Heureka oder Helau ?

[richy]

(PART 1)

Hi EMI

Eins plus Wurzel (5)
**************
Ist das Doppelte vom goldenen Schnitt. Meine Lieblingszahl wie du sicherlich weisst. Ich versuche also momentan die Differenzengleichung
y[k+1]= (1+Wurzel(5))*y[k]*(1-y[k]) zu loesen. Warum gerade der Parameter ? Weil ich top down vorgehen wollte.
Die r=2 Loesung betrift einen konstanten, keinen alternierenden Attraktor.
Die r=4 Loesung betrifft den "chaotischen" dennoch relativ einfachen Attraktor.
Ich wollte mich erstmal dem naechstschwierigsten Fall widmen. Dem 2 er Zyklus:1+sqrt(4)..1+sqrt(6)
Ja, in der Verhulst Gleichung sagt man besser 3=1+Wurzel(4) und 2=1+Wurzel(1)


Unter dem Feigenbaudiagramm habe ich noch den von mir analytisch berechneten Ljapunov Exponenten dagestellt. |2-a| zum Beispiel.
Ljapunov Exponenten klingt abgehoben. Das ist lediglich ein Bewertungsmaß dafuer wie empfindlich die DZGL auf Schwankungen der Anfangswerte reagiert.
Recht einfach zu implementieren.
http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le1.htm

Es gilt :

LE>0 chaotisch
LE<0 ordentlich

Fuer den loesbaren Fall r=2 ist der LE minimal. Maximale Ordnung
Wie man sieht auch fuer 1+Wurzel(5) herrscht im 2 er Zyklus maximale Ordnung. Daher meine Wahl. Musste zwangslaeufig meine Lieblingszahl waehlen :-)

Wie erwaehnt fuehren Loesungsansaetze der Verhulstgleichung mit 2*(meine Lieblingszahl) zu verketteten Wurzeln mit variablen Koeffizienten.
Beispiel einer verketteten Wurzel mit variablen Koeffizienten 1,2,3,4 ... :

Versuche nicht den obigen Ausdruck zu loesen :-) Gelingt dir sicherlich gar nicht oder nur mit sehr viel Muehe. Eine typische Ramanujan Aufgabe.
Vor etwa zwei Stunden habe ich noch durch solche Kettenwurzeln gekaempft.

Wenn die Koeffizienten konstanten sind kann sogar "meiner Einer" die noch recht gut handhaben.
Aber wenn sie nicht konstant sind und gar noch komplewertig wird es exorbitant schwierig. Man muss sich dann der "Euler Transformation" ? bemuehen. Und die habe ich nicht richtig drauf. Und wahrscheinlich ist selbst diese nicht maechtig genug so dass man auf Ergebnisse von Srinivasa Ramanujan zurueckgreifen muss, falls vorhanden.
Diesen Herren hier.

http://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan
Fuer Stephen Wolframs (*) r=4 Problem kommt man auch nicht an einer Kettenwurzel mit variablen Koeffizienten vorbei. Die Koeffizienten sind aber lediglich alternierend. Daher noch recht gut handhabbar. Ramanujan lieferte sicherlich Wolframs Arcus-Kosinus Ansatz. Kann mich da an eine Kettenwurzel von Ramanujan mit einer arccos Loesung erinnern.

Folgendes ist etwas komplizierter :
Wie kommt man ueberhaupt zu einem Loesungsansatz fuer die Verhulst Gleichung ? Im Thread DGL versus DZGL habe ich das bereits geschildert.

Man kann versuchen fuer g{y(k+1)}/g{y(k)}, also eine geschickte Substitution, einen einfachen Ausdruck zu finden, den man dann mit der Z-Transformation oder auch durch "scharfes Ansehen" loesen kann.
g{} ist hier eine beliebige Funkton.

Hat man eine Loesung L{} fuer g{y(k+1)}/g{y(k)} gefunden kann man unter gluecklichen Umstaenden daraus auch ein f{L{}} fuer g{y(k)}/g{y0} bestimmen. Damit ist die DZGL wie im Fall r=2, r=4 loesbar.
g{y(k)}=f{L{}}*g{y0}
y(k)=g_invers{ f{L{}}*g{y0} }
f{L{}}, eine Funktion von k. f{L{k}} hat man vorher bestimmt.

