Verwendung der Eigenzeit für lichtartige Geodäten

[TomS]

Zitat von Timm

Im isotrop expandierenden Universum nimmt das Volumen des Balls zu.

Wie kann das allgemein gültig sein, wenn ausschließlich Weyl-Krümmung vorliegt?

Im materie- und strahlungsdomierten FRW-Universum liegt kein Vakuum vor - OK.

Im deSitter-Universum liegt dagegen Vakuum vor!

Die Frage ist jedoch, wie man im einem leeren Universum ein Volumen invariant charakterisieren kann. Man kann ja nicht einfach willkürliche Koordinaten verwenden. Gibt es dazu eine mathematische Vorschrift, aus der die Charakterisierung und das Verhalten des Volumens folgt?

EDIT: Das oben bzgl. Vakuum Gesagte ist natürlich Quatsch. Formal trägt die kosmologische Konstante zum Energie-Impuls-Tensor bei. Damit kann die deSitter-Raumzeit geometrisch nicht als Vakuumlösung klassifiziert werden. Der Ricci-Skalar ist R = 2n/(n-2) Λ = 4Λ (für n = 4). Die invariante Charakterisierung des Volumens ist mir trotzdem noch unklar.

[Timm]

Zitat von TomS

Die invariante Charakterisierung des Volumens ist mir trotzdem noch unklar.

Ich denke, V ist nicht invariant, sondern die relative Volumenänderung V'/V und/oder V''/V, denn das ist proportional zu -(rho+3p).

[TomS]

Das meine ich nicht.

Man muss ja ein Volumen konkret charakterisieren. Normalerweise benutzt man die Definition mittels Koordinaten; das Maß für das Volumen folgt dann mittels des VolumenIntegrals.

In der ART kann ich aber nich einfach sagen, ich integriere x von a bis b, y von ... denn die Koordinaten haben keine physikalische Bedeutung. Wenn ich jedoch sage 'der Bereich bzw. das Volumen, das von dieser Masseverteilung eingenommen wird', dann habe ich eine koordinatenunabhängige, invariante Defnition eines Volumens vorgenommen.

Z.B. hat 'das Volumen der Erde' eine sinnvolle und koordinatenunabhängige Bedeutung.

Mir ist absolut nicht klar, wie ich das in der deSitter-Raumzeit tun soll, denn da ist ja nichts, was ein Volumen charakterisieren könnte. Soll ich eine masse- und drucklose Staubkugel in die leere Raumzeit setzen?

[Timm]

Zitat von TomS

Mir ist absolut nicht klar, wie ich das in der deSitter-Raumzeit tun soll, denn da ist ja nichts, was ein Volumen charakterisieren könnte. Soll ich eine masse- und drucklose Staubkugel in die leere Raumzeit setzen?

Nimm (mitbewegte) Testpartikel, die folgen Geodäten, gravitieren aber nicht. Sie zeigen an, was mit dem Raum "passiert" und sie sind analog zum Staubmodell drucklos.

[Timm]

Zitat von TomS

Z.B. hat 'das Volumen der Erde' eine sinnvolle und koordinatenunabhängige Bedeutung.

Hier kann ich Dir nicht folgen. Ein relativ zur Erde bewegter Beobachter sieht sie (unabhängig von ihrer Masse) gestaucht und damit ein kleineres Volumen, oder? Es scheint, ich übersehe etwas.

[TomS]

Das meine ich nicht.

Um ein Volumen zu charakterisieren und zu berechnen, muss man doch sagen, "von da bis da". Aber in der ART sind beliebige Koordinatensysteme gleichberechtigt. Es hat keine physikalische Bedeutung, zu sagen, "von 0 bis R"; man könnte genausogut "von 0 bis 2R" integrieren, denn der Unterschied ist lediglich eine reine Koordinatentransformation.

Man benötigt also eine physikalische Charakterisierung. Ich schau' mit mal die Idee mit der Staubschale an ...

[Timm]

Zitat von TomS

Das meine ich nicht.

