Math - Die Konvergenz von Potenzreihen

[Timm]

Im Kapitel 4.3 Die Konvergenz von Potenzreihen seines Buches "Der Weg zur Wirklichkeit" gibt Roger Penrose die Summe der Reihe

1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... = 1/(1 - x^2)

an. Für x=1/2 ist die Summe leicht einsehbar 4/3, für x=2 ist sie jedoch -1/3. Oha! Also nicht unendlich! Anstelle einer für den Leser plausiblen Erklärung verweist Penrose hier auf einen Hardy (1949).

Weiß jemand, wie das zu verstehen ist?

P.S. Ich habe nur eine Kopie dieses Kapitels, des Rest des Buches kenne ich nicht.

[richy]

Hi
Auf den ersten Blick wuerde ich sagen Hardy ist der Weihnachtsmann oder der Osterhase.
Wenn ich in Maple eintippe :
S:=sum(x^(2*k),k=0..infinity);
erhalte ich
S=-1/(x^2-1)

Ich hab gleich hinterher reingetippt :
Why?;
Graf Maple meint dann aber nur trocken :
Syntax error, character `?` unexpected

Also wenigstens fuer welchen Konvergenzradius ?
Tippe ich ein :
S=sum(2^(2*k),k=0..infinity);
erscheint erwartungsgemaess die Antwort :
S=infinity

Oder allgemeiner :
S:=sum(x^(2*k),k=0..N);
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Bei Herrn Penrose / Hardy muesste (x^2)^(N+1) / (x^2-1) gegen Null streben.
*Schulter zuck (Ist Hardy wirklich kein Scherz ?)

[Timm]

Hi richy,

ich war fast sicher, daß Du aufspringst.

Zitat von richy

*Schulter zuck (Ist Hardy wirklich kein Scherz ?)

Nein, aber vielleicht steht im Register etwas über Hardy, das kriege ich noch raus.

Hier noch 2 Textstellen, die zumindest mir allerdings auch nicht weiterhelfen:

S. 122: Im Fall x=2 ist es nicht so, daß die "Antwort" unendlich wäre, sondern so, daß wir diese Antwort nicht erreichen können, indem wir unsere Reihenglieder aufsummieren.... Erinnern wir uns an das überzeugende Beispiel der logischen Absurdität, eine reelle Lösung für die Gleichung x^2 + 1 = 0 zu finden. Es gibt keine, aber wenn wir uns damit zufrieden geben, verpassen wir all die tiefen Einsichten, die die Einführung der komplexen Zahlen mit sich brachte. Man kann nämlich der Antwort -1/3 durchaus einen mathematische Sinn geben, aber man muß die Regeln beachten, die besagen, was erlaubt ist, und was nicht. Ich habe nicht die Absicht diese Dinge hier im Einzelnen zu erörtern, (8)=Fußnote Hardy, weise aber darauf hin, daß uns besonders im Bereich der Quantenfeldtheorie oft divergente Reihen dieser Art begegnen.

Reichlich kryptisch das alles,

Gruß, Timm

[richy]

Hi Timm
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2

1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3
Wenn ich einen EUR auf die Bank lege und potentiell diesem immer hoehere Betraege zufuege habe ich nach unendlich langer Zeit Schulden.
Keine guten Aussichten fuer Bausparer aber die Finanzkrise wuerde dies sogar bestatigen :-)
Blos wuerde man hier aufgrund des "physikalischen" Vorgangs die Modellgleichung korrigieren muessen. Das meint Herr Penrose sicherlich nicht.

Der Geldvernichtungseffekt tritt sicherlich nur beim Grenzuebergang ein.
Dazu wuerde mir einfallen, dass solche Grenzuebergaenge induktiv begruendet werden muessen. Ich kann infinity ja nicht wie eine Zahl behandeln. Ueber die allgemeine Gueltigkeit der Induktion hat sich Herr Hume schon reichlich den Kopf zerbrochen. Ich meine aber nicht, dass die Mathematiker begeistert darueber waeren wenn Herr Penrose das Induktionsproblem hier erneut zur Debatte stellt.

Bezeichnenderweise wird das Ergebnis auch noch negativ !
Die uebliche Loesung lautet :
S:=sum(x^(2*k),k=0..N);
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Wir muessen also "nur noch" den Term (x^2)^(N+1) / (x^2-1) auf magische Weise verschwinden lassen.
- 1/(x^2-1) enthaelt keinen Grenzuebergang und bleibt dann uebrig. Immerhin :-)
(x^2-1) ist fuer x=2 gleich 3 . Naja wenn der Nenner angeblich gegen Null "strebt" ist es egal ob ich 0/3 oder 0 betrachte.

