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  #1  
Alt 06.10.20, 15:06
Frank53 Frank53 ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 06.10.2020
Beiträge: 29
Frage Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Liebes Forum,
ich habe ein Verständnisproblem zur Gravitation.
Sofern man sich die Körper im Masseschwerpunkt konzentreiert vorstellt ist alles OK.
Hat jedoch mindestens einer der Körper eine Ausdehnung und somit eine räumliche Masseverteilung scheint mir die bekannte Berechnungsformel wegen des Abstands zum Quadrat im Nenner nicht mehr ausreichend.
Sofern die Gesamtgravitation gleich der Summe der Gravitationsanteile der einzelnen Masseteilches mit ihrer Verteilung sind?
Die Gravitation würde dann in Nähe des ausgeehnten Körpers im Verhältnis zur Berechnungsformel abnehmen.
Wo ist mein Denkfehler?
Gibt es Literatur zu diesem Punkt?
Im Voraus besten Dank von Frank
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  #2  
Alt 06.10.20, 16:00
Benutzerbild von TomS
TomS TomS ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 04.10.2014
Ort: Nürnberg
Beiträge: 2.303
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Für kugelsymmetrische Massenverteilungen darfst du dir die Masse weiter in einem Punkt konzentriert denken. Gemäß dem Newtonschen Schalentheorem folgt das Gravitationspotential identisch zu dem einer Punktmasse (Eine Verallgemeinerung dieses Satzes gilt sogar in der ART. Gemäß dem Birkhoff-Theorem liefert eine sphärisch symmetrische - ggf. sogar pulsierende - Massenverteilungen im Außenraum exakt die statische Schwarzschild-Geometrie - ohne Gravitationswellen)

Für lediglich näherungsweise kugelsymmetrische Massenverteilungen (z.B. Planeten) verwendet man die sphärische Multipolentwicklung. Diese funktioniert für statische Massen- sowie Ladungsverteilungen exakt identisch.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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  #3  
Alt 06.10.20, 16:00
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.374
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Hallo Frank,

Zitat:
Zitat von Frank53 Beitrag anzeigen
Hat jedoch mindestens einer der Körper eine Ausdehnung und somit eine räumliche Masseverteilung scheint mir die bekannte Berechnungsformel wegen des Abstands zum Quadrat im Nenner nicht mehr ausreichend.
ja, das ist korrekt und bei einer inhomogenen Materieverteilung ist das zugehörige Gravitationsfeld auch entsprechend kompliziert. Berechnnen kann man das im Rahmen der newtonschen Theorie mit Hilfe der Poisson-Gleichung.

Bei kugelsymmetrischer Verteilung der Materie gibt es sehr starke Vereinfachung, so dass auch außerhalb der Masse wieder das bekannte 1/r²-Gesetz gilt:

Siehe z.B. den WP-Artikel zu "Schwerefeld", insbesondere: https://de.wikipedia.org/wiki/Schwer...ravityPREM.svg

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Freundliche Grüße, B.

Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921
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  #4  
Alt 06.10.20, 17:54
Frank53 Frank53 ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 06.10.2020
Beiträge: 29
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

vielen Dank für die superschnelle Antwort.

Frank53
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  #5  
Alt 12.10.20, 12:34
Frank53 Frank53 ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 06.10.2020
Beiträge: 29
Frage AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Hallo liebes Forum,

ich hatte aufgrund fehlender Kenntnisse die Anziehungskraft einer Kugelschale mit der Masse von 1000 und einem Radius von 1 zu einer direkt auf der Kugelschale anliegenden Masse von 1 grob über Abschnitte abgeschätz und kam auf eine Kraft von ca. 470 statt 1,0*1000,0/(1,0*1,0) = 1000,0.

Die vordere Kugelhalbschale müsste mehr als 1000/2 = 500 bringen.
Eine Zerlegung der vorderen Kugelhalbschale nach den Winkeln vom Mittelpunkt in 90 Abschnitte lieferte ca. 350 statt mehr als 500!

Als Beispiel für den Abschnitt bei 45°:
Breite des Schalenteils in der Schrägen gemessen= Pi/180= 0,0174m
Umfang:U= cos 45° * 2 * Pi= 4,44m
Fläche: dA= 4,44 * 0,174 =0,077542m²
Teilmasse: dM=1000 *0,077542/12,566=6,17
(Kugeloberfläche=12,566m²)

Abstand der Massen: a= sin45°/ cos22,5°=0,765m für 45°

Teilkraft dF= 6,17/0,765²=10,53
Komponent der Kraft in Richtung der Massen: 10,53*sin 22,5°=4,03.

Alle Werte zwischen 1° und 90°liegen so um 4.
(zur Übersicht dann ganz grob : 4*90 = 360

wer Spaß am Zahlenspiel hat.
Wo liegt mein Denkfehler?

Viele Grüße
Frank53
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  #6  
Alt 27.10.20, 15:10
Bernhard Bernhard ist offline
Moderator
 
Registriert seit: 14.06.2017
Beiträge: 1.374
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Hallo Frank,

Zitat:
Zitat von Frank53 Beitrag anzeigen
ich hatte aufgrund fehlender Kenntnisse die Anziehungskraft einer Kugelschale mit der Masse von 1000 und einem Radius von 1 zu einer direkt auf der Kugelschale anliegenden Masse von 1 grob über Abschnitte abgeschätz und kam auf eine Kraft von ca. 470 statt 1,0*1000,0/(1,0*1,0) = 1000,0.
diese Beschreibung ist unvollständig.

Die physikalischen Einheiten fehlen: Masse in kg?, Radius in m?
Eine Kugelschale kann z.B. über zwei Radien definiert werden: Innenradius, Außenradius. Oder über die Dicke der Schale und den Radius des mittleren Radius.

