Paradoxien-ihr Wesen als begriffliche Rückkopplungen

[richy]

1) Der Hase erreicht aufgrund der iterativen Aufgabenstellung die Schildkroete nach UNENDLICH vielen Iterationen.
(Und daher kann er sie aufgrund der Aufgabenstellung schon niemals erreichen. Wenn wir uns jeden Iterationsschritt ueberlegen brauchen wir dafuer unendlich lange Zeit.

2) Man nehme die reale diskretisierte Sicht des Hasen ein.
Er betrachtet die Schildkroete in immer kuerzeren Streckenabstaenden. Und wenn die relativgeschwindigkeit von beiden Konstant ist daher auch in immer kuerzeren Zeitabstaenden dt. Wenn er die Schildkrote nach unendlich vielen Iterationen nun doch erreicht hat gilt dt=0. Wie koennte er noch kleinere Abstaende betrachten ? dt<0. Es muesste die Zeit rueckwaerts laufen. Das geht gedanklich ganz einfach.

Sobald man den Grenzwert erreicht muss man den Vorgang somit rueckwaerts betrachten. Die Verhaeltnisse spiegeln sich Dann passt das auch.
Und so kann man die Aufgabe auch ohne den differentiellen Geschwindigkeitsbegriff loesen.
Kein Paradoxon

[Harti]

Zitat von EMI

Du brauchst dich doch nur in eines der BS zu begeben, dieses ruht dann zu dir.

Hallo EMI,
natürlich kann ich mir vorstellen, dass ein BS (mit mir)ruht und das andere sich bewegt, und ich komme zu eindeutigen Ergebnissen bei der Betrachtung der Bewegung. Richtung und Geschwindigkeit des bewegten Systems werden dann durch das Ruhesystem ( in der Theorie Koordinatensystem) bestimmt.
Nur wenn man im Wechsel im Zenon-Paradoxon mal Achilles und mal die Schildkröte als ruhend betrachtet (Variante A meiner Lösung) führt dies zu dem nicht realitätsgerechten Ergebnis, dass Achilles die Schildkröte nie erreicht, lediglich der Abstand immer geringer wird.

Das Zenon-Paradoxon ist aber so konstruiert, dass beide sich bewegen.
Richtung und Geschwindigkeit der zwei Bewegungen kann ich dann nur mit Hilfe eines dritten, als ruhend vorgestellten Bezugssystems,, bestimmen. In der Realität z.B. mit Hilfe der Straße, in der Theorie (Mathematik) mit Hilfe eines Weg-Zeit-Diagramms in dem die bewegten Systeme als Geraden erscheinen, die sich an der Stelle schneiden, an der Achilles die Schidkröte überholt.

Man könnte die Notwendigkeit eines dritten Systems auch mit der SRT begründen.
Wenn ich nämlich annehme, dass Achilles und die Schildkröte sich gleichzeitig bewegen, kann "Gleichzeitigkeit" für beide nur ein drittes System liefern. Gleichzeitigkeit in zwei von einander unabhängigen, bewegten Systemen wird durch die SRT ausgeschlossen.

Zum Beitrag von JoAx werde ich mich morgen äußern.

MfG
Harti

[richy]

hhhhhhhhhhhhhhhhsssssssshhhhssh.....

Ich rechne es mal schnell durch :

1)
Der Hase sei c mal schneller als die Schildkroete :
vH=c*vS => vS/vH=1/c

Der Abstand fuer t=0 sei x0
Wir sollten wissen wie lange der Hase fuer diese Strecke braucht, weil wir daraus "berechnen" koennen wie weit die Schildkroete dann kam.
Hase t=x0/vH
Die Schildkroete kommt in dieser Zeit wie weit ?
Schildkroete x=t*vS=x0/vH*vS=x0*1/c. Das war logisch zu erwarten.

x0=x0*1/c ist somit der Abstand, Ausgangspunkt fuer die zweite Betrachtung. Und da sich lediglich X0 veraendert hat und wir nur diese als Ausgangsgroesse verwendet haben, wird unser naechster Abstand sein x0*1/c^2
Der Hase ist dann insgesamt weitergekommen : x0*(1+1/c)
Im k_ten Schritt: x0*(1+ 1/c + 1/c^2 + 1/c^3 .... +1/c^k)

Er hat die Kroete nach unendlich vielen Schritten k->00 erreicht.
Das ist eine geometrische Reihe und diese konvergiert im vorliegenden Fall fuer c>1
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
Der Hase hat somit nach x0/(1-1/c) Metern,
xH=x0 *c/(c-1) Meter die Schildkroete erreicht.
************
Nichts paradoxes wenn man die geometrische Reihe kennt.


