Quanten.de Diskussionsforum  

Zurück   Quanten.de Diskussionsforum > Schulphysik und verwandte Themen

Hinweise

Schulphysik und verwandte Themen Das ideale Forum für Einsteiger. Alles, was man in der Schule mal gelernt, aber nie verstanden hat oder was man nachfragen möchte, ist hier erwünscht. Antworten von "Physik-Cracks" sind natürlich hochwillkommen!

Antwort
 
Themen-Optionen Ansicht
  #21  
Alt 12.06.07, 21:43
Benutzerbild von Hamilton
Hamilton Hamilton ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 02.05.2007
Ort: Deutschland
Beiträge: 447
Standard AW: eine Differentialgleichung...

du suchst die z, die die Gleichung z^(n/m) -z0 = 0 erfüllen !?

Dann mach doch z0 = r * exp(iφ)
Dann kannst Du schreiben:

z = r^(m/n) * exp{ i m/n ( φ + 2πk) }

wobei k jetzt alle Ganzen Zahlen sind.
φ = arg(z0) und r = |z0|

wenn k = n/m ist, hast Du alle verschiedenen Lösungen, wenn das nie passiert, gibt es ein paar mehr
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman
Mit Zitat antworten
  #22  
Alt 13.06.07, 15:49
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Maple Kann Nix !

Geändert von richy (14.06.07 um 01:08 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #23  
Alt 13.06.07, 23:10
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 529
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Nachdem richy seine temporären Selbstzweifel überwunden und Maple als garstigen Rechenknecht überführt hat, kann ich meinen Teil fortsetzen. Zwischendurch habe ich auch noch nach weiteren Lösungen für die "unphysikalische" Dgl. y' = tan(xy) gesucht, aber ausser der von mir angegebenen keine gefunden.

Zurück also zu der Wachstumsfunktion P(t) = P_o * e^(αt), welcher die Dgl. dP/dt = αP zugrunde lag. Die gewissermassen umgekehrte Funktion F^-1 ist diejenige des radioaktiven Zerfalls:

n(t) = n_o * e^(-λt)

Man erkenne die formale Aehnlichkeit, die sich nur durchs Vorzeichen im Exponenten unterscheidet. Dementsprechend sieht auch die diesbezügliche Dgl. aus:

dn/dt = -λn

Als Halbwertszeit wird diejenige Zeitspanne bezeichnet, nach welcher sich n(t) - also die Anzahl radioaktiver Atome - um die Hälfte vermindert:

τ = ln 2/λ

Das exponentielle Zerfallsgesetz ist empirisch gut bestätigt.

Gegeben sei das Isotop Kalium 42. Dessen Halbwertszeit beträgt 12,45 Std. Wieviel Prozent der Ausgangssubstanz sind nach bspw. 10 Std. noch vorhanden?

Gr. zg
Mit Zitat antworten
  #24  
Alt 13.06.07, 23:49
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 529
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Um nochmals auf das exponentielle Wachstum zurückzukommen:

In der Natur beobachtet man einen anderen Verlauf, denn das exponentielle Wachstum führt theoretisch zu einer Vermehrung ohne Grenzen gemäss:

lim t-->oo P(t) = lim t-->oo P_o * e^(αt) = oo

Es gibt keine bekannte Population, welche eine derartig hemmungslose (und zudem hemmunglos beschleunigte) Vermehrung auf Dauer vorzeigt. Ansonsten müsste die Erdbevölkerung im Jahre 2501 eine Bevölkerungszahl von rund 149 Bill. erreicht haben, d.h. mit anderen Worten, dass jeder Quadratmeter Erdland durch einen Menschen besetzt würde. Für unsereins ein "Horror", habe ich doch bereits heute in der Schweiz das beengende Gefühl, von Menschenmassen erdrückt zu werden.

Man hat sich deshalb schon relativ früh Gedanken darüber gemacht und ein "logistisches Wachstum" gefunden. Im Jahre 1838 wurde von Verhulst vorgeschlagen, anstelle τP den Term τP^2 zu verwenden, wodurch folgende Dgl. resultiert:

dP/dt = γP - τP^2

Man könnte auch argumentieren, dass wegen der begrenzten Ressourcen eine bestimmte Population eine Maximalgrösse K nicht überschreiten wird:

dP/dt = λP(K - P)

Bereits nach Überschreiten der Hälfte des möglichen Maximalbestandes K/2 - nachdem eine Phase beschleunigten Wachstums durchlaufen wurde - nimmt die Zuwachsrate stetig ab. Die Wachstumskurve geht dann letztendlich in eine Stagnation über (graphisch eine S-Kurve).

