x) , f(x) reell, als exp(ikx)*exp(-iwt) schreiben kann

Na gut, dann nimm einfach sin(kx) * exp(-iwt)
Das ist eine ebene Welle mit dem Wellenvektor k.

Gruß, Hawkwind

[richy]

Sagte Benjamin oder ich doch :-)

Zitat von richy

Wenn der Faktor f(x) rein reell ist, dann kann x unmoeglich in die Phase w*t des linken Exponentialausdruckes eingehen. Und dann ist das wohl eine stehende Welle oder ?

sin(kx) ist rein reell daher eine stehende Welle. Die Phase aendert sich zwar ueber den Ort, aber sie breitet sich nicht aus. Ist f(x) komplexwertig, dann weist f(x) eine von x abhaengige Phase arg(f(x)) auf. Die kann man darstellen als exp(j*arg(f(x))
exp(j*arg(f(x))*exp(j*w*t)=exp(j* (arg(f(x) ) + w*t)
Bin mir aber nicht ganz sicher ob das Argument ausreichend ist.

Gruesse

[Hawkwind]

Zitat von richy

Sagte Benjamin oder ich doch :-)

sin(kx) ist rein reell daher eine stehende Welle. Die Phase aendert sich zwar ueber den Ort, aber sie breitet sich nicht aus. Ist f(x) komplexwertig, dann weist f(x) eine von x abhaengige Phase arg(f(x)) auf.

Gruesse

Das stimmt; jedoch ist zu beachten, dass aus der Linearität der SGL ein Superpositionsprinzip folgt:

wenn Psi(x) eine Lösung ist und Phi(x) eine andere, dann ist auch
a*Psi + b*Phi eine Lösung. Ebene Wellen kann man aber als solche Linearkombinationen stehender Wellen darstellen. Tatsächlich sind ebene Wellen Lösungen der SGL, wenn V=0.
Ebene Wellen sind übrigens auch Impulseigenzustände, d.h. Zustände mit einem scharfen Impuls.