Vergleich mit ueblicher Rechnung Im s(t) Diagramm :
***************************************
vH*t=x0+vS*t
Sie treffen sich zum Zeitpunkt t=x0/(vH-Vs)
In dieser Zeit hat der Hase welchen Weg zurueckgelegt ?
xH=x0*vH/(vH-Vs)
xH=x0*c/(c-1)
***********

2)
Welche Zeitabschnitte betrachtet der Hase im k ten Schritt ?
***********************************************
t(k)=t0/c^k
Die Zeitabschnitte streben wie die Wegabschnitte gegen Null.
Aus Sicht des Hasen dreht sich nach dem Ueberholvorgang die Zeit um. Wenn er rueckwaerts schaut entfernt er sich nun von der Schildkroete.

[richy]

Interessante Sache. Waehlt man beschleunigte Hasen lassen sich sicherlich auch andere Reihensummen ueber Polynome berechnen.

[Knut Hacker]

Harti,

Bauhof hat bereits darauf hingewiesen, dass auch eine Ruheposition relativ ist.In den beiden Relativitätstheorien ist der Grundzustand eines jeden Körpers die gleichförmige geradlinige Bewegung. Ein Körper befindet sich daher nur von einem Betrachter aus im Ruhezustand, der sich in der Raumzeit sozusagen parallel dazu bewegt.Grund für diese Ergebnisse ist, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Bewegung des Beobachters und von der Bewegung der Lichtquellen immer gleich bleibt. Daraus hat Einstein gefolgert, dass nicht – wie bei Newton – die Raumzeit absolut ist, sondern die Lichtgeschwindigkeit. Daraus folgt, dass Bewegung primär ist .

Somit ergibt sich, wie ich im Ausgangsbeitrag ausgeführt habe, zwar eine mathematisch/ physikalische Beschreibung der Bewegungsparadoxien Zenons, aber keine Erklärung.Gleiches gilt für die Heranziehung der Infinitesimalrechnung.

Befriedigender erscheint mir da schon die philosophische Lösung, angelehnt an die des Aristoteles (Das Teil ist ein Teil erst nach der Teilung):

Den Bewegungsparadoxien liegt eine Verwechslung von Einheit und Menge vor.
Die Einheit ist Struktur und besteht nicht aus Teilen (Denn wo sollten die Grenzen sein?Außerdem wäre jedes Teil ja wiederum ein Ganzes ad infinitum. Anderersits: Ein Ganzes, das nur endlich teilbar wäre, wiese Lücken zwischen den Teilen auf), sondern ist lediglich teilBAR.
Sowohl nach der Quantenphysik als auch nach der Chaosforschung ist das Ganze etwas anderes als die Summe seiner Teile.
Die Menge dagegen ist die Summe von Einheiten, die seine abgegrenzten Teile sind.
So ist der Weg (den Achilles bei Zenon zurücklegt) Einheit mit der Struktur einer Geraden.Die Zeit (die Achilles benötigt, um den Weg zurückzulegen) ist Einheit mit der Struktur eines gerichteten(Zeitpfeil) Kontinuums.Es gibt weder Raum- noch Zeit- „Punkte“.Bewegung ist Weg dividiert durch Zeit, also ebenfalls Einheit.Wo der Weg gegen Null strebt oder die Zeit gegen Unendlich, ist keine Bewegung.

