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Plauderecke Alles, was garantiert nichts mit Physik zu tun hat. Seid nett zueinander! |
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#21
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AW: DGL versus DZGL
Wer ist denn eigentlich dieser Wolfram ?
Auch backe :-) Stephen Wolfram Auch fuer Physiker recht interessant http://de.wikipedia.org/wiki/Stephen_Wolfram http://www.johannarauch.de/PDF/Dath_Wolfram_FAZ.pdf Ge?ndert von richy (14.09.10 um 23:56 Uhr) |
#22
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AW: DGL versus DZGL
Auch wenn es nicht zum Kernthema dieses Threads gehört kann die nachfolgend zitierte EMI-Antwort so nicht stehen gelassen werden.
Unbegreiflich, solches aus dem Munde eines Ingenieurs (?) zu hören. Stahl zerbröselt nicht durch Brände. Der WTC-Kern bestand aus 47 überdimensionierten Stahlstützen: http://www.wtc-terrorattack.com/construction-2.gif http://911research.wtc7.net/talks/to...s/site1099.jpg Beachte die Ausmasse der inneren Stützen. Selbst wenn sich diese unter dem Einfluss der Temperatur (Kerosinbrand 800 bis 1'000 °C) erweicht hätten, wären sie nicht einfach verschwunden. Stahl schmilzt bei rund 1'500 °C. Nach dem quasi freien Fall der Etagen und der Fassadenelemente müssten die zentralen Stützen zumindest im unteren Drittel des Towers noch immer stehend zu sehen gewesen sein. Darüber hätte es Verformungen gegeben, so dass die Stützen umgebogen wie die Stahlstäbe eines Regenschirms herabgehangen hätten. Doch nichts dergleichen. Und gerade dies ist äusserst seltsam. Anstelle dessen erblickt man abgeschnittene Stützen, wie sie durch Schneidladungen (Cutter Charge) erzeugt werden! http://www.911-archiv.net/images/sto...ikel/bild4.png Beim klassischen Brennschneiden mit der Sauerstofflanze entstehen völlig andere Schlackenränder als hier zu sehen ist. Ebenso merkwürdig ist der Einsturz von WTC 7. Es gab dafür keinen triftigen Grund - ausser es war eine gezielte und von langer Hand vorbereitete Abbruchaktion. Gr. zg |
#23
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AW: DGL versus DZGL
Zitat:
Verschwörungstheorien gehören überhaupt nicht zum Thema "DGL versus DZGL". EMI hat zwar recht, aber er hätte gar nicht auf diesen Verschwörungsmist antworten sollen, sondern uns Moderatoren eine Nachricht senden sollen. Falls weitere Beiträge zu diesem Verschwörungsmist erscheinen, werden sie gelöscht. M.f.G. Eugen Bauhof |
#24
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AW: DGL versus DZGL
Mich hat das 911 Thema nicht gestoert :-)
Bezueglich dem Vergleich DGL und DZGL ist mir inzwischen einiges klarer geworden.Die Substitution stellt ein wichtiges Hilfsmittel bei der Loesung nichtlinearer Differentialleichungen dar.Hierbei nuetzt man aus, dass nicht nur die Funktion zu substituieren ist wie u(x)=g{y(x)} => y(x)= g_invers{u(x)} sondern auch das Differential y(x)=g_invers{u(x)} dy(x)/dx=dg_invers{u(x)}/dx=dg_invers{u}/du*du/dx Man denke sich y(x) und dy(x)/dx in die DGL eingesetzt. Wird die Abbildung g{y(x)} geschickt gewaehlt, laesst sich die DGL vereinfachen und oft sogar linearisieren oder loesen. Die Substitutionsregeln wie in der Bernoulli DGL koennen bei der DZGL leider nicht einfach uebernommen werden. Denn die Verschiebung wird gleich behandelt wie die verschobene Funktion : u(k)=g{y(k)} => y(k)= g_invers{u(k)} u(k+1)=g{y(k+1)} => y(k+1)= g_invers{u(k+1)} Man sieht. An der