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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander!

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  #1  
Alt 13.10.09, 02:06
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Standard Math - Zahlenspielerei

Was passiert eigentlich wenn man statt der Fib Folge :
y[k+2]=y[k+1]+y[k]
das Produkt verwendet
y[k+2]=y[k+1]*y[k]

Ueber den ln erhaelt man eine Art Fib Folge :
ln(y[k+2])=ln(y[k+1]*y[k])
ln(y[k+2])=ln(y[k+1])+ln(y[k])
ln(y[k+2])/ln(y[k+1])=1+ln(y[k])/ln(y[k+1])

Substituiert man s=[k+1]=ln(y[k+2])/ln(y[k+1])
s[k+1]=1+1/s[k]
Diese Iteration konvergiert bekanntlich gegen den goldenen Schnitt
D.h. ln(y[k+2])/ln(y[k+1])=goldener Schnitt fuer n->00

Die Erklaerung ist relativ einfach. Das Produkt besteht aus Potenzen deren Exponent die Fib Reihe darstellen. Durch das Logarithmieren entsteht der Fib Quotient und die Basis kuerzt sich zu eins
x[1]=a, x[2]=b

ln(x[k+1])/ln(x[k])=ln(b^(fib(k+1)*a^(fib(k))/ ln(b^(fib(k)*a^(fib(k-1))=
[ln(b^(fib(k+1))+ln(a^(fib(k)]/[ ln(b^(fib(k))+ln(a^(fib(k-1)))]=
[fib(k+1)*ln(b)+fib(k)*ln(a)]/[fib(k)*ln(b)+fib(k-1)*ln(a)]=
(limit k->oo)
fib(k+1)*[ln(b)+fib(k)/fib(k+1)*ln(a)]/[fib(k)*[ln(b)+fib(k-1)/fib(k)*ln(a)]]=
g*[ln(b)+ln(a)/g][ln(b)+ln(a)/g]
=g=0.5*(1+Wurzel(5))
****************
Kann man die Eigenschaft fuer Primzahlen anwenden ?
Ich vermute der Quotient zweier Primzahlen ist meist eine schlechte Naeherung des goldenen Schnittes.
3,2 sind natuerlich Ausnahmen.
D.h. Zwei aufeinanderfolgende Fib Zahlen sind selten zwei Primzahlen.
EDIT
Danach habe ich gerade gegoogelt. Naja auch ich habe auch mal eine gute Nase :-)
http://www.thorstenreinecke.de/infor...00000000000000
Zwei aufeinanderfolgende Fib(n) Zahlen, n>4 sind niemals zwei Primzahlen
Denn n und n+1 sind niemals zwei ungerade Zahlen.

ANM:
Eiigentlich betraf meine Vermutung den ln[] der Primzahlen
und
Kann man den Operator f{} einer DZGL x[k+1]=f{x[k],x[k-1]} in eine Summe zerlegen, so dass gilt f(x[k+1])=f(x[k])+f(x[k-1]) oder ein Produkt f(x[k])*f(x[k-1]) so laesst sich der Grenzwert des Quotienten zweier Glieder der Folge bestimmen.

Ge?ndert von richy (13.10.09 um 08:01 Uhr)
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  #2  
Alt 13.10.09, 09:27
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Bauhof Bauhof ist offline
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Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Kann man den Operator f{} einer DZGL x[k+1]=f{x[k],x[k-1]} in eine Summe zerlegen, so dass gilt f(x[k+1])=f(x[k])+f(x[k-1]) oder ein Produkt f(x[k])*f(x[k-1]) so laesst sich der Grenzwert des Quotienten zweier Glieder der Folge bestimmen.
Hallo Richy,

ich denke man darf zerlegen, so lange die Summe endlich bleibt.

M.f.G. Eugen Bauhof
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Ach der Einstein, der schwänzte immer die Vorlesungen –
ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

Hermann Minkowski
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  #3  
Alt 13.10.09, 11:10
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richy richy ist offline
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Hi Bauhof
Ich wollte damit nur festhalten, dass diese Reduzierung der DZGL 2 ter Ordung speziellen Form auf die DZGL 1 ter Ordnung :
s[k+1]=1+c/s[k]
die dann den Grenzwert einer Funktion zweier folgender Glieder der DZGL 2 ter Ordung angibt eventuell auch mit anderen Operatoren statt dem ln() moeglich ist.

