Math - Die Konvergenz von Potenzreihen

[eigenvector]

Nun, um mal meinen Senf dazu zu geben:
Ich verstehe Penrose so, dass er meint, dass es auch Regeln geben kann, unter deren Annahme man der Aussage

1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 + ... = -1/3

einen Sinn zuschreiben kann.
Die Aussage könnte zum Beispiel bedeuten:
Der Funktionswert an der Stelle 2, der Funktion, die man erhält, wenn man die durch die vorliegende Potenzreihe definierte Funktion außerhalb des Konvergenzgebiets der Potenzreihe holomorph fortsetzt, ist -1/3.

[Timm]

Zitat von eigenvector

Ich verstehe Penrose so, dass er meint, dass es auch Regeln geben kann, unter deren Annahme man der Aussage

1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8 + ... = -1/3

einen Sinn zuschreiben kann.
Die Aussage könnte zum Beispiel bedeuten:
Der Funktionswert an der Stelle 2, der Funktion, die man erhält, wenn man die durch die vorliegende Potenzreihe definierte Funktion außerhalb des Konvergenzgebiets der Potenzreihe holomorph fortsetzt, ist -1/3.

Setzt das nicht vorraus, daß die Funktion komplexwertig ist?
Kannst Du Deinen Vorschlag noch etwas näher erläutern?

Gruß, Timm

[eigenvector]

Zitat von Timm

Setzt das nicht vorraus, daß die Funktion komplexwertig ist?

Ja.

Zitat von Timm

Kannst Du Deinen Vorschlag noch etwas näher erläutern?

Gruß, Timm

Kannst du ein bisschen genauer sagen, was genau du wissen willst?

[Timm]

Zitat von eigenvector

Kannst du ein bisschen genauer sagen, was genau du wissen willst?

Es ist vielleicht schwierig.

Kannst Du mit "einfachen" Worten oder einem Beispiel darlegen, was man sich unter einer holomorphen Fortsetzung dieser Funktion vorzustellen hat und wie für die reelle Zahl x=2 der Wert -1/3 zustande kommen könnte. Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es?

Aber einen Versuch wert?

Gruß, Timm

[eigenvector]

Zitat von Timm

Es ist vielleicht schwierig.

Kannst Du mit "einfachen" Worten oder einem Beispiel darlegen, was man sich unter einer holomorphen Fortsetzung dieser Funktion vorzustellen hat und wie für die reelle Zahl x=2 der Wert -1/3 zustande kommen könnte. Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es?

Aber einen Versuch wert?

Gruß, Timm

Eigentlich sind doch Potenzreihen das klassische Beispiel für komplexe Funktionen. Die Koeffizienten, der Entwicklungspunkt und das Argument können komplexwertig sein, das Argument dann natürlich auch.
Die Potenzreihe
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
kann man eindeutig holomorph fortsetzen durch
1/(1 - x^2)
(von den beiden Singularitäten bei 1 und -1 abgesehen).
Das geht dann z.B. in etwa so, dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt. Dann geht man noch ein Stück weiter nach oben und wiederholt das ganze. Dann geht man nach Links, etc. pp.
Das ganze macht man so lange, bis man eine Potenzreihe hat, bei der die Stelle 2 innerhalb des Konvergenzradius liegt.
Die Funktionen die man dabei erhält sind innerhalb ihrer Konvergenzradien immer identisch zu der Funktion 1/(1 - x^2).

Ich hoffe es ist ein bisschen verständlich, worauf ich hinaus will.

[richy]

Hi Bauhof

Ich weiß aber nicht, ob das jetzt mit deinen Gedankengängen etwas zu tun hat.

Na meine Gedankengang waere, dass die Summe gegen unendlich divergiert :-)
Aber dein Link zu verschiedenen Auffassungen des Unendlichkeitsbegriffes koennte mit der Fragestellung schon etwas zu tun haben.

Zitat von Penrose

Im Fall x=2 ist es nicht so, daß die "Antwort" unendlich wäre, sondern so, daß wir diese Antwort nicht erreichen können, indem wir unsere Reihenglieder aufsummieren....

