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  #11  
Alt 10.06.11, 10:43
Benjamin Benjamin ist offline
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Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Dann sehe ich nämlich ein Minkowski-Diagramm.
Bei einen Minkowski-Diagramm ist entscheidend, dass auf der y-Achse ct aufgetragen wird. Das soll aber nicht verwundern, weil der Minkowski-Raum ein vierdimensionaler Vektorraum ist mit 3 räumlichen Dimensionen und einer "zeitlichen", oder genauer: dem Produkt von Zeit und Lichtgeschwindigkeit.
Auch der Raum der komplexen Zahlen kann als Vektorraum aufgefasst werden.

In älterer, um nicht zu sagen alter, Literatur hat die y-Achse im Minkowski-Raum einen imaginären Charakter i*ct. Heute bevorzugt man aber die kontra- und kovariante Darstellung, womit auf die imaginägre Achse verzichtet werden kann.
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  #12  
Alt 13.06.11, 23:50
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Hallo Benjamin,
Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Die mathematisch genaue Definition von der imaginären Einheit i ist: i*i=-1
Hmmm ...
Damit man bei einer Multiplikation zweier Zahlen als Ergebnis eine negative Zahl erhält muß der eine Operand positiv und der andere negativ sein -> i müsste dementsprechend "beide Vorzeichen" in irgendeiner Art und Weise mitbringen.

1. i ist grundsätzlich bezüglich des Zustandes "Vorzeichen" als "unscharf" anzusehen: "Positiv" als auch "Negativ" sind gleichrangig zutreffend als auch nicht zutreffend.

2. Bei einer Multiplikation von i mit sich selbst kommt es zu einem Verschränkungszustand dergestalt, dass das Vorzeichen des einen i autromatisch das entgegengesetzte Vorzeichen beim anderen i bedingt (bzw. umgekehrt).

Außer dass das vermutlich völlig daneben klingt : Spricht irgendetwas Konkretes gegen eine solche Betrachtungsweise?

P.S.: Danke an alle für die anderen Beiträge - Ich habe sie mir schon einmal zu Gemüte geführt.
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  #13  
Alt 14.06.11, 00:55
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Zitat:
Spricht irgendetwas Konkretes gegen eine solche Betrachtungsweise?
Ja, weil es die einfache Erklaerung gibt, dass die Im-Achse senkrecht auf der Re-Achse steht. i ist der Vektor mit dem Betrag 1 auf dieser Im-Achse. Und nach der eulerschen Formel bedeutet Mutiplikation mit dem anderen i, dass unser Vektor um 90 Grad gedreht wird. Was erhalten wir somit als Ergebnis ?
Zitat:
1. i ist grundsätzlich bezüglich des Zustandes "Vorzeichen" als "unscharf" anzusehen: "Positiv" als auch "Negativ" sind gleichrangig zutreffend als auch nicht zutreffend.
i kann man schon als spezielles Vorzeichen betrachten. Am einfachsten ist es jede Zahl als Zeiger der komplexen Ebene zu betrachten. Und dann ist der Winkel phi ein kontinuierliches Vorzeichen.

Spezialfaelle :
**********
Positive Zahlen : phi=0, Symbol +
Negative Zahlen : phi=180 Grad, Pi, Symbol -
rein imaginare positive Zahl : phi=90 Grad,Pi/2, Symbol i
rein imaginare negative Zahl : phi=-Pi/2, Symbol -i


