Compton-Effekt: Formel & Rechenbeispiel

Quantenphysik · Experimente

Beim Compton-Effekt streut ein Photon an einem Elektron und überträgt dabei Energie und Impuls. War das Elektron vorher in Ruhe, hat das gestreute Photon anschließend eine längere Wellenlänge und weniger Energie. Wie stark sich die Wellenlänge ändert, hängt in diesem Modell vom Streuwinkel ab.^[1]

Arthur Compton konnte damit 1923 erklären, weshalb sich die Wellenlänge von Röntgenstrahlung beim Streuen an Graphit verändert. Das war ein wichtiger Beleg dafür, dass Licht nicht nur Energie in Portionen überträgt, sondern auch den Impuls eines einzelnen Photons besitzt. Die Versuchsergebnisse machten aus dem Lichtquant eine sehr konkrete Rechengröße.

Was beim Stoß passiert

Ein Photon mit der Energie E hat im Vakuum den Impuls p = E/c = h/λ. Es braucht dafür keine Ruhemasse. Ein ruhendes Elektron hat zunächst keinen Bewegungsimpuls. Nach dem Stoß fliegen Photon und Elektron in verschiedene Richtungen, sodass Gesamtenergie und Gesamtimpuls erhalten bleiben.^[2]

Abb. 1: Beim Streuen gibt das Photon einen Teil seiner Energie und seines Impulses an das Elektron ab. Eigene schematische Darstellung; die Pfeillängen sind nicht maßstäblich.

Die Energie des Photons verteilt sich dabei auf das weiterfliegende Photon und die zusätzliche Bewegungsenergie des Elektrons. Das Photon verschwindet nicht, um erst später als dasselbe Objekt wieder aufzutauchen; „Streuung“ bezeichnet hier den quantenmechanischen Prozess mit einem einlaufenden und einem auslaufenden Photon.

Das Stoßbild hilft bei der Bilanz. Es bedeutet nicht, dass Photonen kleine harte Kugeln sind. Ihre Energie-Impuls-Beziehung und die Wahrscheinlichkeiten der Streuung werden quantenphysikalisch beschrieben. Der Welle-Teilchen-Dualismus wird durch den Compton-Effekt also nicht zugunsten eines reinen Kugelbildes abgeschafft.

Die Compton-Formel

λ^{'} - λ = \frac{h}{m_{e} c} (1 - \cos θ)

λ ist die Wellenlänge vor der Streuung, λ′ die danach. θ ist der Winkel zwischen der ursprünglichen und der neuen Richtung des Photons. Er ist nicht der Winkel, unter dem das Elektron zurückstößt. m_e ist die Ruhemasse des Elektrons.

Der Faktor h/(m_ec) heißt Compton-Wellenlänge des Elektrons. Er beträgt ungefähr 2,426 Pikometer. Ein Pikometer ist ein Billionstel Meter. Dieser Faktor ist eine charakteristische Länge der Formel, nicht der Durchmesser des Elektrons.^[3]

Bei 90 Grad ist cos θ = 0. Die Verschiebung beträgt dann genau eine Compton-Wellenlänge. Bei Rückwärtsstreuung, also 180 Grad, beträgt sie das Doppelte, ungefähr 4,853 Pikometer. In Vorwärtsrichtung verschwindet die Verschiebung im Modell. Der Betrag Δλ hängt dabei nicht von der ursprünglichen Wellenlänge ab. Der relative Energieverlust hängt sehr wohl von der eingestrahlten Energie ab.

Ein Photon mit 80 Kiloelektronenvolt

Nehmen wir ein Röntgenphoton mit 80 Kiloelektronenvolt, kurz keV. Aus λ = hc/E folgt eine anfängliche Wellenlänge von ungefähr 15,498 Pikometern. Wird es um 90 Grad gestreut, kommen 2,426 Pikometer hinzu. Danach sind es etwa 17,924 Pikometer.

Die neue Energie kann man wieder aus E′ = hc/λ′ bestimmen. Es gibt auch eine direkte Energieform der Compton-Gleichung:

E^{'} = \frac{E}{1 + \frac{E}{m_{e} c^{2}} (1 - \cos θ)}

Die Ruheenergie m_ec² beträgt etwa 511 keV.^[3] Damit liefert die eigene Rechnung für 90 Grad E′ ≈ 69,17 keV. Das Elektron erhält rund 10,83 keV kinetische Energie. In der Bilanz stehen also 80 keV = 69,17 keV + 10,83 keV; die Ruheenergie des Elektrons ist davor und danach dieselbe.

Photonen-Streuwinkel	Photonenenergie nach dem Stoß	Energie an das Elektron
0°	80,00 keV	0,00 keV
60°	74,19 keV	5,81 keV
90°	69,17 keV	10,83 keV
180°	60,92 keV	19,08 keV

Eigene Berechnung für ein 80-keV-Photon und ein freies, anfangs ruhendes Elektron; gerundet. Die Formel legt die möglichen Energien fest, nicht die Häufigkeit der einzelnen Winkel.

