Formen des Zufalls

[richy]

Hi

Zum physikalischen Zufall gibt es ja recht wenig determiniertes zu sagen.
Ausser vielleicht dass z.B bei weissem Rauschen das Spektrum ueber alle Frequenzen konstant ist.

Ich will hier mal ein paar Fragen bezueglich dem determinierten und physikalischen Zufall untersuchen.
Motiviert ueber die Diskussion des freien Willens.
Dabei koennte man sich die Frage stellen ob es neben dem determinierten und physikalischen Zufall noch eine weitere Form dieses Phaenomens gibt.
Zum Beispiel einen emotionalen Zufall.

Damit das Ganze nicht gleich zu Anfang ins scheinbar esoterisch abdriftet moechte ich das Thema zunaechst ueber Zufallszahlen eines physikalischen Prozesses im Vergleich zum mathematischen Prozess. Operator, Programm also Pseudozufallzahlen angehen.
Wer den Unterschied nicht kennt kann ihn hier nachlesen :

http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsgenerator

Zunaechst stelle ich eine Hypothese auf , die im Grunde als Axiom zu betrachten ist :

Ein mathematischer Zufallszahlengenerator ist stets determiniert und erzeugt eine Pseudozufallszahl

Da Mathematik und Physik in einer gewissen Weise aehnliche wenn auch komplementaer Eigenschaften aufweisen, koennte man auch folgende Hypothese formulieren :
(Komplementaer im Sinne einer uebergeordneten Realitaet, die physikalische und geistige Ebene zusammenfasst)

Ein makroskopischer physikalischer nichtlinearer Zufallsprozess einer nichtdiskreten Variable enthaelt stest einen nichtdeterminierten Zufallsanteil.

Als Beispiel moege hier der Billiardstoss ueber mehrere Banden dienen, dessen Ergebnis von Groessen der Quantenwelt abhaengig ist.
Oder das mechanische Geraet fuer die Lottoziehung, dessen Mechanismus determiniert ist, aber anscheinend physikalisch zufaellige Zufallszahlen liefert.

Man koennte auch folgende Hypothese aufstellen :

Der Zufall der Quantenmechanik ist nicht determiniert


Ich moechte im folgenden Thread auch versuchen gewisse Analogien zwischen Mathematik und Physik stets im Auge zu behalten.
Und insbesonders natuerlich auch Abweichungen der Aehnlichkeit.

Mit den letzten beiden Hypothesen haetten wir schon mal einen scheinbar fundamentalen Unterschied zwischen Mathematik und Physik gezeigt.
In der Physik sind die gueltigen physikalischen Gesetzt abhaengig von dem verwendeten absoluten Maßstab.
Im Makrokosmos scheinen andere Gesetzte zu gelten wie im Mikrokosmos oder der Kosmologie.

Eine solche Unterscheidung kennt die Mathematik bisher nicht.
Die Mathematik ist ohne Frage eine Geisteswissenschaft.
Neben der Philosophie die Mutter aller Geisteswissenschaften.
Sie ist aber nur ein Teil der Geisteswissenschaften.
Wir koennten also die fehlende Unterscheidung eines Mikro und Makrokosmos in der Mathematik dadurch begruenden, dass eine dieser Welten durch eine andere Geisteswissenschaft beschrieben wird.
Da ich nicht festlegen moechte welcher Bereich dies konkret ist nenne ich
dies einfach "Mathematik plus plus " kurz Mathe++

Jetzt moechte ich folgende Klassifizierung relativ intuitiv vorschlagen :

Makrowelt - Mathenatik
Mikrowelt - Mathematik++

Diese Mathematik++ koennte zum Beispiel eine um den semantischen Informationsbegriff erweiterte Mathematik sein. Eine um Emotionen erweiterte Mathematik.

Eigentlich wollte ich ja aber versuchen das Wesen einer Zufallszahl erweitert zu beleuchten.
Hier faellt zunaechst auf, dass der undeterminierte Zufall in der Mathematik unmoeglich ist.
Ein Programm ist determiniert und daher ist dessen Output stets determiniert. Auch wenn der Output uns zufaellig erscheint.