Noch interessanter als die Frage, ob es sich bei den Paradoxien des Zenon um sogenannte echte Paradoxien, das heißt um unauflösbare Widersprüche, handelt, erscheint mir die Frage der echten Paradoxien selbst. Sie entspringen der aristotelischen Logik des tertium non datur, also unserem Denken in Widersprüchen. Widersprüche sind demnach nicht auflösbar. Die Quantenphysik hat jedoch die mehrwertige (komplementäre) Logik wieder zur Geltung gebracht und weiterentwickelt (seit Hegel).Das Prinzip der Nichtlokalität besagt ja ,dass subatomare Teile (und nach neuesten Forschungen auch nicht nur Atome, sondern sogar kleine Moleküle) in der sogenannten (unnbeobachteten,nicht gemessenen) Superposition(Schrödinger´sche Wellengleichungen) keine streng definierte („wohldefinierte“) Position in der Raumzeit einnehmen, also philosophisch gesprochen weder sind noch nicht sind.Mit diesem Widerspruch kommt man glänzend zurecht, wenn man die quantenmechanischen Vorgänge nicht mit Begriffen, sondern mit der Mathematik beschreibt.

[Knut Hacker]

richy,
kannst Du auch das von mir im Ausgangsbeitrag beschriebene Thompson´sche Lampenparadoxon durchrechnen?Ich glaube, da gibt es überhaupt nichts zu rechnen außer der infinitesimalen Beschreibung.Aber es handelt sich doch um das gleiche Paradoxon wie die vier Bewegungsparadoxien Zenons (wobei allerdings das Stadion-Paradoxon schon von der überlieferten Beschreibung her mysteriös bleibt).Die Schildkröte ist überflüssig, denn Zenon will ja aufzeigen, dass Bewegung unmöglich sei, weil hierzu unendlich viele Weg-und Zeitabschnitte -ob zur bewegten Schildkröte oder zu einem festen Ziel hin - zurückzulegen wären.

[richy]

Hi Knut
Werde es mir anschauen. Klar falls moegliche versuche ich es zu rechnen.
Der Hammer bezueglich Zenon kommt aber noch
Penrose oder Hardy oder Gauss wuerden naehmlich behaupten, dass in einem komplexertigen Raum der Hase die Schildkroete sogar dann erreicht wenn er langsaemer ist als sie ! Kein Witz.
Siehe hier
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1646

[Knut Hacker]

Noch einmal. Das Problem der relativen Bewegungen (Achilles und die Schildkröte) sieht Zenon lediglich als Unterproblem des allgemeinen Problems der Bewegung, die er begrifflich für unmöglich hält. Aristoteles hat die Ausgangsparadoxie der Halbierung und die Folgeparadoxien des Achilles, des Pfeils und des Stadions überliefert.Die Originalbeschreibung des ersteren lautet:“Das erste zeigt, dass keine Bewegung stattfindet, indem das Bewegende, ehe es das Ziel erreicht, zuvor die Hälfte erreichen muss.“ Dieser Vorgang wiederholt sich unendlich.Das Paradoxon des Achilles und der Schildkröte ist also nur dann zu lösen, wenn man das Paradoxon der Bewegung überhaupt löst. Dieses stellt sich aber meiner Ansicht nach lediglich begrifflich, nicht logisch, nicht einmal nach der zweiwertigen aristotelischen Logik.Es ist ein Phänomen entweder des Kontinuums- dann müssen nicht unendlich viele Teilstrecken oder Teilzeiten durchlaufen werden – oder der Quantelung – dann müssen nur endlich viele Weg-und Zeitabschnitte (Planck´sche Mindestgrößen) durchlaufen werden.Es handelt sich auch nur um eine Verwechslung von Unendlich und Unbegrenzt.Das Ganze lässt sich zwar unendlich teilen, aber bei jeder Teilung bleiben begrenzt viele Teile übrig.Die Teilbarkeit ist unendlich, aber die Teile bleiben immer begrenzt viele. Wie beim Zählen: man kann unendlich lange zählen, aber immer mit endlichen Zahlen.

[Harti]

Zitat von JoAx

Das ist definitiv nicht richtig. Wenn ich weiss, dass beide Autos mit der gleichen Hupe ausgestattet sind, dann kann ich durch Vergleich der Tonhöhe entscheiden, ob die Autos sich nähern oder entfernen. Ganz ohne eines dritten BS's.

Ich meine in diesem konkreten Beispiel übernimmt die Luft als Träger der Schallwellen die Funktion des "ruhenden" Bezugssystems.
Die Schallwellen bilden, wie die PKW, ein bewegtes System. Die Luft ist im Verhältnis zu den Schallwellen ein ruhendes System; wenn man PKW und Schallwellen gemeinsam als bewegte Systeme betrachtet, ist die Luft gewissermaßen ein viertes ruhendes System. Deswegen war man doch früher der Meinung, es müsse einen Äther geben, in dem die Lichtwellen sich bewegen.