Ge?ndert von richy (14.06.11 um 01:18 Uhr)
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  #14  
Alt 14.06.11, 08:52
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Morgen richy,
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Ja, weil es die einfache Erklaerung gibt, dass die Im-Achse senkrecht auf der Re-Achse steht.
Ja - Aber liegt das nicht nur daran ...
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
i ist der Vektor mit dem Betrag 1 auf dieser Im-Achse.
... dass man sich "von vorneherein" festlegt?
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Und nach der eulerschen Formel bedeutet Mutiplikation mit dem anderen i, dass unser Vektor um 90 Grad gedreht wird.
Ja - "er verändert sich" mit / auf Basis der Durchführung der Berechnung: Jetzt "manifestiert sich" das Vorzeichen (?).
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Am einfachsten ist es jede Zahl als Zeiger der komplexen Ebene zu betrachten.
... Und die komplexe Zahl stellt dabei "das Messergebnis" dar. Und aus diesem Messergebnis kann man rückschließen, welche(s) Vorzeichen sich nun "geschärft" hat/haben: Es/Sie lag(en) aber nicht von Anfang an in dieser "geschärften" Ausprägung vor (?).

Aber das sind im Moment nur so Gedanken: Das sehe ich mir noch einmal genauer an und denke noch weiter darüber nach (Passt das zur Fundamentaldefinition i*i = -1?, ...)
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Und dann ist der Winkel phi ein kontinuierliches Vorzeichen.
Dann gäbe es aber nicht nur 0 (= Plus) oder 1 (= Minus) ... - Heruntergebrochen auf die Imaginärzahlen dann aber doch schon , denke ich (?):
180°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem Vorzeichen
# 90°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil und Realteil mit positivem Vorzeichen
# 180°>phi>90° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem, Realteil mit negativem Vorzeichen
180°<phi<360° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit negativem Vorzeichen
# 180°<phi<270° -> Imaginärteil und Realteil mit negativem Vorzeichen
# 270°<phi<360° -> Imaginärteil mit negativem Vorzeichen, Realteil mit positivem Vorzeichen

P.S.: Bedeutet eigentlich +i = (+1)*i bzw. -i = (-1)*i?
Oder meint man mit +i die von Dir als "rein positive Imaginärzahl" bezeichnete und mit -i die "rein negative Imaginärzahl" (so etwa im Sinne eines "absoluten Vorzeichens")?

Ge?ndert von SCR (14.06.11 um 10:21 Uhr)
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  #15  
Alt 14.06.11, 10:45
Benjamin Benjamin ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Damit man bei einer Multiplikation zweier Zahlen als Ergebnis eine negative Zahl erhält muß der eine Operand positiv und der andere negativ sein -> i müsste dementsprechend "beide Vorzeichen" in irgendeiner Art und Weise mitbringen.
Das sehe ich nicht so. Es handelt sich nämlich nicht um eine Multiplikation zweier verschiedener Zahlen, sondern um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Das heißt, beide Zahlen müssen dasselbe Vorzeichen haben.

Da keine reelle Zahl x die Gleichung x*x=-1 erfüllen kann, wurde eine Zahl i definiert, die genau diese Bedingung erfüllt.

Richy hat es gut formuliert. i ist eine Art Vorzeichen, und zwar in der Art wie -1 ein Vorzeichen darstellt. -i ist folge dessen eine Kombination beider Vorzeichen nämlich i*(-1).

Warum das so funktioniert, gründet in der Antwort auf die Frage, warum überhaupt minus mal minus Plus ergibt. Das ist streng genommen auch eine reine Definitionssache. Genau genommen eine Frage dessen, wie man die Rechenoperationen "mal" und "plus" definiert und ob sie dem Distributivgesetz und Assoziativgesetz gehorchen.

Siehe z.B. hier:

3*(-4) + 3*4 = -12 + 12 = 0 / *(-1)

(-1)*3*(-4) + (-1)*3*4 = (-3)*(-4) + (-3)*4 = ?12 - 12 = 0

Damit die Gleichung stimmt, muss -3 mal -4 plus 12 ergeben.
Dass die Gleichung diese Gestalt überhaupt erst annimmt, ist eine Folge unserer definierten Rechenregeln, insbesondere eine Folge des Distributiv- und Assoziativgesetzes.
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"Gott würfelt nicht!" Einstein