Im Gegensatz dazu scheint es im physikalischen Bereich beide Zufallsformen zu geben. Beim physikalischen Zufall scheint dies selbstverstaendlich.
Wie sieht es mit dem physikalischen determinierten Zufall aus ?
Verwenden wir hier eine analoge also nichtdiskrete Zufallsgroesse koennen wir nie sicher sein, dass hier der physikalische Zufall einen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis haben kann.
(Siehe Lottoziehung)

Wir kennen natuerlich auch diskrete physikalische Groessen.
Kennen wir die wirklich ?
Ist ein physikalisches System, dass nur natuerliche Zahlen kennt noch ein rein physikalisches System ?
Aber egal.

Ich hab mir einen Versuch ausgedacht anhand dessen man entscheiden kann ob es einen reinen physikalischen determinierten Zufall gibt.
Dazu mehr im naechsten Beitrag.

[Kurt]

Zitat von richy

Zum physikalischen Zufall gibt es ja recht wenig determiniertes zu sagen.
Ausser vielleicht dass z.B bei weissem Rauschen das Spektrum ueber alle Frequenzen konstant ist.

Hallo richy, du versuchst hier etwas zu untersuchen das du vorher als gegeben postulierst/annimmst.

Wiesses Rauschen hat mit Zufall, so wie du den Begriff hier verwenden willst, nichts zu tun.
Weisses Rauschen ist 100% zufallsfrei.

Kurt

[richy]

Oh je Kurt

Hallo richy, du versuchst hier etwas zu untersuchen das du vorher als gegeben postulierst/annimmst.

Warum sollte man eine Hypothese nicht pruefen. Aber deine Aussage ist leider falsch, denn ich habe vorsichtig geschrieben :

Ein makroskopischer physikalischer nichtlinearer Zufallsprozess einer nichtdiskreten Variable enthaelt stest einen nichtdeterminierten Zufallsanteil.

Untersuchen moechte ich aber den determinieren Zufall einer diskreten Groesse.

Weisses Rauschen ist 100% zufallsfrei.

*fg
Der Wahreitsgehalt deines Postings betraegt 0%.

[Jogi]

Hi richy.

Wer dich kennt, ahnt zumindest, worauf du hinaus willst.

Bisher bin ich der Ansicht, dass es in allerletzter Konsequenz den Zufall im für uns wahrnehmbaren Teil des Universums nicht geben kann.
Weil:

Zitat von richy

Ein makroskopischer physikalischer nichtlinearer Zufallsprozess einer nichtdiskreten Variable enthaelt stest einen nichtdeterminierten Zufallsanteil.

So sieht's im Makro aus.
In der für uns bisher höchsterreichbaren Auflösung scheint es jedoch keine physikalischen nichtdiskreten Variablen zu geben, alles zeigt sich uns in letzter (wahrnehmbarer) Konsequenz als diskret quantisiert (und daher determiniert).

Wäre natürlich interessant, unterhalb dieser Schwelle über ein nichtdiskretes Kontinuum nachzudenken, mehr als Nachdenken is' aber nich'.

Ich lass' mich da gerne eines Besseren belehren, die absolute Determiniertheit ist für uns als Menschen in höchstem Maße unbefriedigend.

Zitat von richy

Untersuchen moechte ich aber den determinierten Zufall einer diskreten Groesse.

Okay, leg' los.
Darf man Tips abgeben, was dabei herauskommen wird?


Gruß Jogi

[richy]

EDIT
UUPS als ich das schrieb, gab es nur die Antwort von Kurt zum Thema

Okay, leg' los.
Darf man Tips abgeben, was dabei herauskommen wird?

Klar aber ich meine du wirst dich wie meiner einer zunaechst verschaetzen.

... Detaillierte Antworten folgen noch aber ich will ja erst folgendes erledigen :

Zum numerischen Versuch.

