Gravitation in einer hohlen Kugel

[Jogi]

Hi EvB.

Zitat von Eyk van Bommel

Was ist denn nun das Skalarfeld?

Das homogene und isotrope Potential.
Eine Probemasse erfährt hier keine Beschleunigung, aber eine ZD!


Gruß Jogi

[Eyk van Bommel]

Das homogene und isotrope Potential.

Und wo ist da nun Raumzeit
Wie unterscheidet sich mathematisch/geometrisch die Raumzeit in unterschiedlichen Hohlkugeln?

Homogene Raumzeit - das ist ja O.K

Aber was ist das Potential der Raumzeitstruktur

Insbesondere wenn es keine Krümung gibt?

Gruß
EVB

[Jogi]

Hi EvB.

Zitat von Eyk van Bommel

Und wo ist da nun Raumzeit

Ich hoffe, du weißt, wie ich's meine:
Raumzeit ist überall, nur eine Krümmung ist nicht zwingend.

Wie unterscheidet sich mathematisch/geometrisch die Raumzeit in unterschiedlichen Hohlkugeln?

Mehr Masse - höheres Potential - stärkeres Skalarfeld (und damit auch stärkere ZD, oder auch Zeitkrümmung genannt).
Durch die Isotropie gibt es halt keine Raumkrümmung, also auch keine resultierende Beschleunigung.

Homogene Raumzeit - das ist ja O.K

Aber was ist das Potential der Raumzeitstruktur

Das ist die Grav.-Energiedichte.
Der Gravitationsdruck, sozusagen.

Insbesondere wenn es keine Krümmung gibt?

Dann wirkt dieser Druck aus allen Richtungen gleichstark.
Es gibt dann, wie gesagt nur eine Zeitkrümmung, keine Raumkrümmung.


Gruß Jogi

[JoAx]

Zitat von Jogi

Durch die Isotropie gibt es halt keine Raumkrümmung, also auch keine resultierende Beschleunigung.

Das sehe ich anders, Jogi.
Es gibt keine Raumzeitkrümmung, meine ich. Andernfalls könnte imho LG lokal gemessen nicht überal gleich sein.


Gruss, Johann

[JoAx]

Hallo Eyk!

Zitat von Eyk van Bommel

Skalarfeld?

Was ist überhapt ein Feld?
Das ist zunächst ein Stück Land, auf dem ein Bauer Nahrungsmittel produzieren kann.
Geschickterweise ist so ein Feld mit einem instrument, wie in etwa so einem:



vermessen - es hat Länge und Breite. Das entspricht aber erst einem Bezugssystem in der Physik. Andererseits sind Länge und Breite nicht die
einzigen Eigenschaften so eines "Bauernfeldes", denn in der Regel ist dieses nicht eben - hat an unterschiedlichen Stellen unterschiedliche
Höhen. Um diese Information zu erfassen, kann man entweder eine 3D-Abbildung des Bauernfeldes anfertigen, oder die entsprechende Höhe an den entsprechenden Positionen als eine Zahl (ungerichtet, skalar) eintragen. So etwas ist dann auch ein Skalarfeld im mathematischen/physikalischen Sinne. Wenn man jetzt noch davon ausgeht, was in der Physik als Forderung an ein Feld formuliert wird, dass dieses Feld stetig und differenzierbar ist, sich also nicht sprunghaft verändert, und nirgends zwei unterschiedliche Werte hat ("Felsvorsprünge"), dann gibt es zwischen zwei Punkten mit der gleiche Höhe immer einen Weg, auf dem sich diese Höhe nicht ändert. Diese "Wege" heissen Equipotentiallinien (Linien mit dem gleichen Potential).
Die blauen Linien auf der Karte sind solche:



Oder wenn wir ein 3D-Feld betrachten - Equipotentialflächen. So stellt die Oberfläche der Erde (wenn wir diese als Oberfläche einer idealen Kugel betrachten) eine Equipotentialfläche für ihr eigenes Gravitationspotential dar.