Ge?ndert von Benjamin (14.06.11 um 10:51 Uhr)
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  #16  
Alt 14.06.11, 11:36
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Hallo Benjamin,

ich sehe aber jetzt noch nicht ganz, was ich verletzten würde, wenn ich ausgehend von
i*i = -1
dem i erst einmal beide Vorzeichen gleichberechtigt (in einem "verschmierten" Zustand) zugestehen würde.
Und erst bei der Ausführung der Rechenoperation käme es zu einer Verschränkung dergestalt, dass wenn "links" das eine "rechts" zwangsläufig das andere auftreten muß: Plus mal Minus gibt Minus = Minus mal Plus gibt Minus

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Es handelt sich nämlich nicht um eine Multiplikation zweier verschiedener Zahlen, sondern um eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst.
Ja - eine Zahl mit zwei gleichberechtigten Vorzeichen ...
Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Das heißt, beide Zahlen müssen dasselbe Vorzeichen haben.
... vor Durchführung der Rechenoperation ist das Vorzeichen identisch - eben "verschmiert".

Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
i ist eine Art Vorzeichen, und zwar in der Art wie -1 ein Vorzeichen darstellt. -i ist folge dessen eine Kombination beider Vorzeichen nämlich i*(-1).
Danke ->
i*i=-1 | *(-1)
(-i)*i = 1.

Wenn ich mir i*i=-1 ansehe dann schaue ich zuerst nach rechts: Da sehe ich eine reele Zahl mit negativem Vorzeichen.
Damit eine Multiplikation zweier Zahlen ein negatives reeles Ergebnis erbringt muß eine positiv und die andere negativ sein.
Sehe ich nach links sehe ich, dass eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll um dieses negative Ergebnis zu erzielen: Das ist im reelen Zahlenraum nicht möglich.
"Das geht nur im Imaginären" - Da ist das Vorzeichen des i bis zur Durchführung der Rechenoperation ("Der Messung") verschmiert.

Analoge Logik lässt sich auch auf die Gleichung (-i)*i = 1 anwenden.

Wenn wir es einmal dahingestellt lassen würden, inwieweit meine Vorstellungen überhaupt sinnvoll sind oder nicht (und was sie bringen mögen), möchte ich doch noch einmal nachfragen:
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen?
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  #17  
Alt 14.06.11, 13:15
Hawkwind Hawkwind ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen?

Sie ist einfach sinnlos und unnötig; die Algebra der komplexen Zahlen ist wohldefiniert, ohne sie miteinander "verschmieren" zu müssen.
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  #18  
Alt 14.06.11, 13:47
Benjamin Benjamin ist offline
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Zitat:
Zitat von SCR Beitrag anzeigen
Würde ich mit dieser Vorstellung zum Verhalten des Vorzeichens im imaginären Zahlenraum denn gegen irgendetwas konkret widersprechen?
Zumindest dem gesunden Hausverstand würde ich sagen.

Zitat:
Und erst bei der Ausführung der Rechenoperation käme es zu einer Verschränkung dergestalt, dass wenn "links" das eine "rechts" zwangsläufig das andere auftreten muß:
Das ist in meinen Augen ein Widerspruch. Es gilt i²=-1. Wir haben nur ein i. Es gibt keine Unterscheidung zwischen "links" und "rechts".
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"Gott würfelt nicht!" Einstein

Ge?ndert von Benjamin (14.06.11 um 13:50 Uhr)
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  #19  
Alt 14.06.11, 13:58
SCR SCR ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Hallo Benjamin,
Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Zumindest dem gesunden Hausverstand würde ich sagen.
Das wäre also notfalls verschmerzbar ... Ich habe schließlich einen Ruf zu verlieren.
Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Wir haben nur ein i.
Da sprichst Du womöglich den entscheidenden Punkt an: Ich sehe da nämlich zwei Zahlen = zwei i.
Zitat:
Zitat von Benjamin Beitrag anzeigen
Es gibt keine Unterscheidung zwischen "links" und "rechts".
Ich versuche es einmal so auszudrücken:
Das würde bedeuten, das i wäre beidesmal exakt dasselbe (~ inkl. "scharfem" Vorzeichen) - und nicht "nur" das Gleiche (~ mit "unscharfem" Vorzeichen) ...