Gr. zg
Mit Zitat antworten
  #25  
Alt 14.06.07, 00:30
Benutzerbild von Hamilton
Hamilton Hamilton ist offline
Profi-Benutzer
 
Registriert seit: 02.05.2007
Ort: Deutschland
Beiträge: 447
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Das ist ja alles schön und gut, aber was willst Du uns damit eigentlich sagen?

Wolltest Du einfach mal aufschreiben was du weißt, oder welchen Zweck verfolgst Du damit, dass Du über Wachstumsgleichungen monologiesierst?

Meistens stellt hier jemand ne Frage, auf die man dann antworten kann, das hier sieht so'n bischen aus wie Jeopardy - also gut:

"Wie formuliert man eine Wachstumsgleichung und welche Lösung hat sie?"

krieg ich jetzt 100 Punkte?
__________________
"Wissenschaft ist wie Sex. Manchmal kommt etwas Sinnvolles dabei raus, das ist aber nicht der Grund, warum wir es tun."
Richard P. Feynman
Mit Zitat antworten
  #26  
Alt 14.06.07, 00:39
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: eine Differentialgleichung...

@zg
Sorry ich dachte es waere mehr ein Plauderthread. Fand die Gelegenheit guenstig, weil den Thread wohl eher Experten lesen. Aber OT.
Schon korrigert
Zitat:
Gegeben sei das Isotop Kalium 42. Dessen Halbwertszeit beträgt 12,45 Std. Wieviel Prozent der Ausgangssubstanz sind nach bspw. 10 Std. noch vorhanden?
n(t) = n_o * e^(-λt), τ = ln 2/λ =>
n(t) = n_o * e^(-ln 2*t/τ)
n(t,τ)/n_o = e^(-ln 2*t/τ)
n(10,12,5)/n_o = e^(-ln 2*10/12.5)
57.4%
Zitat:
In der Natur beobachtet man einen anderen Verlauf, denn das exponentielle Wachstum führt theoretisch zu einer Vermehrung ohne Grenzen
Eine Karnickelpoulation, die sich so vermehrt, muesste sehr bald eine Kugelwelle bilden, die sich mit Ueberlichtgeschwindigkeit ins Weltall ausbreitet. Spaetestens da waere Schluss mit dem Expo-Wachtum.

@Hamilton
Die diskrete Verhulstgleichung auf die zg zusteuert ist ein mathematisches Monster.
Zitat:
krieg ich jetzt 100 Punkte?
Wenn du die Verhulst GL analytisch loesen kannst wahrscheinlich noch mehr

Geändert von richy (14.06.07 um 01:34 Uhr)
Mit Zitat antworten
  #27  
Alt 14.06.07, 02:06
Benutzerbild von rene
rene rene ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 716
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Der Ansatz über die Halbwertszeit T=12.45h und der verstrichenen Zeit t=10h lautet:

f(t,T)=0.5^(t/T)

und wird über das Logarithmengesetz

log_0.5{f(t,T)}=t/T umgeformt zu

ln(f(t,T))=ln(0.5)*t/T und mit e potentiert zu

f(t,T)=exp(ln(0.5)*t/T) oder

f(t,T)=exp(ln(-2)*t/T) und gibt

f(t,T)=0.5731 wenn man die vorgegebenen T=12.45 statt T=12.5 nimmt.

Grüsse, rene
Mit Zitat antworten
  #28  
Alt 14.06.07, 02:09
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 529
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Zitat:
Zitat von richy Beitrag anzeigen
57.4%
Ein Weißbier ist dir sicher!



Gr. zg
Mit Zitat antworten
  #29  
Alt 16.06.07, 17:50
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
Guru
 
Registriert seit: 01.05.2007
Beiträge: 529
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Zitat:
Zitat von Hamilton Beitrag anzeigen
Das ist ja alles schön und gut, aber was willst Du uns damit eigentlich sagen?
Denk' an Raupen, Motten, Feuerbrand. Ist gerade jetzt sehr aktuell! Auch dein Lerneifer verläuft in der Regel nach dem Verhulst'schen Kriterium.

Kernthema des Threads sind gewöhnliche Differentialgleichungen. Von diesen gibt es unzählige, aber einige sind von allg. Interesse, z.B.:

- Riccati-Dgl.
- Bernoulli-Dgl.
- d'Alembert-Dgl.
- Clairaut-Dgl.
- Eulersche Dgl.
- logistische Dgl.

usw.