Hier war das einfach :
y[k+2]=y[k+1]*y[k]
ln(y[k+2])=ln(y[k+1]*y[k])
Der Logarithmus fuehrt auf die gewuenschte Summe :
ln(y[k+2])=ln(y[k+1])+ln(y[k])
Und ich kann sofort angeben, dass ln(y[k+2])/ln(y[k+1])
gegen den goldenen Schnitt konvergiert.
Ist auch so wenn man das ausprobiert.

Faell dir noch ein anderer Operator auf eine Funktion ein der diese von mir bischen schwammig formuliert Eigenschaft hat ?

Im Moment interessiert mich aber auch was anderes zu der Fib DZGL.
Ist fib(n) eine Primzahl ist n eine Primzahl
fib(13)=233 (prim)
Aber fib(233)=22112364063039145456994129697448739933879 56988653
nicht prim
denn der Satz gilt leider nicht umgekehrt.
fib(2211236406303914545699412969744873993387956988 653) waere eine gigantische Zahl.

Im Prinzip ist das doch aehnlich wie bei den Mersenne Primzahlen.
Wenn 2^p-1 eine Primzahl ist ist auch p eine Primzahl.
Und ich kann eine Fibonacci DZGL fuer 2^n formulieren:
y[0]=1,y[1]=2
y[k+2]=y[k+1]+2*y[k]
hat die Loesung
y[k]=2^k
Da muss doch ein Zusammenhang bestehen. Blos das minus 1 fehlt mir
Hast du eine Idee ?

Zwischen Fib DZGL und Primzahlen gibt es einen Zusammenhang und sicherlich auch zu Quadratzahlen.
Es lassen sich auch ander Loesungen y[k]=n^k konstruieren
Das sieht man ueber
s[k+1]=1+a/s[k]
Der Attraktor ist
s[k+1]-s[k]=
1+a/s[k]-s[k]=0
s1=1/2+1/2*(1+4*a)^(1/2)
s2=1/2-1/2*(1+4*a)^(1/2)

EDIT HAT SICH ERLEDIGT
Der Attraktor kann nur ganzzahlig sein wenn git (1+4*a) ist eine Quadratzahl also (1+4*a)=m^2
a=(m^2-1)/4
Hier (b3) hab ich mal (recht schnelll und unkonventionell) bewiesen dass m^2+4 keine Quadratzahl sein kann :
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/frac.htm
Das hillt mir gerade aber nicht weiter

Dann muss man noch bischen die Anfangswerte anpassen und erhaelt z.B :

f(0):=1;f(1):=3;
f(n) = f(n-1)+6*f(n-2)
f(n)=3^n

f(0):=1;f(1):=5;
f(n) = f(n-1)+20*f(n-2);
f(n)=5^n

allgemein :
f(0):=1;f(1):=m;
f(n) = f(n-1)+((2*m-1)^2-1)/4*f(n-2)
f(n)=m^n

so ganz blicke ich das noch nicht ..
((2*m-1)^2-1)/4 scheint immer ganzzahlig. Warum das denn ? Sogar geradzahlig. kratz kratz.
ciao

Ge?ndert von richy (15.09.10 um 08:47 Uhr)
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  #4  
Alt 13.10.09, 12:38
SCR SCR ist offline
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Hallo richy,
Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
so ganz blicke ich das noch nicht ..
((2*m-1)^2-1)/4 scheint immer ganzzahlig. Warum das denn ? Sogar geradzahlig. kratz kratz.
löse einmal die enthaltene binomische Formel auf (s.o.) - Dann kommt raus:
((2*m-1)^2-1)/4 = m² - m
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  #5  
Alt 13.10.09, 12:43
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
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Danke :-)
Habs eben auch grad bemerkt :-)
Und daher ist (1+4*a) immer eine Quadratzahl wenn gilt a=m^2-m denn
1+4*a=4*m^2-m+1=(2*m-1)^2
Das sind die Quadrate ungerader Zahlen.
(Gibt es eine Ausgangsgleichung fuer gerade Zahlen ?)