Das waeren aehnliche Begruendung wie die Induktion, dass der Grenzwert nicht voelliger Unfug sein muss.
Nur kann Herr Penrose den Grenzwert nicht anhand philosophischer Betrachtungen aus dem Aermel schuetteln, sondern er muss diesen konkret herleiten.

@Timm

Zitat von Timm

Die Funktion ist zunächst mal offensichtlich nicht komplexwertig. Wie wird sie es?

Hast du das nicht schon gezeigt ? Indem man dies annimmt.

1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ..

Fuer ein Polynom P(x), x element R gilt der Haupsatz der Algebra nicht.
Ersetze ich in dem Polynom x durch z element C gilt der Hauptsatz.Man ersetzt einfach P(x) durch P(z)
Die Zahl zwei waere dann eine spezielle komplexe Zahl. So etwas hatte ich auch schon ueber den Residuensatz vermutet. Dass er die Potenzreihe in einer komplexen Laurentreihe formuliert.

Problem 1 :
1 + z^2 + z^4 + z^6 + z^8 + ... weist keine Polstellen auf , so dass es nur einen Nebenteil der Laurentreihe gibt und keine Residuen.
Annahme es gaebe einen Hauptteil mit Residuen. Dann fasst er die Summe eventuell als Integral auf und wendet den Resuduensatz an um dieses Integral zu berechnen.

Problem 2
Die Integralgrenzen muessen fur einen geschlossenen Umlauf der komplexen Ebene von -oo bis oo Unendlich laufen. Die Summe lauft aber von 0..00

Vermutung :
Vielleicht kann man Problem 1 und Problem 2 so zusammenfassen, dass die Erweiterung zu einem geschlossenen Umlauf der komplexen Ebene auf eine Laurentreihe fuehrt . Und deren Summe aller Residuen gleich -1/3 betraegt.

Eigenvektors Argument mit der holomorphen Fortsetzung liegt aber wohl naeher an Penrose Argument. Wenn dieser schreibt ...

Im Folgekapitel diskutiert Penrose die auf komplexe Zahlen z = x + iy erweiterten Funktionen 1/(1-z^2) und 1/(1+z^2), insbesondere deren Singularitäten und den Bereich, in dem beide Funktionen konvergieren. Der reelle Spezialfall x=2, y=0 liegt außerhalb, also im Divergenz-Bereich.

... nimmt er doch auch an , dass die Summe divergiert.
Ich denke dass er dann ein Argument unter Bauhofs Link anwendet.
Dass der Grenzuebergang gegen Unendlich gar nicht real existiert. Vor diesem Grenzuebergang mag die Summe sehr sehr gross sein. Das kann man akzeptieren aber wenn man den Begriff der Unendlichkeit nicht akzeptiert und dennoch den Grenzuebergang durchfuehren will bleibt solch ein seltsames Ergebnis wie -1/3.
Im Grunde kann man dis auch bei der simplen Aufspaltung schon sehen.
S=(x^2)^(N+1) / (x^2-1) - 1/(x^2-1)
Wenn man dem linken Teil fuer limit N->00 keine Realitaet (in welchem Sinne auch immer) mehr zuspricht bleibt eben nur der rechte Term uebrig.

Naja, sorry nur ein paar Gedanken dazu.

BTW. Ralf Kannenberg im AC Forum koennte das Raetsel sicherlich loesen.
Ich kann ihn leider nicht fragen.
Gruesse

[richy]

Noch eine Anmerkung.
Ich meine eher nicht, dass man ueber die komplexe Ebene alleine Penrose / Hardies Grenzwert wirklich schluessig erklaeren kann. Auch mit Kenntnissen ueber komplexe Funktionen wird man den Grenzwert natuerlich anzweifeln.

Leonard Euler, der große Mathematiker des 18. Jahrhunderts, schrieb oft solche Gleichungen auf, und man hat sich gern darüber lustig gemacht, daß er solche Absurditäten behauptete.

Dazu faellt mir ein, dass Euler sich bereits Gedanken zu Quaternionen gemacht hat :
http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Geschichte

Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den Vier-Quadrate-Satz bereits bei Leonhard Euler (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von Hermann Graßmann untersucht (1855).