Das ist aber noch nicht alles!
Mit nun erhaltenen Skalarfeld, kann man an ein Vektorfeld gelangen, welches uns etwas über die Steigung und ihre Richtung an den einzelnen Stellen des "Bauernfeldes" verrät. Man erkennt dieses im oberen Bild schon dadurch, dass die Equipotentiallinien einen Abstand voneinander haben. Grösserer Abstand bedeutet kleinere Steigung, kleiner Abstand entsprechend grössere Stegung. Mathematisch gesehen muss auf das Skalarfeld der Gradient angewendet werden. Interessant ist nun, dass die Information über die absoluten Werte des Skalarfeldes dabei "verloren" geht. Du kannst von den auf der Karte eingetragenen Werten für Höhe beliebige Werte abziehen oder dazu addieren (bei allen natürlich) das wird auf das Vektorfeld keinen Einfluss haben. Da sind nur die relativen Höhen-/Potentialunterschiede zur unmittelbaren Nachbar-schaft von Bedeutung.

Mathematisch:

Wir haben z.B. zwei Potentiale f1(x) und f2(x) die durch die Formeln:

f1(x) = 5x^2 bzw. f2(x) = 5x^2 + 1000

definiert sind. Dann wären die Vektorfelder durch die Ableitungen definiert:

f1'(x) = 10x bzw. f2'(x) = 10x

Siehe da! Die sind gleich! Weil die Ableitung von einer Konstante Null ist.
Und deswegen gibt es auch kein Gravitationsfeld, wenn das Gravitationspotential überall gleich, konstant ist.

So in etwa.

Gruss, Johann

[Eyk van Bommel]

Ich hoffe, du weißt, wie ich's meine:

Ich weis wie Du (Wir) es siehst(sehen). Aber ich frage explizit, wie man es mit der Raumzeit darstellen kann.

Raumzeit ist überall, nur eine Krümmung ist nicht zwingend.

Hier doch wohl schon? Zwar keine Raum- aber eine Zeitkrümmung. Und mit der Raumkrümmung bin ich mir auch nicht ganz sicher.
@JoAx

Es gibt keine Raumzeitkrümmung, meine ich. Andernfalls könnte imho LG lokal gemessen nicht überal gleich sein.

Wieso denn nicht? Die Zeitkrümmung ist nur identisch an jedem Punkt. Wir auf der Erde messen Lokal immer c und "leiden" unter einer ZD
Weiter..

Das ist die Grav.-Energiedichte.

Was ist Grav.-Energiedichte in Raumzeit? Doch nichts anderes wie Krümmungsstärke

Dann wirkt dieser Druck aus allen Richtungen gleichstark.

Nun das wäre wieder ein anders Modell! Und ich halte Druck für den falschen Ausdruck.

Es gibt dann, wie gesagt nur eine Zeitkrümmung, keine Raumkrümmung.

Ich bin mir nicht sicher, ob man nicht auch von einer Raumkrümmung sprechen kann. Aber die ZD habe ich ja auch erwartet.

Ich habe nur das Gefühl, dass eine Veränderung der Hohlkugelmasse einee Art SRT-Effekt erzeugt. Zwei Beobachter die gemeinsam in der Kugel nach „oben steigen“, würden sich gegenseitig so wahrnehmen, als würden Sie sich entfernen.

Ganz direkt: Zwei Beobachter die sich in einer Hohlkugel befinden, während das Potential abnimmt, hätten das Gefühl, dass der Raum zwischen Ihnen wächst.

Gruß
EVB

[JoAx]

Hallo Eyk!

Zitat von Eyk van Bommel

Wieso denn nicht? Die Zeitkrümmung ist nur identisch an jedem Punkt.