EDIT HAT SICH ERLEDIGT
Aehem.... vielleicht kannst du mir jetzt auch erklaeren wie wir da drauf gekommen sind ?
Fuer welche ganzahligen a ist 1+4*a immer eine Quadratzahl ?
Ohne das Aussenrum wuerde ich nicht gleich auf a=m^2-m kommen

Schreibt sich nun auch schoener :
allgemein :
f(0):=1;f(1):=m;
f(k) = f(k-1)+(m^2-m)*f(k-2)
f(k)=m^k

Ge?ndert von richy (03.11.11 um 20:03 Uhr)
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  #6  
Alt 13.10.09, 14:35
SCR SCR ist offline
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Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
Aehem.... vielleicht kannst du mir jetzt auch erklären wie wir da drauf gekommen sind ?
Gerne: Du hattest eine Frage gestellt und ich habe Dir geantwortet.
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  #7  
Alt 13.10.09, 15:23
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Ich meinte eher wie sich die ganze Loesung jetzt ergab. Ich hab naemlich den roten Faden verloren.

Anders gefragt. Wie wuerdest du folgende Aufgabe loesen :
Gegeben ist die Gleichung
1+a/s-s=0

Fuer welche ganzzahligen Werte von a ergeben sich ganzzahlige positive Werte der Loesung s ?
Ui ich Seggel, jetzt sehe ich es selber.
Das mit den Quadratzahlen kriegt man dann als kostenlose Zugabe.
Will ich dennoch nochmal mit ner anderen Methode probieren.

Die DZGL funktioniert im Grunde voellig billig.
f(0):=1;f(1):=m;
f(k) = f(k-1)+(m^2-m)*f(k-2)
f(k)=m^k

Man kennt den aktuellen und vorherigen Wert.
Mit dem vorherigen Wert fuehrt man zwei Operationen durch (m^2-m):
ueber den Term -m loescht man den aktuellen Wert
ueber den Term m^2 erzeugt man den neuen aktuellen Wert
Thats all
Nur wie komme ich jetzt auf f(n)=(2^k)-1 (Mersenne Primzahlen) statt f(n)=(2^k)

Ge?ndert von richy (03.11.11 um 20:05 Uhr)
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  #8  
Alt 13.10.09, 15:47
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Ich versuchs mal :
Im aktuellen Wert steht 2^k-1
im vorherigen Wert steht 2^(k-1)-1
Aus dem moechte ich alle Operationen durchfuehren :

aktuellen Wert loeschen :
-2* (2^(k-1)-1)= -2^(k)+2. Da hab ich eine eins zu viel
neuen Wert hinzufuegen :
2*2*(2^(k-1)-1)=2^(k+1)-4. Da hab ich 3 zu wenig

eins minus drei hmmmm MOMENT ich starte mal MAPLE
1-3=-2, ja genau das dachte ich mir
Ich muss also 2 wieder dazuzaehlen

Die Anfangswerte noch anpassen :
f(0):=0;f(1):=1;

f(k+1) = f(k)+(4-2)*f(k-1)+2
******************
f(n)=2^k-1
*********
Traerae die Mersenne Primzahlen ueber die Fib DZGL dargestellt !

Die Saetze
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
basieren somit sicherlich auf dem selben oder aehnlichen Prinzip.
Und man koennte fuer beide Saetze die Beweismethoden vertauschen.

Ge?ndert von richy (15.09.10 um 02:58 Uhr)
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  #9  
Alt 13.10.09, 16:00
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Bauhof Bauhof ist offline
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Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
fib(k+1)*[ln(b)+fib(k)/fib(k+1)*ln(a)]/[fib(k)*[ln(b)+fib(k-1)/fib(k)*ln(a)]]=
g*[ln(b)+ln(a)/g][ln(b)+ln(a)/g]
=g=0.5*(1+Wurzel(5))
****************
Hallo Richy,

was steht für den Buchstaben "g" in der Gleichung

g=0.5*(1+Wurzel(5)) ?

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Deine Herleitungen erinnern mich an meine Verzweiflung, wenn ich in Mathematik-Bücher reinsehe, die zu hoch für mich sind und der Autor kündigt eine Herleitung an mit den Worten:

Wie man leicht sieht...