Leider kann man hier keine Bilder hochladen. Du kannst aber auch einen kostenlosen Dienst nutzen und eine Skizze hochladen.
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Freundliche Grüße, B.

Überhaupt droht ja jedem universelle Geltung heischenden Ansatz die Sphinx der modernen Physik, die Quantentheorie - T. Kaluza, 1921

Geändert von Bernhard (28.10.20 um 07:30 Uhr)
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  #7  
Alt 31.10.20, 14:53
Frank53 Frank53 ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 06.10.2020
Beiträge: 29
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Hallo Berhard,

vorab vielen Dank für deine Mühe,

Die Dimensionen hatte ich nicht mehr näher bezeichnet, da sie mir für das Ergebnis wenig bedeutsam schienen. Wir können jedoch von IkgI und ImI ausgehen zumal das Ergebnis zahlenmäßig in der Größenordnung zumindest für mich plausibel war.

Nachfolgend würde ich gerne die einzelnen Annahmen und Schritte beschreiben.

1. Wenn die Gravitationkraftermittlung mit F = G * M1*M2 /(r²) uneingeschränkt von außen kommend bis zur Kugeloberfläche gilt, dann muss sie für jede einzelne Schale dieser Kugel gelten.

2. Man braucht jetzt nur äußere Schale im Vergleich näher betrachten, bei infolge 1/r² die
größten Abweichungen dort zu erwarten wären.

3. Aus dem gleichen Grund braucht auch nur die vordere Schalenhälfte betrachtet werden, da sie mehr als 50% der Kraft verursachen muss.

4. Wenn man jetzt die Kugelschale im Schnitt als Kreis aufzeichnet und vom Mittelpunkt einen Radius gemäß dem Einheitskreis von 1 im Uhrzeigersinn von 0 Grad bis 90 Grad wandern lässt kann die Kugelschale leicht berechnet werden.

5. Die Kugelschale als Teil der Kugel hätte z.B. die Masse 1000. (z.B.kg) als Rechenvereinfachung.
Bei einer Kugel mit dem Radius ergibt sich eine Oberfläche von 4*Pi *r = 12,57m².
Somit hätte jeder m² Oberfläche eine Masse von 1000/12,57 = 79,58 kg.

6. Da die Gravitationskonstante im Vergleich keine Rolle spielt, lassen wir sie einfach außen vor.
Die Kraft Fg ergibt sich bei einer Masse M2=1, die direkt auf der Schale aufliegt und somit 1mAbstand vom Mittelpunkt hat, zu :Fg=1*1000/(1*1)= 1000 (Dimension im Vergleich unbedeutend).

7. Sofern das Superpositionsgesetz uneingeschränkt gilt, muss nun die Summe aller Einzelkräfte der einzelnen Ringe der Kugelschale den Zahlenwert 1000 ergeben.
Betrachten wir nur die vor der Hälfte der Kugelschale, so muss dieser Teilwert größer 500 sein.

8. In meiner letzten Abschätzung habe ich ein wenig genauer als zuvor die vordere Kugelschale in 2° - Schritten von 1° bis 89° und 45 Abschnitte durchlaufen. Jede "Scheibe" hat dann eine Breite von 2*Pi/180 = 0,03491m

9. Der (mittlere) Umfang "U" der einzelnen Scheibe beläuft sich dann auf 2 *Pi *sin alpha, wenn alpha der Winkel ist.
Die Fläche der Ringoberfläche ist dA =U*0,03491
Die Masse dM = U* 79,58. je Kugelschalenring.

10. Der Abstand e des Scheibenrings zur Masse 2 beträgt dann Wurzel aus ((1-cosα)²+sinα²)

11. Die Teilkraft des Ringes ergibt sich zu dF= 1*dM/e² *(1-cosα)/sinα
Der letzte Faktor ergibt sich aus der vektoriellen Summe in Richtung M2.

12. Die Summe sollte nun ≥ 500 ergeben. Tut sie aber nicht. Sie liegt bei etwa 360.

13. P.S.: es wird noch verrückter.
Wenn man den Algorithmus jetzt in Excel eingibt, ergibt sich in Summe für die ganze Kugelschale eine Kraft von gerade 500 statt 1000. Also fast genau 50%!!!! der gesuchten 1000.
Obwohl die Quersumme der gesamten Schale bei dieser Berechnung bei 1000 blieb.

Ich bin mit meinem "Latein" am Ende und halte die 500 für nicht so verkehrt.

Viele Grüße Frank
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  #8  
Alt 31.10.20, 15:19
Frank53 Frank53 ist offline
Newbie
 
Registriert seit: 06.10.2020
Beiträge: 29
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Noch Eins drauf,

Wenn ich für die gleiche Oberflächenschale der Kugel die Masse nicht auf die Kugel direkt setze sondern mit 0,5 (50 %vom Radius) würde sich eine Kraft vom 1* 1000 ( 1,5*1,5) = 444 ergeben.
Mit geringfügig modifizierter Exceltabelle wird dieser Wert mit sehr geringer Abweichung getroffen.

Das wäre ein Indiz, dass die Excel - Berechnung nicht unbedingt falsch ist.
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  #9  
Alt 01.11.20, 10:31
Frank53 Frank53 ist offline
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Registriert seit: 06.10.2020
Beiträge: 29
Standard AW: Gravitation in Nähe ausgedehnter Körper

Fehler gefunden.

er lag an der hohen Ungenauigkeit der Masseanteile direkt an betrachteten Stelle.
Excel' hat die Fehlersuche ermöglicht.
vielen Dank
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