Bleibt S=(x^2)^(N+1)=4^(N+1)
Wenn ich jetzt behaupte, dass der Ausdruck gegen Null strebt mache ich mich doch laecherlich oder ?
Vielleicht rechnet Penrose hier im Komplexen. Mit dem Resuduensatz.
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz
Allerdings komme ich hier auch nicht auf den Wert 0
Da Herr Penrose mit Quaternionen bewandert ist, hat er vielleicht einen Resuduensatz im Quaternionenraum verwendet.Auf so etwas tippe ich am ehesten. Fasst man die reellen Zahlen als eine Verallgemeinrung von Quaternionen auf oder als Teil eines Hardy Raumes gelten vielleicht andere Grenzwertsaetze. Penrose Twistoren stellen eine Abbildung der Raunzeit auf einen Quaternionenraum dar. Das wuerde passen.

Ansonsten habe ich keinen blassen Schimmer wie er sein neues Ergebnis begruenden koennte
Es interessiert mach aber natuerlich auf jeden Fall.

Grad gesehen :
Diesen Hardy kenne ich sogar von Mathematikbuechern. Das ist der Entdecker von Srinivasa Ramanujan.
http://de.wikipedia.org/wiki/Godfrey_Harold_Hardy
Im englischen Wiki gibt es weiterfuehrende Links :
EDIT
http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy

Interessantes verstaendliches PDF zu Quaternionen.
http://arxiv4.library.cornell.edu/ft.../0709.2238.pdf
Gruesse

[Timm]

Hi richy,

Zitat von richy

1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2

1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3

Bezeichnenderweise wird das Ergebnis auch noch negativ !
Die uebliche Loesung lautet :
S:=sum(x^(2*k),k=0..N);
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Wir muessen also "nur noch" den Term (x^2)^(N+1) / (x^2-1) auf magische Weise verschwinden lassen.

Vielleicht bist Du der Lösung aber damit näher gekommen! Allerdings sollte k = 0,1,2,...unendlich gelten.

Penrose:
Man kann nämlich der Antwort -1/3 durchaus einen mathematische Sinn geben, aber man muß die Regeln beachten, die besagen, was erlaubt ist, und was nicht.

Über die Regeln schweigt sich Penrose aus. Welche Regel könnte dafür sorgen, daß (x^2)^(N+1) / (x^2-1) Null wird? Nein, das sieht nach Irrweg aus.

Er diskutiert dann noch die Reihe 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 + ... =1/(1+x^2), die flattert und nicht gegen unendlich strebt. Aber ebenfalls zwischen -1 und +1 konvergiert.
Dann folgt das Kapitel 4.4 Caspar Wessels komplexe Ebene.

Zitat von richy

Vielleicht rechnet Penrose hier im Komplexen. Mit dem Resuduensatz.
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz
Allerdings komme ich hier auch nicht auf den Wert 0
Da Herr Penrose mit Quaternionen bewandert ist, hat er vielleicht einen Resuduensatz im Quaternionenraum verwendet.Auf so etwas tippe ich am ehesten. Fasst man die reellen Zahlen als eine Verallgemeinrung von Quaternionen auf oder als Teil eines Hardy Raumes gelten vielleicht andere Grenzwertsaetze. Penrose Twistoren stellen eine Abbildung der Raunzeit auf einen Quaternionenraum dar. Das wuerde passen.

Ich bin mit dem Leser des Buches in Kontakt und werde Dich auf dem Laufenden halten, falls es neue Einsichten gibt.

Gruß, Timm

[Hawkwind]

Zitat von richy

Hi Timm
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
Ich meine es ist ja eindeutig unlogisch, aber setzen wir mal x=2

1 + 4 + 16 + 64 + 256 ... = -1/3

Na kommt - ich habe hier nicht alles mitgelesen, aber das ist zweifelsohne sinnfrei. Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist: da kann also für n gegen oo nichts heraus kommen, was kleiner ist als der Wert für n=1 ist.

[richy]

Hi Timm

Vielleicht bist Du der Lösung aber damit näher gekommen! Allerdings sollte k = 0,1,2,...unendlich gelten.