Der ist relativ einfach und man koennte meinen, dass man sich diesen auch sparen koennte.
Als Randomgenerator soll eine diskretisierte Form der Verhulst Gleichung dienen. Verhulst hat seine Gleichung anhand biologischer Populationsgroessen hergeleitet. Nun sind solche Polpulationsgroessen diskrete Werte. Man koennte voreilig annehmen, dass damit ein physikalischer diskretisierter determinierter Zufall bereits nachgewiesen ist.
Als vorsichtiger Mensch moechte ich dies aber lieber nochmals im mathematischen Modell selbst ueberpruefen.
Vorweg: Dabei wird sich eine kleine Ueberraschung ergeben.

Wie leitet sich die Verhulst Gleichung her ?
Dabei kann man von folgender Gleichung ausgehen :
y[i]:=a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1]);

Dabei ist Pop_max die maximale Populationsgroesse und a ein Parameter, der im Intervall [0..4] zu Populationen fuehrt die nicht divergieren.
(Was weniger bekannt ist : Es gibt ausserhalb des Intervalls [0..4] weitere stabile Intervalle, die selbst einen Cantor Staub darstellen)

Die uebliche Vorgehensweise ist nun, dass man die maximale Populationsgroesse zu eins normiert und die Werte von y[i] als kontinuierlich ansieht. Die Motivation dabei ist, dass man diskrete
Werte der Population erhaelt, indem man ceil(y[i]*Pop_max) bildet.

Dies entspricht aber nicht mehr dem eigentlichen Prozess. Eine Raupenpopulation stellt stets einen diskreten Wert dar. Sie muesste somit ueber eine diophantische DZGL beschrieben werden.
Also eine DZGL in der nur ganzzahlige Werte vorkommen.

Die Implementation dafuer scheint zunaechst einfach. Man geht von der urspruenglichen Gleichung aus und simuliert diese.
y[i]:=a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1]);

Wobei man die Uebertragungsfumktion nun auch als
f(i)= ceil(a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])); darstellen kann :

Das sind aber keine diophantischen Gleichungen !
moment ....

[rene]

Schlussendlich reduziert sich das Problem um von der Gesamtheit einer beliebigen Menge auf ein einzelnes darin enthaltenes Element zu schliessen, oder aus mehreren Elementen auf die Gesamtheit. Dies gelingt nur durch statistische Methoden, welche von nicht abgezählten unbekannten Mengen und ihrer Untermengen anhand von Stichproben diese nachzubilden (abzuschätzen) versuchen. Entweder müssten alle Elemente ausgezählt werden (was jedoch bei sehr grossen Mengen nicht möglich ist) um ein korrektes Ergebnis zu liefern – oder eine genügend grosse Stichprobenmenge zusammenkommen, um die Irrtumswahrscheinlichkeit gemachter Hypothesen möglichst klein zu halten.

Beim Doppelspaltexperiment z.B. liegt vor der Messung der Pfad des Weges im Unbekannten (zwangsläufige Bedingung für Interferenz). Der Aufschlagpunkt als realisierte Messung (Kollaps der Wellenfunktion) repräsentiert in seiner Gesamtheit aller Messungen den Zustand eines einzigen Teilchens in der Versuchsapparatur. Natürlich steht das Gesamtergebnis schon im Vorhinein fest, wenn wir die Wellenfunktion kennen. Wie sich nun aber das einzelne Teilchen manifestiert, ist dem Zufall überlassen. In der Gesamtheit aller gemessenen Teilchen erfüllt sich der Ausgang des Experiments mit den Prognosen aus der Wellenfunktion. Die Natur würfelt zwar, aber immer so, dass die Erhaltungsgesetze bewahrt bleiben.

Dabei ist es eine Frage des Standpunktes, den man einzunehmen gedenkt: Den Zufall, die Unbestimmtheit zur unüberwindbaren Maxime erklären; oder ihn den nicht restlos bestimmten Ausgangsgrössen zuzuordnen. Beiden philosophischen Grundrichtungen ist bis heute eines gemeinsam: das Ergebnis!