Naja das war richy Sprache.:
Mal ein einfaches Beispiel :

u(k+1)/u(k)=constant
gilt
u(k+1)=constant*u(k)
gemaess der Karnickelgleichung (Schulstoff)
u(k+1)=constant^k*u0

(*)
Stephen Wolfram ist der Schoepfer von Mathematika und ein weltweit anerkannter Spezialist fuer Differenzengleichungen.

[richy]

Warum Heureka ?

(PART 2)

Momentan ist Dienstag der 21.September 2010
Wirklich schon Zweitausendzehn ?

Es war somit gestern als ich diese Kettenwurzeln variabler Koeffizienten zum ersten mal sah.
Und mir war klar : Dieses Monster kannst du niemals erlegen.
Dabei war ich mir doch so sicher mit meiner konservativen graphischen Methode die Verhulst Gleichung fuer (1+Wurzel(5)) vielleicht doch loesen zu koennen.
Hatte im Forum hier auch schoen rumgebloeckt.
Und jetzt doch voellig umsonst ?

Wegen den Kettenwurzeln war ich total frustriert und fuhr zur Problemloesung zuerst mal wie ueblich zu ALDI.
Da lagen diese bloeden zwei Salamisorten. Und ich wusste dass sie mir nichts mehr sagen werden und ich das Problem diesmal anders loesen muss.
( Ich weiss, dass Salami nicht reden koennen :-)

Also hab ich die Lamm Steaks von Aldi mitgenommen. Den Grill angeworfen ... Zwischendurch immer wieder den Compi befragt ob er nicht eine Loesung kennt.

Manno du warst so nah dran und jetzt legst du deinen Frust auf den Grill.
Das kann es wohl nicht sein !

[richy]

(Part 3)
Ich habe nach dem Grillabend eine Variation des Substitionsansatzes in den Compi eingetippt.
Den Ansatz verrate ich noch nicht.
Mit diesem Ansatz hat mir mein Compi Loesungen ausgedruckt die ich einfach nicht glauben will.
Nicht glauben kann, darf !
Wenn das alles wahr ist was mir mein Compi auf meinem Bildschirm ausgegeben hat habe ich gestern nicht nur die Verhulst Gleichung fuer den Parameter 1+Wurzel(5) geloest sondern vielleicht fuer sehr viel aehnliche Parameter. Viellleicht habe ich sie sogar komplett geloest !
Oder wenigstens einen neuen Loesungsansatz geschaffen.

Das ist im Grunde undenkbar. Daher Helau im September.

ciao

[SCR]

Glückwunsch richy!
Wenn's die QS übersteht: Veröffentliche es - wie von EMI vorgeschlagen.

[richy]

Hi SRC

Den Ansatz von gestern habe ich nicht wirklich im Griff. Ich kann damit fuer alle Parameter besser sehen was in der Verhulst Gleichung vor sich geht. Eine Funktion f(y0) auf die eine harmonische Schwingung mit zunehmender Frequenz aufmoduliert ist.Aber eine graphische verbesserte Ansicht ist noch keine Loesung.Tja wuerde ich f(yo) kennen und den Modulationsparameter waere Verhulst geloest."Wuerde"

Eine Loesung fuer 1+sqrt(5) waere auch schon schoen. Darauf sollte ich mich wieder konzentrieren. Fuer eine mathematische Veroeffentlichung ist das aber zu wenig. Ich wuerde sie bei Wiki eintragen und auf meine Homepage stellen.
Ich habe eine Idee wie ich die Kettenbrueche umgehen kann. Indem ich versuche die Rechteckfunktion als Fourierreihe darzustellen. Das koennte klappen. Aber auch nicht zwingend. Und ein grosser Nachteil ist in dem Fall, dass es eine implizite Loesung waere .
Denn was ist die Umkehrfunktion einer Rechteckfunktion ? Letzendlich sind das die Attraktoren. Aber wenn sich die Rechteckfunktion ueber eine Fourierreihe aufbaut. Das ist ganz uebel. Ein weiterer Aspekt : Im Gegensatz zu Wolframs r=4 Loesung bleibt die Frequenz konstant. 2^n geht nicht in die Frequenz, sondern wohl in die Anzahl der Summanden ein.
Arrrrgh
EDIT 2011
Man koennte dies evtl umgehen wenn man eine Fouriertransformation formuliert bei der die Frequenz zu den Intervalenden hin moduliert wird.