-> Laß' mich einmal darüber (meine Vorstellungen + Deine Äußerungen) nachdenken ...

EDIT: In diesem Kontext:
Zitat:
Zitat von wikipedia
Die Gleichung x²+1=0 hingegen kann keine reelle Lösung haben, da dazu die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl gezogen werden müsste, denn die Wurzel ist die Umkehrfunktion des Quadrierens – und Quadrate reeller Zahlen sind immer positiv. Ihre Lösungen sind +i und −i, zwei imaginäre Zahlen.
Zitat:
Zitat von wikipedia
Algebraisch wird i definiert als eine Nullstelle des Polynoms x² + 1, und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugte Körpererweiterung. Die zweite Nullstelle ist dann automatisch -i. Man kann sie aber erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit i bezeichnet hat. Da man sie aber ohnehin nicht unterscheiden kann, spielt es keine Rolle „welche“ Nullstelle man nun mit i bezeichnet.
Hmm ...

Ge?ndert von SCR (14.06.11 um 14:23 Uhr)
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  #20  
Alt 14.06.11, 15:30
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richy richy ist offline
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Standard AW: Math - Rechnen mit imaginären Zahlen

Zitat:
# 90°>phi>0° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil und Realteil mit positivem Vorzeichen
# 180°>phi>90° -> Komplexe Zahl: Imaginärteil mit positivem, Realteil mit negativem Vorzeichen ...
Genau ! Du hast es doch verstanden. Zuvor war eine Zahl ein Punkt auf der Zahlengeraden. Eine komplexe Zahl ist nun ein Punkt in der Ebene, zweidimensional. Nimm mal die Grafik oben und stelle dich in den Nullpunkt.
Stell dir dabei vor es waere eine Aufnahe aus der Vogelperspektive !

Vor dir liegen die positiven Zahlen. Die Menschen in der Steinzeit kannten keine negativen Zahlen. Es genuegte ihnen nur nach vorne zu schauen. Aber dann kam : Ich habe zwei Steine und gebe dir drei davon. Mir bleibt minus ein Stein. Wenn man immer nur nach vorne schaut gibt es keine -1. Ahhh man muss in die andere Richtung schauen. Dennoch gibt es keinen "minus ein Stein". Es gibt aus materieller Sicht keine Schulden. Aber wenn mein Steinzeitclan wieder an Alle Steine verteilt, dann koennte mein "minus ein Stein" bedeuten, dass ich nun einen weniger bekomme.
Genauso ergibt der Vorgang i*i wieder eine reelle Zahl.

Schauen wir mal zu minus eins und dem Vorgang (-1)*(-1)=1. Sind -1 oder 1 irgendwie unscharf ? Noe. Aber wie drehen wir uns eigentlich um ?
Wenn wir nur "hinten" und "vorne" kennen koennten wir uns sagen, dass der Punkt -1 nach Null hin wandert und von dort zum Punkt, der Zahl eins.
So drehen wir uns aber nicht um Bei dem Vorgang schauen wir auch in ganz andere Richtungen. Nach links oder rechts. Koennten hier nicht auch Zahlen liegen ? Und in der komplexen Ebene in der du gerade stehst ist es so.
-1*-1 entspricht hier einem negativen Stab der Laenge 1, den du um 180 grad drehst.

"Multipliziere mit -1" bedeutet dann : "Drehe dich um". Pi
"Multipliziere mit i" bedeutet dann : "Drehe dich halb um". Pi/2 oder schaue nach links.
Allgemein.
"Multipliziere mit a+i*b" bedeutet dann : "Drehe dich um arctan(b/a).
Und multiplizierde die Stablaenge (Betrag) mit Wurzel(a^2+b^2)

Ge?ndert von richy (15.06.11 um 01:52 Uhr)
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