Der Determinismus in seiner vollendeten Form wäre dann ein Laplace'scher Dämon, der unter der Voraussetzung aller bekannter Inertialbedingungen die Zustände aller Teilchen für beliebige Zeitpunkte reproduziert.

Wenn wir mal vom Konflikt mit der Relativitätstheorie absehen (Horizontproblem wegen der Begrenztheit von c), sehe ich ernste praktische Schwierigkeiten, unseren Dämon mit all den benötigten Daten zu füttern. Beschränken wir uns probeweise nur auf ein Teilchen, stellen wir ernüchternd fest, dass sich dummerweise Ort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmen lassen. Und dass dieses Faktum nicht auf einer unzulänglichen Messmethodik beruht, hat uns W.Heisenberg mit seiner Unschärferelation bestens vor Augen geführt.

Auch chaotische Systeme stellten den Dämon vor ein ernstes Problem: Die Anzahl der Werte für eine benötigte Berechnung kann exponentiell anwachsen, so dass im Extremfall der Dämon länger mit Rechnen beschäftigt wäre als das Universum gebraucht hat um diesen Zustand zu erreichen. Er käme hoffnungslos zu spät.

Die "geistige" Mathematik enthält somit einen determinierten Kern, der über sein gesamtes Potential der möglichen Wechselwirkungen abgebildet wird und sich durch die physikalische Interaktion resp. durch seine Auswertung/Berechnung "lebendig" macht als scheinbar chaotische Abfolge einer beliebigen Sequenz davon.

Grüsse, rene

[richy]

@Jogi

Bisher bin ich der Ansicht, dass es in allerletzter Konsequenz den Zufall im für uns wahrnehmbaren Teil des Universums nicht geben kann.

Dann muss es wenigstens einen determinierten makroskopischen physikalischen Zufall geben. Und bei dessen Nachweis stosse ich wie du schon gesehen hast oder noch sehen wirst gerade auf einige Probleme.

@Georg

Soweit ich das verstanden hab, soll also die Mathematik++ das menschliche Verhalten in den nichtdeterminisierten, mikroskopischen Zufall miteinbeziehen.

Das weiss ich nicht. Ich kann noch ueberhaupt keine Aussagen ueber Mathe++ treffen. Ich weiss nur, dass alleine die Mathematik diese nicht darstellen kann. Ich weiss noch nichtmal ob es Mathe++ ueberhaupt gibt.
Dies folgt ja nur aus einem Vergleich des Komplementaeren zwischen Physik und Mathematik.

Physik : sicherlich undeterminierter Zufall, deterninierter Zufall ?
Mathematik : determinierter Zufall, undeterminierter ausgeschlossen

Damit Mathematik und Physik vergleichbar bleiben muesste diese Mathematik++ einen undeterminierten, also Zufall auf geistiger Ebene erzeugen.
Oder es zeigt sich, dass es gar keinen determinierten physikalischen Zufall gibt.
Dann bliebe die Komplementaritaet, die ich voraussetze und das natuerlich willkuerlich, erhalten.
Hey das Wort gibt es wirklich :
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplementarit%C3%A4t

Schwierig wird es an dieser Stelle, eine Mathematik++ zu definieren; also Rechenregel für die Emotionen jedes Individuums als einzelnes in einen kollektiven Zusammenhang vom Verhalten Aller zu Verknüpfen.

Koennte sein dass B.Heim diese Aufgabe bereits geloest hat.

@rene
Puh schwierig zu lesen. So weit moecht ich aber gar nicht ins Detail vorgehen. Ich moechte einfach mal ueber die angenommene Komplementaritaet gewisse Klassifizierungen vornehmen und vergleichen.
Ob es dabei ein Ergebnis gibt weiss ich nicht.