Ebenso koennte man das Rechteck ueber zwei verschobene r=2 Faelle ausdruecken.
ln oder arccos das ist die Frage. Wahrscheinlich ist es eine "Mischung" aus beidem.
Beide Ansaetze werden daher wohl scheitern.

Ich denke an beiden Versionen bastle ich dennoch zunaechst mal weiter.


Gruesse

[richy]

Besteht eigentlich Interesse sich die Wellenformen entlang der Verhulst Gleichung anzuschauen ? Dann wuerde ich eine Gif Animation daraus basteln.
Einmal fuer den arccos (r=4) und einmal fuer den ln (r=2)
Beides sind fuer den allgemeinen Fall nur Naeherungen und eine dritte Funktion gibt es laut Wolfram nicht. Und darin liegt mein Problem gerade. Fuer 1+sqrt(5) ergibt sich zwar fuer limit n-> eine Rechteckschwingng, aber diese setzt sich nicht zukzessive aus cos Schwingungen zusammen.
Die erzeugende Funktion ist mein letzter Versuch. Im Grunde eine verallgemeinerte Z-Transformation. Ich denke ich gebe auf.

[richy]

Hi
Neues Konzept :

So ganz hab ich die Verhulst Gleichung noch nicht aufgegeben. Inzwischen bin ich soweit, dass die Substitution, Transformation z=1-2*y innerhalb der Verhulst Gleichung von fundamentaler Bedeutung ist.
Nicht z=1-ebbes*y sondern genau

z=1-2*y
******

Die Transformation z=1-2*y laesst sich zunaechst so begruenden, dass man die Kettenpolynome so verschiebt, dass moeglichst nur reelle Nullstellen entstehen. (Die Transformation ist aber fundamentaler. Das wird dieser Thread hier zeigen.)
Beispiele fuer die z=1-2*y transformierten Kettenpolynome :





Graphische Problemerfassung (Kann man ueberspringen)

Diskussion der Grafiken :
Fuer a=2 erhaelt man 2^n fache Nustellen. Fuer a=4 sieht man eine Frequenzerhoehung zu den Raendern der Kettenpolynomdarstellung. Diese laesst sich ueber eine geeignete arccos Transformation des Darstellungsbereiches voellig kompensieren. Daran hatte ja aber niemand interesse Damit lassen sich fuer a=4 die Nullstellen dann analytisch formulieren. Fuer r=1+Wurzel(5) tangiert ein Attraktor die Nullachse. Man sieht aber ebenso, dass es sich leider nicht nur um zwei mehrfache Nullstellen handelt. Das kann man auch ausrechnen.
Die Rechteckfunktion erhoeht ihre Frequenz hin zu den Raendern des Darstellungsbereiches. Es liegt eine Mischform vor.
Weitere Problematik :
Der Schnittpunkt z.b des 4 er und 2 er Repulsors teilt das Signal nicht in zwei gleiche Amplitudenhaelften wie bei r=4.
Im Grunde muesste man sich eine Strategie im Nullstellenplan ueberlegen, also ueber die rekursive Iteration, durch welche Transformation man am besten zu "handelnde" Nullstellen erzeugt. Im Folgenden wird sich aber zeigen dass 1-2*y die guenstigste Transformation ist.

Die graphische Anschauung sollte man im Kopf haben aber damit alleine kommt man nicht weiter. Daher moechte ich zunaechst ueber die Transformation z=1-2*y eine neue modifizierte Verhulst Gleichung einfuehren. Zunaechst ganz naiv. Mal sehen was passiert :-) :

Die 2/4 normalisierte Verhulst Gleichung
******************************
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))

Substitution :
**********
z=1-2*y(k),
y(k)=1/2*(1-z(k))
y(k+1)=1/2*(1-z(k+1))

1/2*(1-z(k+1))=a*1/2*(1-z(1))*(1-1/2*(1-z(k+1)));
...

****************************
z(k+1) = 1/2*a*(z(k)-1)*(z(k)+1)+1
****************************
Der Wertebereich ist nun -1..1

Formuliert man die Verulst Populationen in dieser Form, sieht man sofort, dass fuer a=2 sich ergibt :
z(k+1) = z(k)^2-1+1 = z(k)^2

z(k+1)
------ =1
z(k)^2

dann gilt :

ln(z(k+1))
---------- = 2
ln(z(k))

damit laesst sich ueber die logarithmische Abbildung die Verhulst DZGL fuer a=2 loesen.