Ich habe zwar auch Interesse an mathematischen Spielereien, aber meine Mathematik-Ausbildung an der Ingenieurschule liegt rund 45 Jahre zurück. Also Nachsicht...
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ihm hatte ich das gar nicht zugetraut!

Hermann Minkowski
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  #10  
Alt 13.10.09, 17:19
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Hi Bauhof

Zitat:
Was steht für den Buchstaben "g" in der Gleichung
Das ist phi, ich schreibe vereinfacht meist g. Das ist die boese Zahl der Esoteriker Bildhauer Maler Musiker Dichter ....
Und natuerlich meine Lieblingszahl : Der goldene Schnitt phi=1.618033989..
(Bilde davon mal den Kehrwert und betrachte die Nachkommastellen :-) Daraus habe ich ein Schnellkriterium fuer die Identifikation irrationaler Zahlen hergeleitet. (Nur hinreichend nicht notwendig)

phi ist Loesung der quadratischen Gleichung Gleichung 1+1/s-s=0
Ich merke mir die GL in der Form, weil das der Attraktor folgender DZGL ist :

Zitat:
f[k+1]=1+1/f[k] (Die DZGL ist uebrigends weniger bekannt )
Wenn du diese Iteration als verkettete Funktion anschreibst, Also fuer f[k] immer wieder die rechte Seite einsetzt, was ja so eine Iteration aussagt ...dann ist Phi der spezielle Kettenbruch [1,1,1,1,1,1...]



http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch
und darueber laesst sich zeigen, dass phi die als Bruch am schwersten approximierbare und daher "irrationalste" aller Zahlen ist.
Das hat ganz konkrete physikalische Auswirkungen. So findet sich phi nicht nur in platonischen Koerpern sondern auch in Verhaeltnissen im Sonnensystem. phi ist ein Antiresonator und nur daher kann unser Sonnensystem ueberhaupt stabil sein.
Phi kommt neben Pi auch als einzigste mathematische Konstante in der Heim Theorie vor.

Eine der wichtigsten Eigenschaften duerfte sein :

Satz1
Zitat:
Teilt man zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen,
y[0]=1,y[1]=1,
y[k+1]=y[k]+y[k-1] so konvergiert der Bruch fuer k->00 gegen phi.
Das ist der selbe Bruch der s[k+1]=1+1/s[k], s[0]=1 oder der Kettenbruch von phi erzeugt.
Substitution
Das siehst du am elegantesten wenn du fuer s(k)=y(k+1)/y(k) substituerst. Darauf beruhen meine ganzen Ueberlegungen hier.
Der erste Thread erscheitkompliziert benutzt aber nur Satz 1 und die Substitution.

(1+1/s = (s+1)/s =1/s/(s+1) ist der Kehrwert der alternierenden Reihe s-s^2+s^3-s^4+s^5 ... Man koennte phi auch so noch verkettet darstellen.)

Man koente natuerlich hunderte Buecher ueber das Thema schreiben.
oder zeichnen


[
Zitat:
Ich habe zwar auch Interesse an mathematischen Spielereien, aber meine Mathematik-Ausbildung an der Ingenieurschule liegt rund 45 Jahre zurück. Also Nachsicht...
Bin auch "nur" Ingenieur.
Na immerhin hattest du den entscheidenden Tipp mit der Summe(1/primzahl). Hatte ich nicht mehr im Kopf. Und ohne den Tipp wuesste Timm immer noch nicht ob sein Produkt divergiert.

Was ich jetzt noch Vorhabe :
Ist Fib(n) eine Primzahl, so ist n eine Primzahl sowie
Ist 2^n-1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl
Beide Beweise versuchen Nachzuvollziehen.
Hast du den mit den Mersenne Pimzahlen in etwa parat ? Oder ne verstaendliche Quelle.

Dann wuerde ich gerne noch paar frac() Gesetze herleiten.
frac() = Nachkommastellen einer Zahl.
Vielleicht ergibt sich auch etwas voellig anderes.

ciao

Ge?ndert von richy (13.10.09 um 20:21 Uhr)
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