Um ein Volumen zu charakterisieren und zu berechnen, muss man doch sagen, "von da bis da". Aber in der ART sind beliebige Koordinatensysteme gleichberechtigt. Es hat keine physikalische Bedeutung, zu sagen, "von 0 bis R"; man könnte genausogut "von 0 bis 2R" integrieren, denn der Unterschied ist lediglich eine reine Koordinatentransformation.

Man benötigt also eine physikalische Charakterisierung. Ich schau' mit mal die Idee mit der Staubschale an ...

Du suchst ja eine invariante Definition von Volumen.

Trotz Überschlafen weiß ich nicht , was Du meinen könntest. Proper Volume (basierend auf proper length) ist nicht invariant und wenn der Radius proper distance ist, wird er durch eine raumartige Gedäte beschrieben. Dann ist aber schlecht physikalisch z.B. mit der Masse eines Objekte zu argumentieren, oder?

[TomS]

Zitat von Timm

Du suchst ja eine invariante Definition von Volumen.

Trotz Überschlafen weiß ich nicht , was Du meinen könntest.

Es geht mit nicht um die Berechnung eines bestimmten Volumeninhaltes V(B); das ist klar; das Integral lautet

V(B) = ∫ √det(γ) d³x

wobei γ die auf einer 3-dim. Hyperfläche induzierte Metrik bedeutet.

Es geht mir darum, einen bestimmtes Volumen = einen Bereich B zu charakterisieren, also physikalisch zu beschreiben.

Zwei verschiedene Beobachter mögen nicht darin übereinstimmen, welchen Volumeninhalt V(B) sie der Erde zuschreiben, aber sie stimmen sicher darin überein, über welchen Raumbereich B sie sprechen: "den Raumbereich, den die Masse der Erde ausfüllt".

Was mich hier umtreibt ist folgendes: stell' dir zwei Szenarien vor:
1) eine Staubsphäre, deren Staubteilchen sich mit einer gewissen Geschwindigkeit voneinander wegbewegen
2) eine Staubsphäre, deren Staubteilchen sich nicht mit einer gewissen Geschwindigkeit voneinander wegbewegen, sondern die sich aufgrund der Expansion der Raumzeit ausdehnt.

Stell' dir vor, du beobachtest diese zwei Szenarien nahe der Erde. (1) sieht aus wie eine sich im Vergleich zur Erde aufblähende Staubsphäre. (2) trifft nicht zu; es existiert keine Raumexpansion; die Kugel behält ihre ursprüngliche Größe, andernfalls läge (1) vor.

Nun stell' dir vor, du beschreibst diese zwei Szenarien in einem vollständig leeren de Sitter Universum ohne jegliche Referenz auf einen physikalischen Maßstab. Offensichtlich kannst du (1) und (2) nicht unterscheiden.

[Timm]

Zitat von TomS

Was mich hier umtreibt ist folgendes: stell' dir zwei Szenarien vor:
1) eine Staubsphäre, deren Staubteilchen sich mit einer gewissen Geschwindigkeit voneinander wegbewegen
2) eine Staubsphäre, deren Staubteilchen sich nicht mit einer gewissen Geschwindigkeit voneinander wegbewegen, sondern die sich aufgrund der Expansion der Raumzeit ausdehnt.

Sind wir uns soweit einig, daß Bewohner der Staubsphäre keinen Unterschied sehen. Die zunehmenden Abstände interpretieren sie als Bewegung (Fermi Normal-Koordinaten) oder äquivalent dazu als Raumdehnung (FRW-Koordinaten), was naheliegender ist.
Ähnlich wie beim empty universe FRW vs. SRT.

Zum Rest Deines Beitrags aus Zeitmangel später.

[TomS]

Zitat von Timm

Sind wir uns soweit einig, daß Bewohner der Staubsphäre keinen Unterschied sehen.

Ja.

Zitat von Timm

... oder äquivalent dazu als Raumdehnung ... was naheliegender ist.

Ich frage mich gerade, warum?