Fuer zum Beispiel r=4 erhalten wir in der 2/4 normierten DZGL
z(k+1) = 2*z(k)^2-1
****************
"2/4 normiert" ist eine sehr schoene Darstellungsform, denn auf der rechten Seite erhalten wir wie in der Mandelbrotmenge kein lineares Glied mehr !

Betrachten wir nochmals z(k+1)=2*z(k)^2-1 schaerfer. Also :
z1=2*z^2-1

Prinzipielle Darstellung der Problematik : (Kann man ueberspringen)

Jetzt kommt die grosse Kunst eines Mathematikers im Formate von Stephan Wolfram. Zur Erinnerung : Dass Verhulst fuer a=4 loesbar ist weiss man zuvor nicht. Man erhaelt in der 2/4 normierten Gleichung erstmal fuer jeden Parameter a eine Funktion z[k+1]=g{z[k]^2}. Die Aufgabe besteht darin zu erkennen ob z[k+1]/g{z[k]}^2 durch eine geeignete Substitution
u=f{z[k]} vereinfacht, linearisiert werden kann. Man kann dies noch anders ausdruecken :
Dass man eine geeignete Funktion f{} findet, so dass h{z[k]}=f{g{z[k]^2}}
allgemein auf die Form f(k)*g{z[k]} oder im einfachsten Falls auf C*g{z[k]}
zuruekgefuehrt werden kann.

Klingt kompliziert aber anhand des Beispiels a=4 wird es sofort klar :
Ob Wolfram so vorgegangen ist wie ich es gerade demonstriere weiss ich nicht. Er haette dann sein Gehirn nach irgendwelchen Identitaeten von Funktionen durchmustert, insbesonders "Additionstheoremen" von Umkehrfunktionen um schliesslich in einem beneidenswert gluecklichen Augenblick zu erkennen :

LOESUNG FUER a=4

************************
arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|
**************************


Ich habe diese Identitaet nicht im Kopf aber irgendwo wird man sie wohl finden. Ich habs einfach mal mit Maple ueberprueft. Stimmt natuerlich.
Und damit, mit der Gleichung
arccos(2*x^2-1) = |2*arccos(x)|
ist Verhulst fuer a=4 analytisch loesbar.

Gruesse

[richy]

Arkuskosinus von zwo x quadrat minus eins ist gleich zwo mal Betrag Arcuskosinus von x !

[richy]

ich gebe nicht auf @richy auch zu einen naturwissenschaftlichen Grundhaltung zu bewegen.

Ich bin nicht irgendein Schueler deinerseits. Kapierts du das endlich mal ? Niemand im Forum ist irgendwessen Schueler. Wir sind alle alt genug um ein eigenes Weltbild zu vertreten.
Dennoch vertraue ich deinen physikalischen Antworten. Aber in letzer Zeit hast du da einiges Zweifelhaftes geauessert.
Die obigen Berechnungen sind korrekt wahr und praktisch !
Natuerlich muss man dafuer etwas mehr als sein Kleinhirn bemuehen.
Ansonsten.
Ja ich finde dich sympathisch und wir koennten irgendwie eine Friendenspfeife rauchen.
Wir vertreten doch die selbe Linie. Den Realismus. Mit geistigen Optionen.
Ich halt mit einer speziellen zusaetzlichen Option. Ich glaube an diesen Gott
Der mir nur Aerger macht. ?
Du kannst mir da nix einreden. Ich glaube einfach an diese Hypothese. Weil sie mir logisch erscheint. Physikalisch spielt diese Hypothese fuer mich keine Rolle.

In der simplen Mathematik die sich nur mit Rechnen beschaeftigt spielt Gott keine Rolle.
Und daher rechne ich besonders gerne vor mich hin.
Ich wuerde auch gerne an keinen Gott glauben, aber das laesst meine Logik leider nicht zu.

Gruesse

[JoAx]

Zitat von richy

Wir sind alle alt genug um ein eigenes Weltbild zu vertreten.

Leider scheint es wirklich so zu sein, dass hier öfter des Weltbildes wegen gestritten wird.


Gruss