Du meinst eher, die ZD verglichen mit einer Position ausserhalb der Hohlkugel wäre überall gleich. (?)
Du darfst dich von den von SCR geäusserten Überlegungen nicht irretieren lassen. (Auch dann nicht, wenn diesen bis dato nicht widersprochen wurde.)
Ich behaupte jetzt mal, dass es keine Zeitkrümmung ohne Raumkrümmung gibt. Und wenn es ZD gibt, dann geht diese auch mit Längenkontraktionen einher. (imho)


Gruss, Johann

[SCR]

Hi EVB,

Zitat von JoAx

Du darfst dich von den von SCR geäusserten Überlegungen nicht irretieren lassen.

Da hat JoAx (ausnahmsweise ) einmal Recht.

Zitat von JoAx

Ich behaupte jetzt mal, dass es keine Zeitkrümmung ohne Raumkrümmung gibt. Und wenn es ZD gibt, dann geht diese auch mit Längenkontraktionen einher.

Das eek und IMHO kannst Du streichen (wie ich es schon bei Deinem Zitat getan habe): Es IST so wie Du sagst.
Denn Raum und Zeit bilden eine Einheit.
Und das ist weder ein Scherz noch soll es eine "Anspielung aus aktuellem Anlass" sein: Genau hier erfährt diese Aussage ihren konkreten Kontext und deshalb gehört sie genau hierher.

[Jogi]

Hi Johann.

Zitat von JoAx

Das sehe ich anders, Jogi.
Es gibt keine Raumzeitkrümmung, meine ich. Andernfalls könnte imho LG lokal gemessen nicht überal gleich sein.

Die Zeitkrümmung entspricht doch der Zeitdilatation?
Und die wiederum ist eine Funktion der Masse, also ist die Zeit in einer massereicheren Kugel stärker gekrümmt/dilatiert als in einer gleichgroßen, aber masseärmeren.
Lg wird lokal immer mit c gemessen, weil, wie du richtig bemerkt hast, Längen im gleichen Maße kontrahiert werden, wie die Lichtlaufzeit verzögert wird.


Da die sphärisch verteilte Masse in ihrem Inneren eine pseudoeuklidische (Raum-)Metrik herstellt, gibt es keine "krummen" Geodäten, oder, wie du auch so schön beschrieben hast, keine unterschiedlichen Äquipotentiallinien, und auch keine unterschiedlichen Abstände zwischen diesen.
Eine Probemasse in der Kugel würde nirgendwo hin beschleunigen.
Das meinte ich mit fehlender Raumkrümmung.
Vielleicht sollte man besser fehlende äußere Raumkrümmung sagen.
Die Längenkontraktion durch das Grav.Potential entspräche dann einer inneren Raumkrümmung?

- Wie dem auch sei, ich tu' mich mit den Krümmungen eh' schwer, mit Potentialflächen und ihren Abständen zueinander find' ich's anschaulicher.


Könnte man zwei gleichgroße, aber verschieden massereiche Hohlkugeln innen jeweils mit einer von zwei zuvor außerhalb synchronisierten Uhren bestücken,
würden die beiden nach einiger Zeit eine Differenz aufweisen.
Aber keine würde irgendwo an die Wand knallen.
Mit steigender Masse der Kugelschale würde bloß irgendwann der Kollaps eintreten, die Wände würden also gegen die Uhr knallen, die aber ihrerseits auch kollabiert und sich so immer weiter nach innen "rettet".
Aber laufen würde die Uhr dann nicht mehr...


Gruß Jogi

[Jogi]

Hi EvB.

Zitat von Eyk van Bommel

Zwei Beobachter die gemeinsam in der Kugel nach „oben steigen“, würden sich gegenseitig so wahrnehmen, als würden Sie sich entfernen.

Ganz direkt: Zwei Beobachter die sich in einer Hohlkugel befinden, während das Potential abnimmt, hätten das Gefühl, dass der Raum zwischen Ihnen wächst.

Die hätten nicht nur das Gefühl, das wäre tatsächlich so.
Auch die Kugel würde wachsen, eben weil der Grav.-Druck abnimmt.


Gruß Jogi