Wie die Formel aus Energie und Impuls folgt

Man kann die Gleichung herleiten, ohne zu behaupten, ein Photon besitze die klassische Bewegungsenergie mv²/2. Die passende Energie-Impuls-Beziehung ist relativistisch. Wer nur rechnen möchte, kann diesen Abschnitt überspringen.

Die Energieerhaltung lautet E + m_ec² = E′ + E_e. E_e ist die gesamte Elektronenenergie nach dem Stoß, also Ruheenergie plus Bewegungsenergie. Aus der vektoriellen Impulsbilanz folgt für den Rückstoßimpuls p_e:

p_{e}^{2} c^{2} = E^{2} + {E^{'}}^{2} - 2 E E^{'} \cos θ

Für das Elektron gilt außerdem E_e² = p_e²c² + m_e²c⁴. Setzt man die Energiebilanz und die Impulsbilanz dort ein, kürzen sich die quadratischen Photonenenergien. Übrig bleibt:

\frac{1}{E^{'}} - \frac{1}{E} = \frac{1 - \cos θ}{m_{e} c^{2}}

Multipliziert man mit hc und verwendet λ = hc/E, erhält man unmittelbar die Wellenlängenform. Die Herleitung zeigt auch, weshalb der Winkel zur Photonenrichtung gehört: Genau dieser Winkel steht in der Differenz der beiden Photonenimpulse.

Compton-Effekt und Fotoeffekt sind verschiedene Prozesse

Frage	Compton-Effekt	Fotoeffekt
Was geschieht mit dem Photon?	Es wird mit geänderter Richtung und Energie gestreut.	Es wird vollständig absorbiert.
Was erhält das Elektron?	Einen Teil der einfallenden Photonenenergie als Rückstoß.	Die Photonenenergie abzüglich der für das Herauslösen nötigen Energie.
Typische Rechnung	E′ aus Streuwinkel und Anfangsenergie	Beim äußeren Fotoeffekt: Ekin,max = hf − Austrittsarbeit

Gegenüberstellung der vereinfachten Grundmodelle. Bindung und Material müssen im konkreten Versuch berücksichtigt werden.

Der Fotoeffekt erklärt also nicht dieselbe Beobachtung mit einem anderen Namen. Beide Prozesse zeigen Eigenschaften von Lichtquanten, haben aber verschiedene Endzustände. Compton untersuchte gerade die weiterlaufende Strahlung und ihre veränderte Wellenlänge.

Wo das einfache Modell an Grenzen stößt

In einem Material sind Elektronen gebunden und nicht alle in Ruhe. Bei ausreichend großer Photonenenergie kann man schwach gebundene Elektronen oft näherungsweise wie freie behandeln. Bindungsenergien und die anfängliche Impulsverteilung können das Spektrum jedoch verändern. Deshalb ist die schmale ideale Linie keine vollständige Beschreibung jedes realen Materials.

Außerdem legt die Compton-Formel nicht fest, ob ein Photon überhaupt gestreut wird oder wie wahrscheinlich ein bestimmter Winkel ist. Dafür braucht man Streuquerschnitte. Die NIST-Datenbank XCOM unterscheidet unter anderem inkohärente Streuung, kohärente Streuung, Photoabsorption und Paarbildung. Welche Wechselwirkung überwiegt, hängt von Energie und Material ab.^[4]

Zwei Aufgaben mit Lösungen

Wie groß ist Δλ bei 60 Grad? cos 60° = 0,5. Daher Δλ = 2,426 pm · 0,5 ≈ 1,213 pm. Dieser Wert gilt im freien Elektronenmodell unabhängig von der anfänglichen Photonenenergie.
Wie viel kinetische Energie kann das Elektron bei einem 80-keV-Photon in diesem Modell maximal erhalten? Der größte Verlust tritt bei 180 Grad auf. Aus der Tabelle folgen 80 − 60,92 ≈ 19,08 keV. Das ist deutlich weniger als die gesamte Photonenenergie.

Quellen

A. H. Compton: A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements. Physical Review 21 (1923), S. 483–502. doi:10.1103/PhysRev.21.483.
S. J. Ling, J. Sanny, W. Moebs: University Physics, Volume 3, Abschnitt 6.3: The Compton Effect. OpenStax. Lehrbuchkapitel.
NIST: 2022 CODATA recommended values of the fundamental physical constants. h, c, Elektronenmasse und Compton-Wellenlänge des Elektrons. Konstantentabelle.
NIST: XCOM: Photon Cross Sections Database. Einleitung und Grenzen des Modells. Dokumentation.

Zitiervorschlag

quanten.de: Compton-Effekt: Formel, Herleitung und Beispiel. Stand: November 2026. URL: https://quanten.de/compton-effekt/

Weiterlesen: Photon · Fotoeffekt · Welle-Teilchen-Dualismus · Einstein und die Quanten

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