Gestalt aendert sich hier zunaechst nichts. Erst wenn man einsetzt macht sich die Substitution nur alleine durch die Nichtlinearitaet bemerkbar. Und das scheint meist nicht ausreichend. Eine wichtige Substitutionsform fuer quadratische Nichtlearitaeten scheint von folgender Gestalt zu sein : u(k)=g{y(k+1)}/g{y(k)} Man bildet das Verhaeltnis der Iteration und versucht mittels einer Funktion g{} dieses zu vereinfachen. Im Idealfall Konstant zu halten. Denn dann ist die Loesung gefunden. Man fuehrt somit ZWEI Substitutionen durch ! 1) Abbildung auf einen Raum z z(k)=g{y(k)} z(k+1)=g{y(k+1)} 2) Abbildung des Verhaeltnisses auf einen Raum u u(k)=z(k+1)/z(k) Beispiel (in umgekehrter Reihenfolge zur Erzeugung einer DZGL : *********************************************** Annahme :Wir haben ein konstantes u gefunden : u(k)=const z(k+1)/z(k)=const und koennen somit sofort die Loeung fuer z[k] angeben z(k)=z0*const^k (Dies entspricht einer Art Exponentialansatz) ************** Angenommen z(k) hatte folgende Substitution : z(k)=ln(y(k)-0.5) Dann kennen wir die Loesung von y(k) ln(y(k)-0.5)/ln(y0-0.5)=const^k ln(y(k)-0.5)=ln(y0-0.5)*const^k ln(y(k)-0.5)=ln( (y0-0.5)^const^k) y(k)-0.5=(y0-0.5)^const^k Loesung : ******* y(k)=(y0-0.5)^const^k+0.5 ********************* Konstruktion der zugehoerigen DZGL : **************************** Es galt : z(k+1)/z(k)=const daher ln(y(k+1)-0.5)/ln(y(k)-0.5)=const daraus koennen wir die DZGL zur Loesung konstruieren : ln(y(k+1)-0.5)=ln((y(k)-0.5)^const) y(k+1)-0.5=(y(k)-0.5)^const y(k+1)=(y(k)-0.5)^const+0.5 ********************** Die Konstante ist in der konkreten log Substitution somit der Grad der Gleichung, der ueber Verkettung das verkettete Polynom const^k ten Grades erzeugt. Auf diese Weise habe ich jetzt auch rein analytisch die Verhulst Gleichung in wenigen Zeilen fuer r=2 geloest : (Man sollte dazu aber vorher schon die Loesung kennen (z.B meine graphische Methode ) http://www.quanten.de/forum/showpost...5&postcount=29 Ich meine uebrigends die r=4 Loesung von Stephan Wolfram ist nicht ganz korrekt. Edit Wolframs Loesung ist korrekt. Gruesse Ge?ndert von richy (16.09.10 um 21:01 Uhr) |
#25
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AW: DGL versus DZGL
Hi
Nochmals zu Stephen Wolframs r=4 Loesung, die im Test Unstimmigkeiten ergab : Ich moechte diese im folgenden Beitrag daher korrigieren, modifizieren. Wolfram meint somit fuer r=4 : arccos(1-2*y(n)) = 2^n *arccos(1-2*y0) d.h. arccos(1-2*y(n+1)) = 2^(n+1) *arccos(1-2*y0) => Zitat:
1-2*y(n+1)=1-8*y(n)+8*y(n)^2 Plottet man nun Zitat:
Wo liegt der "Fehler" ? 1-8*y(n)+8*y(n)^2 weist bei y=0.5 einen Wendepunkt auf 1-2*y(n) dagegen eine Nullstelle Im Arcuskosinus ergibt dies die folgende Unsymetrie Entweder bildet man den Betrag Zitat:
Zitat:
sogar fuer alle y. Hab ich fuer y=-30 000 bis 30 000 getestet Wobei ich diese Propertion noch immer nicht recht glauben will. Der Mini Peak ist sicherlich Numerik. arccos|1-2*y|=2*arccos(1-8*y+8*y^2) scheint fuer alle y eine Identitaet darzustellen. Kanns mir bisher nicht erklaeren. Und natuerlich fangen jetzt erneute Probs an. Denn wir muessen die Substitution modifizieren. Aber dass es komplizierter wird ist eigentlich ein Zeichen dass der Weg stimmt. Was aus der Loesung fuer r=4 alles folgt weiss ich noch gar nicht abzuschatzen. Ge?ndert von richy (16.09.10 um 01:10 Uhr) |
#26
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AW: DGL versus DZGL
PRAXISTEST !!!