Bei dir und einer entfernten Galaxie übernehmen hauptsächlich Wasserstoff und Helium die Rolle einer Hupe. Simple Rotverschiebung, Harti.

Na ja, ganz so simpel erscheint mir die Sache nicht. Wenn ich das bewegte Licht mit Hilfe des Doppler-Effektes zur Bestimmung der Bewegung zwischen mir und einer Galaxie benutze, stellt sich die Frage: Welches ist das Ruhesystem im Verhältnis zu dem sich das Licht bewegt, welches Bezugssystem liefern mir Strecke und Zeit für die Lichtgeschwindigkeit ? Ein Äther ist es nicht, seine Existenz hat man jedenfalls nicht feststellen können. Nach dem 2.Postulat der SRT (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit) können jede beliebige Strecke und in ihm ruhende Uhr des Universums als ruhendes Bezugssystem für die Bestimmung der Lichtbewegung (Lichtgeschwindigkeit) herangezogen werden. Dies kann man m.E. nur so interpretieren, dass das Universum in seiner Gesamtheit als ruhendes Bezugssystem im Verhältnis zum bewegten Licht vorgestellt, gedacht,fingiert wird (Stichwort: Blockuniversum). Auch die SRT kommt an der Denknotwendigkeit, dass Bewegung nur im Verhältnis zu Ruhe (ob in Form eines einzelnen Bezugssystems oder des Universums in seiner Gesamtheit) vorstellbar ist, nicht vorbei. Dies ist im 2.Postulat der SRT verdeckt enthalten.

Das kannst du eben frei definieren/wählen. Die einzige Bedingung an ein Ruhesystem ist, dass dieses inertial sein muss = nicht beschleunigt.

Ich bin der Meinung, dass man ein Ruhesystem nicht nur frei wählen kann, sondern frei wählen muss, um Widerspruchsfreiheit in Bezug auf Bewegungen zu erreichen.
Ein Inertialsystem ist für mich ein idealisiertes System im Rahmen der SRT, weil es dies in der Wirklichkeit nur näherungsweise gibt, da es 100%-tige Kräftefreiheit nicht gibt.

Das ergibt sich aus der Aufgabenstellung mehr oder weniger automatisch.
Sind nur zwei Objekte angegeben und mit einer Geschwindigkeit verknüpft, dann ist die Geschwindigkeit zwischen diesen Objekten gemeint. Ob jetzt das eine Objekt dabei als Bezug dient, oder das andere, ist unerheblich, die Geschwindigkeit bleibt vom Betrag und Richtung (im Sinne zu/von einander) die selbe.

Man kann die Betrachtung von zwei Bewegungen natürlich auf die Relativgeschwindigkeit beschränken. Dann erhält man aber keine Klarheit (Widerspruchsfreiheit) hinsichtlich der Richtung der Bewegungen. Um diese Klarheit zu erhalten, braucht man nach meiner Überzeugung ein drittes, als ruhend vorgestelltes Bezugssystem.

MfG
Harti

[Bauhof]

Zitat von Harti

Man kann die Betrachtung von zwei Bewegungen natürlich auf die Relativgeschwindigkeit beschränken. Dann erhält man aber keine Klarheit (Widerspruchsfreiheit) hinsichtlich der Richtung der Bewegungen. Um diese Klarheit zu erhalten, braucht man nach meiner Überzeugung ein drittes, als ruhend vorgestelltes Bezugssystem. MfG Harti

Hallo Harti,

auch ein drittes Bezugssystem kann keine Klarheit darüber schaffen über die absolute Richtung einer Bewegung.

In einem dritten Bezugssystem A sieht der darin befindliche Beobachter das Auto von links kommen.

In einem anderen dritten Bezugssystem B [1] sieht der darin befindliche Beobachter das gleiche Auto von rechts kommen.

Wie sollen sich die Bebachter in A und B über eine angebliche absolute Richtung der Bewegung des Autos einig werden?

M.f.G. Eugen Bauhof

[1] Das gegenüber A im Raum um 180 Grad gedreht ist.