Im dem PDF dass ich bereits verlinkt habe wird angegeben, dass anhand der Quaternonen ein erweiterter Blick auf die Welt moeglich ist. Vergleichbar mit den komplexen Zahlen oder deren maechtigen Anwendung der Integraltransformationen.
http://arxiv4.library.cornell.edu/ft.../0709.2238.pdf
Mir fehlt leider dieses uebergeordnete Verstaendnis, da ich mich mit Quaternionen in der Praxis nicht auskenne. Penrose fehlt dieses Stueck Mathematik sicherlich nicht. Vielleicht benoetigt man dies tatsaechlich um Eulers, Hardies, Penrose Welt zu verstehen.
Gruesse

[Timm]

Zitat von eigenvector

Eigentlich sind doch Potenzreihen das klassische Beispiel für komplexe Funktionen. Die Koeffizienten, der Entwicklungspunkt und das Argument können komplexwertig sein, das Argument dann natürlich auch.
Die Potenzreihe
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...
kann man eindeutig holomorph fortsetzen durch
1/(1 - x^2)
(von den beiden Singularitäten bei 1 und -1 abgesehen).
Das geht dann z.B. in etwa so, dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt. Dann geht man noch ein Stück weiter nach oben und wiederholt das ganze. Dann geht man nach Links, etc. pp.
Das ganze macht man so lange, bis man eine Potenzreihe hat, bei der die Stelle 2 innerhalb des Konvergenzradius liegt.
Die Funktionen die man dabei erhält sind innerhalb ihrer Konvergenzradien immer identisch zu der Funktion 1/(1 - x^2).

Ich hoffe es ist ein bisschen verständlich, worauf ich hinaus will.

Leider fehlen mir die Grundlagen. Wie habe ich mir die Schritte:

dass man die Potenzreihe im Entwicklungspunkt 0 nimmt und die dadurch definierte Funktion um den Entwicklungspunkt i/2 wieder in eine Potenzreihe entwickelt.

konkret vorzustellen?

Heißt das, man bastelt an der Potenzreihe 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... solange herum, bis man eine dazu holomorphe Potenzreihe hat, die für x=2 nun konvergiert und deren Summe gemäß 1/(1 - x^2) -1/3 ist? Kannst Du angeben, wie diese Potenzreihe aussähe?

Demnach offenbart sich der von Penrose angesprochene mathematische Sinn der "Antwort -1/3" dann, wenn man eine zur Ausgangspotenzreihe holomorphe Potenzreihe betrachtet.

Gruß, Timm

Gruß, Timm

[eigenvector]

Zitat von Timm

Leider fehlen mir die Grundlagen. Wie habe ich mir die Schritte:
konkret vorzustellen?

Naja, um eine holomorphe Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt darzustellen, benutzt man die Ableitungen der Funktion an dieser Stelle (Taylor-Reihe). Die Ableitungen kann man nun entweder direkt ausrechnen, oder die Cauchysche Integralformel benutzen, oder was weiss ich.

Zitat von Timm

Heißt das, man bastelt an der Potenzreihe 1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... solange herum, bis man eine dazu holomorphe Potenzreihe hat, die für x=2 nun konvergiert und deren Summe gemäß 1/(1 - x^2) -1/3 ist? Kannst Du angeben, wie diese Potenzreihe aussähe?

Potenzreihen mit einem größeren Konvergenzradius als null sind sowieso immer holomorphe Funktionen.
Aber die Reihenentwicklung um 2 kann ich dir natürlich angeben:
-1/3 + 4/9 (x-2) - 13/27 (x-2)^2 + 40/81 (x-2)^3 - 121/243 (x-2)^4 + ...

Zitat von Timm

Demnach offenbart sich der von Penrose angesprochene mathematische Sinn der "Antwort -1/3" dann, wenn man eine zur Ausgangspotenzreihe holomorphe Potenzreihe betrachtet.

Naja, das ist jedenfalls eine Möglichkeit, der Aussage von Penrose etwas anderes als "Unsinn" zuzuschreiben.

[Timm]

Danke erst mal, in einem bescheidenen Maß habe ich jetzt ein bißchen mehr Verständnis.

Gruß, Timm