Also nochmals der numerische gagga Test : Die Haelfte geht daneben Ge?ndert von richy (16.09.10 um 21:36 Uhr) |
#27
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AW: DGL versus DZGL
numerischer Versuch:
**************** Direker Vergleich von Wolframs Loesung mit der Iteraton : restart; with(plots): Digits:=20; N:=100; s:=0.8; sta:=s; for k from 1 to N do gagga[k]:=1/2*(1-cos(2^(k)*arccos((1-2*sta)))); s:=4*s*(1-s); loes[k]:=s; od: druck2:=seq([i,gagga[i]-loes[i]],i=1..N): plot([druck2],r=0..N,style=line); Dargestellt wird die Differenz zwischen Iteration und analytischer Loesung : Rechnung mit einer Genauigkeit von 20 Stellen : Rechnung mit einer Genauigkeit von 30 Stellen : Wolframs Loesung ist korrekt ! Die Loesung enthaelt den Ausdruck 2^k. Daher kann sie auf dem Digitalrechner nur annaehernd berechnet werden. Bei einer Aenderung der Rechengenauigkeit zeigt sich dies deutlich. Warum macht sich der von mir gezeigte "Fehler" nicht bemerkbar ? Auf beiden Seiten der Gleichung wird der cos gebildet. Und dieser ist eine gerade Funktion. Wahrscheinlich deshalb. Es war dennoch wichtig zu zeigen , dass gilt arccos(1-8*y(n)+8*y(n)^2) --------------------------- = 2 arccos|1-2*y(n)| Der Betrag ist wichtig. Es muss noch gezeigt werden warum dieser Zusammenhang ueberhaupt gueltig ist. Dieser Zusammenhang gilt fuer alle verketteten Polynome p[k+1] und p[k] ! Also Polynome 2^k ter Ordung. Der Zusammenhang entspricht dem Logarithmengesetz log(x^a)=a*log(x) Das witzige ist, dass ich fuer meine Loesung damals im Grunde die selbe Methode angewendet habe wie Wolfram, aber in einer graphischen Anschauung. Ge?ndert von richy (16.09.10 um 21:55 Uhr) |
#28
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AW: DGL versus DZGL
Hi
Neben der Z Transformation fuer lineare Differezengleichungen habe ich gerade ein maechtiges Hilfsmittel gefunden, dass auch fuer nichtlineare DZGL's einsetzbar sein koennte. Die erzeugende Funktion. Ein Potenzreihenansatz. Verwandt mit der Z Transformation. Hier gibt es ein komplettes Buch darueber zum kostenlosen Download : Hab mal reingeschaut. Wirklich empfehlenswert : generatingfunctionology http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html Die kalten Winterabende sind gerettet :-) ANMERKUNG Ich hatte in diesem bischen ungewoehnlichen Beitrag tatsaechlich ausgehend von der Grundidee des ersten Beitrages die Loesungsmethode von Wolfram selbst hergeileitet. Wobei sich spaeter herausstellt, dass diese Loesungsmethode schon seit 1870 bekannt aber wenig verbreitet ist. Sie wurde von Ernst Schroeder in Karlsruhe "entdeckt" Ge?ndert von richy (21.11.11 um 03:28 Uhr) |
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