Zudem spielen dabei oft Exponentialfunktionen eine unverzichtbare Rolle. Nicht nur in der Regelungstechnik. Diese elementaren Zusammenhänge ein wenig aufzuzeigen, war Zweck und Ziel meiner Wachstumsbeiträge. (Wenn es dich nicht interessiert, vergiss es einfach.) Es wäre aber schön, wenn jeder sachlich Kompetente einen nützlichen Beitrag zu bestimmten - vorerst wie gesagt "nur" gewöhnlichen - Differentialgleichungen in Physik, Technik, Chemie, Biologie, Astronomie et ultra beisteuern könnte. Auch ich möchte noch hinzu lernen.

Die logistische Wachstumsfunktion führt ab einem kritischen Wachstumswert geradewegs zur Bifurkation und ist somit für die Chaostheorie von Bedeutung. Dieses Thema überlasse ich aber gerne Kollega "Richardon" richy, der sich darüber weiterführende Gedanken gemacht hat als begnadeter "Experimentalmathematiker".

Gr. zg
Mit Zitat antworten
  #30  
Alt 17.06.07, 20:02
Benutzerbild von richy
richy richy ist offline
Singularität
 
Registriert seit: 01.05.2007
Ort: karlsruhe
Beiträge: 4.170
Standard AW: eine Differentialgleichung...

Hi
Vielleicht sollte man zu Namensgebung der logistischen Funktion noch etwas sagen, damit es keine Verwechslung gibt.

Die DGL der modifizierte Wachstumsgleichung nennt sich in

a) kontinuierlicher Form :
******************
Logistische Differentialgleichung.
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Die logistische Differentialgleichung ist mittels Trennen der Variablen leicht loesbar. Lediglich Partialbruchzerlegung wird noch benoetigt. Die Loesung wird ab und zu auch als logistische Funktion bezeichnet. Das halte ich fuer etwas ungluecklich, denn

b) diskretisierte Form (Differenzengleichung) :
Die diskrete Form der logistischen Differentialgleichung nennt sich auch
- logistische Abblidung
- logistische Gleichung
- Verhulst Gleichung
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))
Die Gleichung gilt allgemein als analytisch nicht loesbar.
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
(Ich konnte ihr dennoch eine Loesung fuer a=2 entlocken :-)

Bakterien und Karnikel vermehren sich diskret. Die Population wird also durch die diskrete Form richtig beschrieben.
Beide Gleichungen haben im Loesungsverhalten nur wenig gemeinsam.
Warum verhalten sich beide so unterschiedlich ?
Es laesst sich zeigen, dass ein kontinuierliches System 2 Freiheitsgrade aufweisen muss um chaotisches Verhalten zu erzeugen.
Die Differntialgleichung des Modell muss 2.Grades sein. Eine DGL 1.ten Grades kann keine chaotischen Loesungen liefern.

Eine Differenzengleichung 1. Grades ist dazu jedoch in der Lage wie die Verhulstgleichung eindrucksvoll zeigt.

Kontinuierlich und Diskrete nichtlineare Systeme koennen also alleine aufgrund des Grenzwertes limit d->0 (der in der Natur eher nicht existiert (siehe Plankzeit,Planklaenge))
ein voellig anderes Verhalten aufweisen.

Zitat:
vorerst wie gesagt "nur" gewöhnlichen - Differentialgleichungen
Meinst du damit nicht partiell oder nicht diskretisiert ?
Warum ausgerechnet tan(x,y(x)) ?
Wie koennte eine chaotische Loesung einer Gleichung eigentlich aussehen ?
so z.B. y(t)=art(tan(c*2*Pi*t)) wobei c irrational ist.
ciao



.

Geändert von richy (17.06.07 um 20:27 Uhr)
Mit Zitat antworten
Antwort

Lesezeichen

Themen-Optionen
Ansicht

Forumregeln
Es ist Ihnen nicht erlaubt, neue Themen zu verfassen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, auf Beiträge zu antworten.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Anhänge hochzuladen.
Es ist Ihnen nicht erlaubt, Ihre Beiträge zu bearbeiten.

BB-Code ist an.
Smileys sind an.
[IMG] Code ist an.
HTML-Code ist aus.

Gehe zu


Alle Zeitangaben in WEZ +1. Es ist jetzt 03:13 Uhr.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8 (Deutsch)
Copyright ©2000 - 2020, vBulletin Solutions, Inc.
ScienceUp - Dr. Günter Sturm