Es ist ja nicht weiter als eine geometrsiche Reihe.
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Klar es muss dann gelten N-> 00. Aber wenn ich den Grenzuebergang sofort durchfuehre lande ich sofort bei Unendlich. Ich wollte erstmal sehen warum der Wert nagativ (-1/3) sein soll.
@Hawkwind

Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist:

Ja, das ist klar, aber auch alles was klar ist.Dehalb habe ich auch Humes Induktionsproblem angesprochen.Wir koennen den Wert oo niemals erreichen. Daher schliessen wir nur induktiv auf den Grenzwert. Existiert ein konvergenter Grenzwert wird anhand einer Grafik unsere induktive Denkweise besonders deutlich. Den Punkt oo koennen wir dort niemals einsetzen und auch gedanklich nur induktiv darauf schliessen.
Das ist nur eine Begruendung warum der Grenzwert von Penrose oder Godfrey_Harold_Hardy nicht voellig sinnfrei sein muss.
Ich vermute aber, dass die Angabe nicht auf dem reellen Zahlenraum basiert ....

Zitat von Timm

.... Caspar Wessels komplexe Ebene.

Im Raum von Quaternionen gilt z.B. auch das Distrubutivgesetz nicht mehr.

Uuups ich hatte 2 mal das deuitsche Wiki angegeben.
Hier die englische Version mit Links zu Theoremen von Hardy
http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy
Vielleicht spielt dieses Littlewood_tauberian_theorem eine Rolle. Aber auch hier wird der Konvergenzradius eins angegeben.
http://eom.springer.de/h/h046370.htm

Ich bin mit dem Leser des Buches in Kontakt und werde Dich auf dem Laufenden halten, falls es neue Einsichten gibt.

Das waere nett.Und schon wieder ruft wie letzte Woche die naechste Hochzeit.
(Denke ich hab schon ueber 500 Stueck hinter mir. Sehr angenehmer Job :-)
Gruesse richy

[Bauhof]

Zitat von richy

Ja, das ist klar, aber auch alles was klar ist.Dehalb habe ich auch Humes Induktionsproblem angesprochen.Wir koennen den Wert oo niemals erreichen. Daher schliessen wir nur induktiv auf den Grenzwert. Existiert ein konvergenter Grenzwert wird anhand einer Grafik unsere induktive Denkweise besonders deutlich. Den Punkt oo koennen wir dort niemals einsetzen und auch gedanklich nur induktiv darauf schliessen.

Hallo richy,

vor Georg Cantor gab es nur das potentiell Unendliche. Cantor schuf den Begriff: das aktual Unendliche.

Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenti..._Unendlichkeit

und hier: http://www.geocities.jp/mickindex/ca...nt_uSU_gm.html

Ich weiß aber nicht, ob das jetzt mit deinen Gedankengängen etwas zu tun hat.

M.f.G. Eugen Bauhof

[Hawkwind]

Zitat von richy

@Hawkwind

Ja, das ist klar, aber auch alles was klar ist.

Nein, es ist weitaus mehr klar.

Zitat von wiki

Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl q kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied a0 gleich Null ist. Für | q | < 1 oder a0 = 0 konvergiert die zugrundeliegende geometrische Folge nämlich gegen Null:

Das ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Da für |q| >= 1 und a_0 != 0 die Grundfolge divergiert, liegt in diesem Falle somit auch Divergenz der Reihe vor.

q ist hier aber 4 und a0=1; also fliegt dir diese Reihe um die Ohren für n gegen oo und kann unmöglich -1/3 ergeben. Das ist einfach absurd.

[Timm]

Zitat von Hawkwind

Na kommt - ich habe hier nicht alles mitgelesen, aber das ist zweifelsohne sinnfrei. Es ist klar, dass diese Reihe monoton steigend ist: da kann also für n gegen oo nichts heraus kommen, was kleiner ist als der Wert für n=1 ist.

Zur Sinnfrage schreibt Penrose:

Leonard Euler, der große Mathematiker des 18. Jahrhunderts, schrieb oft solche Gleichungen auf, und man hat sich gern darüber lustig gemacht, daß er solche Absurditäten behauptete.

Im Folgekapitel diskutiert Penrose die auf komplexe Zahlen z = x + iy erweiterten Funktionen 1/(1-z^2) und 1/(1+z^2), insbesondere deren Singularitäten und den Bereich, in dem beide Funktionen konvergieren. Der reelle Spezialfall x=2, y=0 liegt außerhalb, also im Divergenz-Bereich. Aber die Frage nach einem verborgenen Sinn der Summe -1/3 für x=2 bleibt offen.

@richy, Du hast den Mathematiker Hardy bereits aufgestöbert. Vielleicht bringst Du doch noch Licht in die Angelegenheit. Mir scheint die Botschaft zu sein, daß sich die oberflächliche Ungereimtheit auflöst, wenn man die reellen Zahlen als Spezialfall der komplexen Zahlen betrachtet.
Die Reihe 1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ... enthält negative Vorzeichen und sollte somit nicht mehr zwangsläufig gegen oo gehen. Aber hilft diese Überlegung weiter?

Gruß, Timm