[richy]

Ok jetzt weiter im Versuch dessen Motivation ich nochmal kurz zusammenfasse :
Ich moechte ueber ein mathematisches Modell einen determinierten physikalischen Zufall beschreiben. Nun ist anzunehmen, dass jedliches physikalische System mit einem physikalischen Zufall behaftet ist.
Mit einem Rauschprozess. Gell Kurt :-)
Um diesen zu eleminieren betrachte ich diskrtisierte malroskopische Objekte : Raupen, Kuehe, Baeume, Planeten etc ...
In einem einfachen Modell wird sich ein Baum nicht aufgrund der Quantenmechanik in zwei Baeume verwandeln.
Es bleibt die Frage ob die Unterscheidung zwischen einem Baum und zwei Baeumen eigentlich eine physikalische oder abstrakte Unterscheidung ist.
Das lasse ich aber mal aussen vor.

Jetzt hat sich gezeigt.
Die Verhulstgleichung als Prototyp des determinierten Zufalls (z.B. bei einer Raupenpopulation ) ist gar kein geeignetes Modell um den eigentlichen Vorgang bei diskreten Systemen zu beschreiben.
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung

Im folgenden moechte ich diese in ihrer urspruenglichen Form numerisch simulieren.

1) y[i]:=a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])
2) y[i]:=a*y[i-1]-a/Pop_max*y[i-1]^2


Betrachten wir die Gleichung genauer, so sehen wir, dass das eigentliche Ziel damit auch nicht erreicht wird.
Das Ziel sollte sein einen determinierter Zufall lediglich ueber natuerlich Zahlen zu beschreiben.
In Gleichung 2 koennen wir dies beim ersten Summanden erreichen wenn a ganzzahlig ist.
Im zweiten Summanden wird es aber schwierig.
Der Ausdruck a/Pop_max*y[i-1]^2 muesste dazu ganzzahlig sein.
a, Pop_max, y[i-1]^2 sind ganzzahlig. Wir koennen aber nicht erwarten,
dass y[i-1]^2/Pop_max stets ganzzahlig ist. Dazu in einem determiniert chaotischen Prozess. Wir koennen nur aussagen, dass dieser Summand nicht irrational ist.
Dies genauer zu untersuchen wird noch kniffelig werden.

Zwischenbemerkung :
Falls es mir nicht gelingt mit der vorgestellten Methode einen physikalischen determinierten Zufall herzuleiten kann dies auch einfach daran liegen, dass die Methode ungeeignet ist.
Hat jemand eine bessere Idee ?

Obwohl die Methode anscheinend noch mangelhaft ist, stelle ich einige Ergebnisse hier mal vor :
Zunaechst laesst sich der der ganzzahligen Charakter ueber folgende Uebertragungsfunktion, Operator S{} erzwingen :

a) S(y)=floor(y)
b) S(y)=ceil(y)=(y-frac(y))

Diesen kann ich wie folgt anwenden :

i)
y[i]:=S{a/Pop_max*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])}
ii)
y[i]:=S{a/Pop_max*y[i-1]}*(Pop_max-y[i-1])
iii)
y[i]:=S{a/Pop_max}*y[i-1]*(Pop_max-y[i-1])

Methode iii) wurde ein a>4 also im "Cantorbereich" erfordern

Zur Veranschaulichung die Uebertragungsfunktionen fuer a=4,Pop_max=10 :



Beobachtung beim numerischen Experiment :
***********************************
Benutzt man die ceil() Funktion und den Parameter a=4, so kann die Population spontan "aussterben"
Das ist verstaendlich, denn die Funktion kann y[i] nach pop_max runden und im naechsten Schritt bedeutet dies das Ende der Population.

Als Tierfreund werde ich im folgenden daher floor(y) verwenden.

Beobachtung :
************
Der Parameter a=4 fuehrt in der "analogen" Verhulst Gleichung zu chaotischem Verhalten. In der diophantischen floor Variante ist dies nicht der Fall !
Erst bei einer genuegend hoher Anzahl von natuerlichen Zahlen tritt
chaotisches Verhalten auf. Das hatte ich eher nicht erwartet !

Systematisches Erfassen.
********************
Der Grad von Ordnung-Unordung,Chaos,Zufall laesst sich ueber den Ljapunov Exponenten bestimmen.
Ueblicherweise wird dieser uber den Parameter a dargestellt.
Im folgenden habe ich diesen ueber die maximale Populationsgroesse pop_max und a=4 dargestellt.

Anmerkung:
**********
Den Ljapunovexponenten (also unser Zufallsanzeigegeraet) kann man
innerhalb der Simulation numerisch bestimmen.
Dabei muss jedoch die Ableitung der Uebertragungsfunktion analytisch bekannt sein.
http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le1.htm

Man muesste aufgrund der unstetigen floor() Funktion hier die Distributionentheorie anwenden. Darauf habe ich in der folgenden Darstellung verzichtet. Diese ist daher auch fehlerhaft, aber dennoch bereits recht interessant.
Wer haette so etwas erwartet ?



Im naechstem Posting werde ich eine Methode vorstellen wie auch ohne Distributionentheorie der Ljapunovexponent fuer den konkreten Fall "fehlerfrei" berechnet werden kann.
Und diesen natuerlich darstellen.
Dazu muss ich noch bischen Programmierarbeit leisten.
Denke in einer Stunde bin ich fertig.

[Kurt]

Zitat von richy

Nun ist anzunehmen, dass jedliches physikalische System mit einem physikalischen Zufall behaftet ist.
Mit einem Rauschprozess. Gell Kurt :-)

Jaja richy,
auch Rauschen ist 100% Zufallsfrei.

Kurt

[richy]

@JGC
Ich habe noch eine Bitte. Ich moechte erstmal die numerischen Experimente hier durchziehen. Und so wie es aussieht scheinen diese recht interessante Aspekte zu liefern.
Den H20 Thread hatte ich mir auch anders vorgestellt. Wobei ich aber auch selber dazu beigetragen habe diesen voellig Off Topic laufen zu lassen.
Ich haette da gerne weiter Anomalien des Wassers und Erklaerungsversuche zusammengestellt.

(@JGC folgendes betrifft nicht dich alleine sondern alle, inclusive meiner Person)
Man kann sich die Thread Ueberschriften im Forum hier eigentlich sparen. Denn fast jeder Thread endet in einem allgemeinen Palaver, dass mit dem Ausgangsthema meist nichts mehr zu tun hat.
Das sollten wir unbedingt verbessern !
Meist genuegt hier ein inertiales Posting um das Thema auseinanderlaufen zu lassen.

Dein letzter Thread hat zwar etwas mit Zufall zu tun, aber nicht mit der Methode wie ich diesen hier gerade abgrenzen moechte.
Er koennte daher einer dieser Off Topic Initialisierungs Postings darstellen. Ich moechte in diesem Thread das Thema in meiner Betrachtungsweise aber zunaechst durchziehen.
Dazu passt dein Posting nicht.

Vergessen wir das also zunaechst. Wir koennen spaeter gerne weiter dazu diskutieren. An dieser Stelle aber noch nicht.
Vergessen wir auch dieses Posting hier meinerseits. Wenn du darauf eingehen moechtest dann eroeffne bitte einen neuen Thread.

Und falls es dir noch nicht aufgefallen ist.
Ich bin gerade dabei hier eine gewisse Systematik zu erarbeiten, die auch deine Sichtweise der Dinge zum Teil rechtfertigen wuerde.
Aber wenn wir darueber diskutieren wollen.
Bitte nicht hier sondern in einem neuen Thread.

@Kurt

Jaja richy,
auch Rauschen ist 100% Zufallsfrei.

Wenn du aussagen moechtest, dass weisses Rauschen kein Zufallsprozess ist, dann mache dafuer einen neuen Thread auf.
In deinem Rauschthread kannst du dann auch einen analytischen Ausdruck fuer diese dargestellte Funktion angeben :